Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какие числа называют рациональными?

1. Какие числа называют рациональными?

Рациональными числами (от латинского слова ratio — «отношение, деление, дробь») называют все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (то есть целое положительное число, не равное нулю).

Формальное определение: число $q$ является рациональным, если $q = \frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел: $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$) и $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел: $1, 2, 3, ...$). Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

К рациональным числам относятся следующие группы:

Все целые числа: любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Примеры: $5 = \frac{5}{1}$; $-12 = \frac{-12}{1}$; $0 = \frac{0}{1}$.

Все обыкновенные дроби: как положительные, так и отрицательные.
Примеры: $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{4}$, $-\frac{5}{3}$.

Все конечные десятичные дроби: их всегда можно преобразовать в обыкновенную дробь.
Примеры: $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$; $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

Все бесконечные периодические десятичные дроби: их также можно преобразовать в обыкновенную дробь.
Примеры: $0.333... = 0.(3) = \frac{1}{3}$; $0.1666... = 0.1(6) = \frac{1}{6}$.

Таким образом, главным признаком рационального числа является возможность его записи в виде дроби $\frac{m}{n}$. Это эквивалентно тому, что число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Числа, которые невозможно представить в таком виде (их десятичное представление является бесконечным непериодическим), например, $\sqrt{2}$ или $\pi$, называются иррациональными.

Ответ: Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

3. Приведите три примера рациональных чисел и три примера иррациональных чисел.

Три примера рациональных чисел

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{m}{n} $, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (или любое ненулевое целое число). К рациональным числам относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

1. Целое число 7. Его можно представить в виде дроби $ \frac{7}{1} $.
2. Обыкновенная дробь $ \frac{1}{3} $. Это число в виде десятичной дроби является бесконечной периодической дробью: $0,(3)$ или $0.333...$
3. Конечная десятичная дробь -0,5. Это число можно представить в виде обыкновенной дроби $ -\frac{5}{10} $, что после сокращения равно $ -\frac{1}{2} $.

Ответ: $7$; $ \frac{1}{3} $; $-0,5$.

Три примера иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

1. Число $\pi$ (пи). Это математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Её десятичное представление начинается как $3,14159265...$ и никогда не заканчивается и не повторяется.
2. Квадратный корень из числа, которое не является полным квадратом, например, $ \sqrt{2} $. Его приближенное значение $ \sqrt{2} \approx 1.41421356...$
3. Число $e$ (число Эйлера). Это основание натурального логарифма, еще одна фундаментальная математическая константа. $e \approx 2.71828182...$

Ответ: $\pi$; $ \sqrt{2} $; $e$.

5. Приведите пример иррационального числа, расположенного между числами $1,2$ и $1,3$.

5. Требуется найти иррациональное число, которое больше 1,2, но меньше 1,3. Обозначим искомое число как $x$. Условие можно записать в виде двойного неравенства: $1,2 < x < 1,3$.

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$ (где $p$ и $q$ — целые числа), и его десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами иррациональных чисел являются корни из чисел, не являющихся точными квадратами (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$).

Воспользуемся этим свойством и будем искать наше число в виде $\sqrt{a}$. Подставим его в наше неравенство:
$1,2 < \sqrt{a} < 1,3$

Чтобы найти диапазон для $a$, возведем все части неравенства в квадрат. Так как все части положительны, знак неравенства сохранится:
$1,2^2 < (\sqrt{a})^2 < 1,3^2$
$1,44 < a < 1,69$

Теперь нам нужно выбрать любое число $a$ из интервала $(1,44; 1,69)$, такое, что $\sqrt{a}$ будет иррациональным. Для этого достаточно, чтобы $a$ не было полным квадратом рационального числа.
Мы можем выбрать, например, $a = 1,5$. Это число удовлетворяет условию $1,44 < 1,5 < 1,69$.
Следовательно, число $\sqrt{1,5}$ является иррациональным и расположено между 1,2 и 1,3.
(Существует бесконечно много других примеров, например, $\sqrt{1,6}$ или число, заданное бесконечной непериодической дробью $1,21010010001...$)
Ответ: $\sqrt{1,5}$

2. Какие числа называют иррациональными?

2. Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Чтобы понять, что такое иррациональное число, нужно сначала определить, что такое рациональное число.

Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (то есть целое и положительное). Примеры рациональных чисел: $7$ (можно записать как $\frac{7}{1}$), $-0.5$ (можно записать как $-\frac{1}{2}$), $1\frac{1}{3}$ (можно записать как $\frac{4}{3}$). В десятичной форме рациональные числа всегда представляются либо конечной десятичной дробью (например, $\frac{1}{4} = 0.25$), либо бесконечной периодической десятичной дробью (например, $\frac{1}{3} = 0.333...$).

Иррациональное число, соответственно, — это действительное число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Главная особенность иррациональных чисел в их десятичном представлении: они являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Это означает, что последовательность цифр после запятой у них никогда не заканчивается и в ней нет повторяющегося блока (периода).

Множество всех рациональных чисел вместе с множеством всех иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Примеры иррациональных чисел:
• Число $\pi$ (пи), выражающее отношение длины окружности к её диаметру. $\pi \approx 3.14159265...$
• Число $e$ (число Эйлера), основание натурального логарифма. $e \approx 2.71828182...$
• Квадратные корни из натуральных чисел, которые не являются точными квадратами. Например, $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и т.д.
• Золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398...$

Ответ: Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. В десятичной записи они представляют собой бесконечные непериодические дроби.

4. Сколько рациональных чисел можно расположить между числами 1,2 и 1,3?

Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно расположить бесконечное множество других рациональных чисел. Это свойство называется плотностью множества рациональных чисел. Числа $1,2$ и $1,3$ являются рациональными, так как их можно представить в виде обыкновенных дробей: $1,2 = \frac{12}{10}$ и $1,3 = \frac{13}{10}$.

Чтобы показать, что между ними находится бесконечное количество рациональных чисел, можно использовать несколько подходов.

Первый способ — это добавление десятичных знаков. Запишем наши числа как $1,20$ и $1,30$. Между ними находятся, например, числа $1,21$, $1,22$, $1,23$ и так далее. Все они рациональны. Если мы представим исходные числа как $1,200$ и $1,300$, то между ними уже можно найти 99 рациональных чисел с тремя знаками после запятой: $1,201, 1,202, \dots, 1,299$. Этот процесс можно продолжать бесконечно, увеличивая количество знаков после запятой. Например, число вида $1,2\underbrace{00...0}_{n}1$ всегда будет больше $1,2$ и меньше $1,3$ при любом натуральном $n$. Так как $n$ может быть сколь угодно большим, мы можем составить бесконечное множество таких чисел.

Второй способ — нахождение среднего арифметического. Если взять два различных рациональных числа $a$ и $b$, то их среднее арифметическое $c = \frac{a+b}{2}$ также является рациональным числом и лежит строго между $a$ и $b$.

Возьмём среднее арифметическое чисел $1,2$ и $1,3$: $c_1 = \frac{1,2 + 1,3}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$. Число $1,25$ — рациональное и лежит между $1,2$ и $1,3$.

Теперь можно взять новое число $1,25$ и исходное $1,2$ и снова найти их среднее арифметическое: $c_2 = \frac{1,2 + 1,25}{2} = \frac{2,45}{2} = 1,225$. Это еще одно рациональное число в заданном интервале.

Эту операцию можно повторять бесконечное количество раз, каждый раз получая новое рациональное число, расположенное между двумя предыдущими. Следовательно, между числами 1,2 и 1,3 можно расположить бесконечное множество рациональных чисел.

Ответ: Бесконечно много.

8.10 Представьте в виде степени числа 10:

а) $0,1$;

б) $0,0001$;

в) $0,01$;

г) $0,00001$.

Для представления десятичной дроби в виде степени числа 10 используется определение степени с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число.

Общий метод заключается в следующем:
1. Записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби, где в числителе 1, а в знаменателе 10 в некоторой степени ($10, 100, 1000$ и т.д.).
2. Записать знаменатель в виде степени числа 10 (например, $100 = 10^2$).
3. Применить формулу $ \frac{1}{10^n} = 10^{-n} $.
Другой, более быстрый способ: показатель степени будет отрицательным, а его модуль равен количеству цифр после запятой в десятичной дроби.

