Номер 2, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Какие числа называют иррациональными?

2. Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Чтобы понять, что такое иррациональное число, нужно сначала определить, что такое рациональное число.

Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (то есть целое и положительное). Примеры рациональных чисел: $7$ (можно записать как $\frac{7}{1}$), $-0.5$ (можно записать как $-\frac{1}{2}$), $1\frac{1}{3}$ (можно записать как $\frac{4}{3}$). В десятичной форме рациональные числа всегда представляются либо конечной десятичной дробью (например, $\frac{1}{4} = 0.25$), либо бесконечной периодической десятичной дробью (например, $\frac{1}{3} = 0.333...$).

Иррациональное число, соответственно, — это действительное число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Главная особенность иррациональных чисел в их десятичном представлении: они являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Это означает, что последовательность цифр после запятой у них никогда не заканчивается и в ней нет повторяющегося блока (периода).

Множество всех рациональных чисел вместе с множеством всех иррациональных чисел образует множество действительных чисел.

Примеры иррациональных чисел:
• Число $\pi$ (пи), выражающее отношение длины окружности к её диаметру. $\pi \approx 3.14159265...$
• Число $e$ (число Эйлера), основание натурального логарифма. $e \approx 2.71828182...$
• Квадратные корни из натуральных чисел, которые не являются точными квадратами. Например, $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и т.д.
• Золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398...$

Ответ: Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. В десятичной записи они представляют собой бесконечные непериодические дроби.