Номер 6, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Пусть число $a \neq 0$ — рациональное, а число $b$ — иррациональное. Какое число — рациональное или иррациональное — получится, если над данными числами выполнить арифметическую операцию (сложение, вычитание, умножение, деление)?

Для решения этой задачи мы будем использовать метод доказательства от противного. Пусть $a$ — рациональное число, причем $a \ne 0$, а $b$ — иррациональное число.

Сложение
Рассмотрим сумму $a + b$. Предположим, что эта сумма является рациональным числом. Обозначим ее как $c = a + b$, где $c$ — рациональное число. Множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания (т.е. разность двух рациональных чисел всегда рациональна). Следовательно, разность $c - a$ также должна быть рациональным числом. Однако, $c - a = (a + b) - a = b$. Получается, что число $b$ является рациональным, что противоречит исходному условию, согласно которому $b$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональной.
Ответ: иррациональное число.

Вычитание
Рассмотрим разность $a - b$. Предположим, что эта разность является рациональным числом. Обозначим ее как $c = a - b$. Так как $a$ и $c$ — рациональные числа, их разность $a - c$ также должна быть рациональным числом. Вычислим эту разность: $a - c = a - (a - b) = b$. Это приводит к противоречию, так как $b$ — иррациональное число. Аналогично рассмотрим разность $b - a$. Предположим, что она равна рациональному числу $d = b - a$. Сумма рациональных чисел $d$ и $a$ должна быть рациональной. $d + a = (b - a) + a = b$. И снова мы приходим к противоречию, что $b$ — рациональное число. Следовательно, результат вычитания всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

Умножение
Рассмотрим произведение $a \cdot b$. Предположим, что это произведение является рациональным числом. Обозначим его как $c = a \cdot b$. По условию, $a$ — рациональное число и $a \ne 0$. Это означает, что существует обратное к нему число $\frac{1}{a}$, которое также является рациональным. Произведение двух рациональных чисел ($c$ и $\frac{1}{a}$) должно быть рациональным числом. Вычислим это произведение: $c \cdot \frac{1}{a} = (a \cdot b) \cdot \frac{1}{a} = b$. Мы получили, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Условие $a \ne 0$ здесь является ключевым. Если бы $a = 0$, то произведение $0 \cdot b = 0$ было бы рациональным числом. Таким образом, наше предположение неверно.
Ответ: иррациональное число.

Деление
Рассмотрим частное $\frac{a}{b}$. (Так как $b$ иррационально, то $b \ne 0$, и деление возможно). Предположим, что частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом. Обозначим его как $c = \frac{a}{b}$. Поскольку $a \ne 0$, то и $c \ne 0$. Из равенства $c = \frac{a}{b}$ выразим $b$: $b = \frac{a}{c}$. Так как $a$ и $c$ — ненулевые рациональные числа, их частное $\frac{a}{c}$ также является рациональным числом. Это означает, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Теперь рассмотрим частное $\frac{b}{a}$. (Так как $a \ne 0$, деление возможно). Предположим, что частное $\frac{b}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $d = \frac{b}{a}$. Произведение рациональных чисел $d$ и $a$ должно быть рациональным. $d \cdot a = \frac{b}{a} \cdot a = b$. Снова получаем, что $b$ — рациональное число, что является противоречием. Следовательно, результат деления всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.