а)

Представим число 0,1 в виде обыкновенной дроби:
$0,1 = \frac{1}{10}$
Так как $10 = 10^1$, то мы можем записать:
$\frac{1}{10} = \frac{1}{10^1}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{10^1} = 10^{-1}$
Таким образом, $0,1 = 10^{-1}$.
Ответ: $10^{-1}$

б)

Представим число 0,0001 в виде обыкновенной дроби. После запятой стоят четыре цифры, поэтому в знаменателе будет $10000$:
$0,0001 = \frac{1}{10000}$
Запишем знаменатель $10000$ как степень числа 10: $10000 = 10^4$.
$\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4}$
Теперь применим свойство степени с отрицательным показателем:
$\frac{1}{10^4} = 10^{-4}$
Следовательно, $0,0001 = 10^{-4}$.
Ответ: $10^{-4}$

в)

Представим число 0,01 в виде обыкновенной дроби. После запятой стоят две цифры, поэтому в знаменателе будет $100$:
$0,01 = \frac{1}{100}$
Запишем знаменатель $100$ как степень числа 10: $100 = 10^2$.
$\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2}$
По свойству степени с отрицательным показателем:
$\frac{1}{10^2} = 10^{-2}$
Таким образом, $0,01 = 10^{-2}$.
Ответ: $10^{-2}$

г)

Представим число 0,00001 в виде обыкновенной дроби. После запятой стоят пять цифр, поэтому в знаменателе будет $100000$:
$0,00001 = \frac{1}{100000}$
Запишем знаменатель $100000$ как степень числа 10: $100000 = 10^5$.
$\frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем:
$\frac{1}{10^5} = 10^{-5}$
Следовательно, $0,00001 = 10^{-5}$.
Ответ: $10^{-5}$

8.11 Расположите в порядке убывания числа:

а) $(\frac{1}{2})^3, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^{-2}, (\frac{1}{2})^{-1};$

б) $3^{-1}, 3^3, 3^0, 3^{-2}.$

в) $5^{-2}, 5^2, 5^{-1}, 5^0;$

г) $(\frac{1}{4})^2, (\frac{1}{4})^{-3}, (\frac{1}{4})^0, (\frac{1}{4})^{-1}.$

а) Чтобы расположить числа в порядке убывания, необходимо сравнить их значения. Для этого вычислим значение каждого выражения, используя свойства степени: $a^0 = 1$ (для любого $a \neq 0$), $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Вычислим значения для каждого числа:

• $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$
• $(\frac{1}{2})^0 = 1$
• $(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$
• $(\frac{1}{2})^{-1} = (\frac{2}{1})^1 = 2$

Мы получили следующие значения: $\frac{1}{8}, 1, 4, 2$.

Теперь расположим эти значения в порядке убывания, то есть от наибольшего к наименьшему: $4, 2, 1, \frac{1}{8}$.

Соответственно, исходные числа в порядке убывания будут:

Ответ: $(\frac{1}{2})^{-2}, (\frac{1}{2})^{-1}, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^3$.

б) Вычислим значение каждого числа из данного набора:

• $3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
• $3^3 = 27$
• $3^0 = 1$
• $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Мы получили значения: $\frac{1}{3}, 27, 1, \frac{1}{9}$.

Сравним дроби: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$, следовательно $\frac{1}{3} > \frac{1}{9}$.

Расположим значения в порядке убывания: $27, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}$.

Соответственно, исходные числа в порядке убывания:

Ответ: $3^3, 3^0, 3^{-1}, 3^{-2}$.

в) Вычислим значение каждого числа:

• $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
• $5^2 = 25$
• $5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$
• $5^0 = 1$

Мы получили значения: $\frac{1}{25}, 25, \frac{1}{5}, 1$.

Сравним дроби: $\frac{1}{5} = \frac{5}{25}$, следовательно $\frac{1}{5} > \frac{1}{25}$.

Расположим значения в порядке убывания: $25, 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}$.

Соответственно, исходные числа в порядке убывания:

Ответ: $5^2, 5^0, 5^{-1}, 5^{-2}$.

