Номер 4, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Сколько рациональных чисел можно расположить между числами 1,2 и 1,3?

Между любыми двумя различными рациональными числами всегда можно расположить бесконечное множество других рациональных чисел. Это свойство называется плотностью множества рациональных чисел. Числа $1,2$ и $1,3$ являются рациональными, так как их можно представить в виде обыкновенных дробей: $1,2 = \frac{12}{10}$ и $1,3 = \frac{13}{10}$.

Чтобы показать, что между ними находится бесконечное количество рациональных чисел, можно использовать несколько подходов.

Первый способ — это добавление десятичных знаков. Запишем наши числа как $1,20$ и $1,30$. Между ними находятся, например, числа $1,21$, $1,22$, $1,23$ и так далее. Все они рациональны. Если мы представим исходные числа как $1,200$ и $1,300$, то между ними уже можно найти 99 рациональных чисел с тремя знаками после запятой: $1,201, 1,202, \dots, 1,299$. Этот процесс можно продолжать бесконечно, увеличивая количество знаков после запятой. Например, число вида $1,2\underbrace{00...0}_{n}1$ всегда будет больше $1,2$ и меньше $1,3$ при любом натуральном $n$. Так как $n$ может быть сколь угодно большим, мы можем составить бесконечное множество таких чисел.

Второй способ — нахождение среднего арифметического. Если взять два различных рациональных числа $a$ и $b$, то их среднее арифметическое $c = \frac{a+b}{2}$ также является рациональным числом и лежит строго между $a$ и $b$.

Возьмём среднее арифметическое чисел $1,2$ и $1,3$: $c_1 = \frac{1,2 + 1,3}{2} = \frac{2,5}{2} = 1,25$. Число $1,25$ — рациональное и лежит между $1,2$ и $1,3$.

Теперь можно взять новое число $1,25$ и исходное $1,2$ и снова найти их среднее арифметическое: $c_2 = \frac{1,2 + 1,25}{2} = \frac{2,45}{2} = 1,225$. Это еще одно рациональное число в заданном интервале.

Эту операцию можно повторять бесконечное количество раз, каждый раз получая новое рациональное число, расположенное между двумя предыдущими. Следовательно, между числами 1,2 и 1,3 можно расположить бесконечное множество рациональных чисел.

Ответ: Бесконечно много.