г) Вычислим значение каждого числа:

• $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$
• $(\frac{1}{4})^{-3} = (\frac{4}{1})^3 = 4^3 = 64$
• $(\frac{1}{4})^0 = 1$
• $(\frac{1}{4})^{-1} = (\frac{4}{1})^1 = 4$

Мы получили значения: $\frac{1}{16}, 64, 1, 4$.

Расположим эти значения в порядке убывания: $64, 4, 1, \frac{1}{16}$.

Соответственно, исходные числа в порядке убывания:

Ответ: $(\frac{1}{4})^{-3}, (\frac{1}{4})^{-1}, (\frac{1}{4})^0, (\frac{1}{4})^2$.

Найдите значение выражения:

8.12 а) $ (64 \cdot 4^{-5})^2 $;

б) $ \frac{5^{-3} \cdot 5^{-1}}{5^{-6}} $;

в) $ (128 \cdot 2^{-6})^{-2} $;

г) $ \frac{3^{-9}}{3^{-2} \cdot 3^{-6}} $.

а) Для нахождения значения выражения $(64 \cdot 4^{-5})^2$ сначала преобразуем число 64 в степень с основанием 4. Так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, то выражение можно переписать в виде: $(4^3 \cdot 4^{-5})^2$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Упростим выражение в скобках:
$4^3 \cdot 4^{-5} = 4^{3 + (-5)} = 4^{-2}$.
Теперь исходное выражение выглядит как $(4^{-2})^2$. Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(4^{-2})^2 = 4^{-2 \cdot 2} = 4^{-4}$.
Наконец, вычислим значение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256}$.
Ответ: $\frac{1}{256}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{5^{-3} \cdot 5^{-1}}{5^{-6}}$, сначала выполним умножение в числителе. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-3} \cdot 5^{-1} = 5^{-3 + (-1)} = 5^{-4}$.
Теперь выражение принимает вид $\frac{5^{-4}}{5^{-6}}$.
Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{-4}}{5^{-6}} = 5^{-4 - (-6)} = 5^{-4 + 6} = 5^2$.
Вычисляем результат:
$5^2 = 25$.
Ответ: $25$.

в) Для вычисления $(128 \cdot 2^{-6})^{-2}$ представим число 128 как степень с основанием 2. Так как $128 = 2^7$, получаем:
$(2^7 \cdot 2^{-6})^{-2}$.
Упростим выражение в скобках, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^7 \cdot 2^{-6} = 2^{7 + (-6)} = 2^1 = 2$.
Теперь возведем результат в степень -2:
$(2)^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{3^{-9}}{3^{-2} \cdot 3^{-6}}$, начнем с упрощения знаменателя. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-2} \cdot 3^{-6} = 3^{-2 + (-6)} = 3^{-8}$.
Теперь выражение выглядит как $\frac{3^{-9}}{3^{-8}}$.
Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{-9}}{3^{-8}} = 3^{-9 - (-8)} = 3^{-9 + 8} = 3^{-1}$.
Вычисляем окончательное значение:
$3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

8.13 a) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} \cdot 10^{-1} + (4)^0 - (-2)^3 - (-5)^{-2} \cdot (-5)^3;$

б) $-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot (2)^{-1} - \left(\frac{4}{81}\right)^0 - (-0,5)^{-2} + (2,5)^{-1} \cdot (2,5)^2;$

в) $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot (4)^{-1} - \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} + (-0,6)^{-3} \cdot (-0,6)^4 - (4^5)^0;$

г) $(-0,5)^{-3} \cdot (2)^{-1} - (-2,7)^0 - (-2)^3 \cdot 1,2 - \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}.$

а) Для вычисления значения выражения $(-\frac{1}{3})^{-1} \cdot 10^{-1} + (4)^0 - (-2)^3 - (-5)^{-2} \cdot (-5)^3$ воспользуемся основными свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$), $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности:

1. $(-\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{-1/3} = -3$

2. $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$

3. $(4)^0 = 1$

4. $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

5. $(-5)^{-2} \cdot (-5)^3 = (-5)^{-2+3} = (-5)^1 = -5$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$(-3) \cdot 0,1 + 1 - (-8) - (-5) = -0,3 + 1 + 8 + 5 = -0,3 + 14 = 13,7$

Ответ: 13,7

б) Решим выражение $-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot (2)^{-1} - \left(\frac{4}{81}\right)^0 - (-0,5)^{-2} + (2,5)^{-1} \cdot (2,5)^2$, выполняя действия по порядку.

1. $-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = -(2^1) = -2$

2. $(2)^{-1} = \frac{1}{2}$

3. $\left(\frac{4}{81}\right)^0 = 1$

4. $(-0,5)^{-2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} = (-2)^2 = 4$

5. $(2,5)^{-1} \cdot (2,5)^2 = (2,5)^{-1+2} = (2,5)^1 = 2,5$

Подставим вычисленные значения:

$-2 \cdot \frac{1}{2} - 1 - 4 + 2,5 = -1 - 1 - 4 + 2,5 = -2 - 4 + 2,5 = -6 + 2,5 = -3,5$

Ответ: -3,5

в) Вычислим значение выражения $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot (4)^{-1} - \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} + (-0,6)^{-3} \cdot (-0,6)^4 - (4^5)^0$.

1. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$

2. $(4)^{-1} = \frac{1}{4}$

3. $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} = (-3)^3 = -27$

4. $(-0,6)^{-3} \cdot (-0,6)^4 = (-0,6)^{-3+4} = (-0,6)^1 = -0,6$

5. $(4^5)^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1)

Соберем все части вместе:

$2 \cdot \frac{1}{4} - (-27) + (-0,6) - 1 = \frac{2}{4} + 27 - 0,6 - 1 = 0,5 + 27 - 0,6 - 1 = 27,5 - 1,6 = 25,9$

Ответ: 25,9

г) Решим выражение $(-0,5)^{-3} \cdot (2)^{-1} - (-2,7)^0 - (-2)^3 \cdot 1,2 - \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

1. $(-0,5)^{-3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} = (-2)^3 = -8$

2. $(2)^{-1} = \frac{1}{2}$

3. $(-2,7)^0 = 1$

4. $(-2)^3 = -8$

5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2,25$

Подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$(-8) \cdot \frac{1}{2} - 1 - (-8) \cdot 1,2 - 2,25 = -4 - 1 - (-9,6) - 2,25 = -5 + 9,6 - 2,25 = 4,6 - 2,25 = 2,35$

Ответ: 2,35

Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней, там, где это необходимо:

8.14 a) $a^2 \cdot a^{-3}$;

б) $b^4 \cdot b^{-5}$;

в) $d \cdot d^{-2}$;

г) $m^{-5} \cdot m^{-1}$.

а) Чтобы выполнить умножение степеней с одинаковым основанием, необходимо сложить их показатели. Основание при этом не меняется.
$a^2 \cdot a^{-3} = a^{2 + (-3)} = a^{2-3} = a^{-1}$
Далее, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, воспользуемся свойством $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$
Ответ: $\frac{1}{a}$

б) Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели степеней складываются.
$b^4 \cdot b^{-5} = b^{4 + (-5)} = b^{4-5} = b^{-1}$
Теперь приводим выражение к виду, не содержащему отрицательного показателя, используя формулу $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$b^{-1} = \frac{1}{b^1} = \frac{1}{b}$
Ответ: $\frac{1}{b}$

в) Выражение $d$ можно представить как $d^1$. Далее применяем правило умножения степеней.
$d \cdot d^{-2} = d^1 \cdot d^{-2} = d^{1 + (-2)} = d^{1-2} = d^{-1}$
Преобразуем полученное выражение, чтобы убрать отрицательную степень.
$d^{-1} = \frac{1}{d^1} = \frac{1}{d}$
Ответ: $\frac{1}{d}$

г) Выполняем сложение показателей степеней с одинаковым основанием.
$m^{-5} \cdot m^{-1} = m^{-5 + (-1)} = m^{-5-1} = m^{-6}$
Избавляемся от отрицательного показателя в итоговом выражении.
$m^{-6} = \frac{1}{m^6}$
Ответ: $\frac{1}{m^6}$

8.15 а) $k^6 : k^{-1}$;

б) $l^2 : l^{-1}$;

в) $x^3 : x^{-4}$;

г) $y : y^{-3}$.

Для решения всех задач используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Это правило выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

а) Дано выражение $k^6 : k^{-1}$.

Применяем правило деления степеней с основанием $k$:

$k^6 : k^{-1} = k^{6 - (-1)} = k^{6+1} = k^7$.

Ответ: $k^7$.

б) Дано выражение $l^2 : l^{-1}$.

Используем то же правило для степеней с основанием $l$:

$l^2 : l^{-1} = l^{2 - (-1)} = l^{2+1} = l^3$.

Ответ: $l^3$.

в) Дано выражение $x^3 : x^{-4}$.

Применяем правило для степеней с основанием $x$:

$x^3 : x^{-4} = x^{3 - (-4)} = x^{3+4} = x^7$.

Ответ: $x^7$.

г) Дано выражение $y : y^{-3}$.

Любое число или переменная без указания степени считается находящимся в первой степени, то есть $y = y^1$.

Применяем правило для степеней с основанием $y$:

$y : y^{-3} = y^1 : y^{-3} = y^{1 - (-3)} = y^{1+3} = y^4$.

Ответ: $y^4$.

8.16 a) $2a^{-2} : \left(\frac{2}{3}a\right)$;

б) $1,2x^{-2} : (4x^{-5})$;

в) $\frac{4}{7}m^7 : \left(1\frac{3}{4}m^{-3}\right)$;

г) $8r^{-5} : \left(\frac{2}{3}r^{-7}\right)$.

а) Чтобы найти частное двух одночленов, нужно разделить коэффициент первого одночлена на коэффициент второго, а затем разделить степени с одинаковыми основаниями. В данном случае необходимо разделить $2a^{-2}$ на $(\frac{2}{3}a)$.

1. Найдём частное коэффициентов:

$2 : \frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

2. Найдём частное степеней с основанием $a$. Для этого воспользуемся свойством деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. Учитываем, что $a = a^1$.

$a^{-2} : a^1 = a^{-2-1} = a^{-3}$

3. Перемножим полученные результаты:

$3 \cdot a^{-3} = 3a^{-3}$

Результат также можно представить в виде дроби, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$: $3a^{-3} = \frac{3}{a^3}$.

Ответ: $3a^{-3}$

б) Необходимо выполнить деление одночленов $1,2x^{-2}$ и $4x^{-5}$.

1. Разделим числовые коэффициенты:

$1,2 : 4 = 0,3$

2. Разделим степени с основанием $x$, применив правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

$x^{-2} : x^{-5} = x^{-2 - (-5)} = x^{-2+5} = x^3$

3. Объединим результаты:

$0,3 \cdot x^3 = 0,3x^3$

Ответ: $0,3x^3$

в) Найдём частное от деления $\frac{4}{7}m^7$ на $(1\frac{3}{4}m^{-3})$.

1. Преобразуем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

2. Теперь разделим коэффициенты. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

$\frac{4}{7} : \frac{7}{4} = \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{16}{49}$

3. Разделим степени с основанием $m$:

$m^7 : m^{-3} = m^{7 - (-3)} = m^{7+3} = m^{10}$

4. Перемножим полученные результаты:

$\frac{16}{49} m^{10}$

Ответ: $\frac{16}{49}m^{10}$

г) Выполним деление $8r^{-5}$ на $(\frac{2}{3}r^{-7})$.

1. Разделим коэффициенты:

$8 : \frac{2}{3} = 8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

2. Разделим степени с основанием $r$, вычитая показатели:

$r^{-5} : r^{-7} = r^{-5 - (-7)} = r^{-5+7} = r^2$

3. Запишем итоговый одночлен, перемножив коэффициент и переменную часть:

$12 \cdot r^2 = 12r^2$

Ответ: $12r^2$

8.17 a) $3m^{-2}n^3 : \left(\frac{3}{4}m^{-3}n^3\right);$

б) $0,5a^2b^{-2} \cdot (4a^{-3}b^3);$

в) $\frac{7}{11}t^{-2}s^6 \cdot \left(1\frac{4}{7}t^{-1}s^{-2}\right);$

г) $16p^{-1}q^3 : \left(\frac{4}{7}p^{-3}q^2\right).$

а) $3m^{-2}n^3 : (\frac{3}{4}m^{-3}n^3)$

Для выполнения деления одночленов необходимо разделить их числовые коэффициенты и для каждой переменной вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя.

1. Разделим коэффициенты: $3 : \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$.

2. Выполним деление для переменной $m$: $m^{-2} : m^{-3} = m^{-2 - (-3)} = m^{-2+3} = m^1 = m$.

3. Выполним деление для переменной $n$: $n^3 : n^3 = n^{3-3} = n^0 = 1$.

4. Объединим полученные результаты: $4 \cdot m \cdot 1 = 4m$.

Ответ: $4m$

б) $0,5a^2b^{-2} \cdot (4a^{-3}b^3)$

Для выполнения умножения одночленов необходимо перемножить их числовые коэффициенты и для каждой переменной сложить показатели степеней.

1. Перемножим коэффициенты: $0,5 \cdot 4 = 2$.

2. Выполним умножение для переменной $a$: $a^2 \cdot a^{-3} = a^{2+(-3)} = a^{2-3} = a^{-1}$.

3. Выполним умножение для переменной $b$: $b^{-2} \cdot b^3 = b^{-2+3} = b^1 = b$.

4. Объединим полученные результаты: $2 \cdot a^{-1} \cdot b = 2a^{-1}b$.

Ответ: $2a^{-1}b$

в) $\frac{7}{11}t^{-2}s^6 \cdot (1\frac{4}{7}t^{-1}s^{-2})$

Для умножения данных одночленов сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а затем перемножим коэффициенты и сложим показатели степеней для одинаковых переменных.

1. Преобразуем смешанное число: $1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$.

2. Перемножим коэффициенты: $\frac{7}{11} \cdot \frac{11}{7} = 1$.

3. Выполним умножение для переменной $t$: $t^{-2} \cdot t^{-1} = t^{-2+(-1)} = t^{-3}$.

4. Выполним умножение для переменной $s$: $s^6 \cdot s^{-2} = s^{6+(-2)} = s^{6-2} = s^4$.

5. Объединим полученные результаты: $1 \cdot t^{-3} \cdot s^4 = t^{-3}s^4$.

Ответ: $t^{-3}s^4$

г) $16p^{-1}q^3 : (\frac{4}{7}p^{-3}q^2)$

Для деления одночленов разделим их коэффициенты и вычтем показатели степеней для одинаковых переменных.

1. Разделим коэффициенты: $16 : \frac{4}{7} = 16 \cdot \frac{7}{4} = \frac{16 \cdot 7}{4} = 4 \cdot 7 = 28$.

2. Выполним деление для переменной $p$: $p^{-1} : p^{-3} = p^{-1 - (-3)} = p^{-1+3} = p^2$.

3. Выполним деление для переменной $q$: $q^3 : q^2 = q^{3-2} = q^1 = q$.

4. Объединим полученные результаты: $28 \cdot p^2 \cdot q = 28p^2q$.

Ответ: $28p^2q$

8.18 а) $(a^2 - 1) \cdot a^{-1};$

б) $(l^3 - l^2) \cdot l^{-2};$

в) $(b - b^3) \cdot b^{-2};$

г) $(m^5 - m^4) \cdot m^{-5}.$

а) Чтобы упростить выражение $(a^2 - 1) \cdot a^{-1}$, нужно умножить каждый член в скобках на $a^{-1}$, используя распределительное свойство умножения.
$(a^2 - 1) \cdot a^{-1} = a^2 \cdot a^{-1} - 1 \cdot a^{-1}$
Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^2 \cdot a^{-1} = a^{2+(-1)} = a^1 = a$
$1 \cdot a^{-1} = a^{-1}$
Подставляем полученные значения обратно в выражение:
$a - a^{-1}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем окончательный вид:
$a - \frac{1}{a}$
Ответ: $a - \frac{1}{a}$

б) Упростим выражение $(l^3 - l^2) \cdot l^{-2}$, раскрыв скобки.
$(l^3 - l^2) \cdot l^{-2} = l^3 \cdot l^{-2} - l^2 \cdot l^{-2}$
Применяем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ к каждому слагаемому:
$l^3 \cdot l^{-2} = l^{3+(-2)} = l^1 = l$
$l^2 \cdot l^{-2} = l^{2+(-2)} = l^0$
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $l^0 = 1$ (при $l \neq 0$).
В результате получаем:
$l - 1$
Ответ: $l - 1$

в) Упростим выражение $(b - b^3) \cdot b^{-2}$, раскрыв скобки.
$(b - b^3) \cdot b^{-2} = b \cdot b^{-2} - b^3 \cdot b^{-2}$
Помним, что $b = b^1$. Применяем свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$b^1 \cdot b^{-2} = b^{1+(-2)} = b^{-1}$
$b^3 \cdot b^{-2} = b^{3+(-2)} = b^1 = b$
Таким образом, выражение преобразуется к виду:
$b^{-1} - b$
Используя определение $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем:
$\frac{1}{b} - b$
Ответ: $\frac{1}{b} - b$

г) Упростим выражение $(m^5 - m^4) \cdot m^{-5}$, раскрыв скобки.
$(m^5 - m^4) \cdot m^{-5} = m^5 \cdot m^{-5} - m^4 \cdot m^{-5}$
Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$m^5 \cdot m^{-5} = m^{5+(-5)} = m^0 = 1$ (при $m \neq 0$)
$m^4 \cdot m^{-5} = m^{4+(-5)} = m^{-1}$
Подставляем полученные результаты:
$1 - m^{-1}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем:
$1 - \frac{1}{m}$
Ответ: $1 - \frac{1}{m}$

8.19 а) $ab^{-1} + a^{-1}b$;

б) $c^{-1}d^{2} - c^{2}d^{-1}$;

в) $p^{2}q^{2}(p^{-2} - q^{-2})$;

г) $mn^{-2} - m^{-2}n$.

а)

Исходное выражение: $ab^{-1} + a^{-1}b$.
Чтобы упростить выражение, используем свойство степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Преобразуем каждое слагаемое в дробь:
$ab^{-1} = a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$
$a^{-1}b = \frac{1}{a} \cdot b = \frac{b}{a}$
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, который равен $ab$.
$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{ab}$

б)

Исходное выражение: $c^{-1}d^2 - c^2d^{-1}$.
Применим свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ к каждому члену выражения:
$c^{-1}d^2 = \frac{1}{c} \cdot d^2 = \frac{d^2}{c}$
$c^2d^{-1} = c^2 \cdot \frac{1}{d} = \frac{c^2}{d}$
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{d^2}{c} - \frac{c^2}{d}$
Общий знаменатель для этих дробей - $cd$. Приведем дроби к нему:
$\frac{d^2 \cdot d}{c \cdot d} - \frac{c^2 \cdot c}{d \cdot c} = \frac{d^3}{cd} - \frac{c^3}{cd} = \frac{d^3 - c^3}{cd}$

Ответ: $\frac{d^3 - c^3}{cd}$

в)

Исходное выражение: $p^2q^2(p^{-2} - q^{-2})$.
Для упрощения раскроем скобки, умножив множитель $p^2q^2$ на каждый член в скобках:
$p^2q^2 \cdot p^{-2} - p^2q^2 \cdot q^{-2}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$p^{2+(-2)}q^2 - p^2q^{2+(-2)} = p^0q^2 - p^2q^0$
Любое число в нулевой степени равно единице ($x^0=1$, при $x \neq 0$):
$1 \cdot q^2 - p^2 \cdot 1 = q^2 - p^2$

Ответ: $q^2 - p^2$

г)

Исходное выражение: $mn^{-2} - m^{-2}n$.
Используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для преобразования выражения:
$mn^{-2} = m \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{m}{n^2}$
$m^{-2}n = \frac{1}{m^2} \cdot n = \frac{n}{m^2}$
Теперь вычтем полученные дроби:
$\frac{m}{n^2} - \frac{n}{m^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $m^2n^2$:
$\frac{m \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} - \frac{n \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} = \frac{m^3}{m^2n^2} - \frac{n^3}{m^2n^2} = \frac{m^3 - n^3}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{m^3 - n^3}{m^2n^2}$