Номер 6, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Как вы понимаете, в чём заключается суть метода доказательства от противного?

Метод доказательства «от противного» (также известный как reductio ad absurdum или приведение к абсурду) — это один из видов косвенного доказательства, широко применяемый в математике и логике. Суть метода заключается в следующем:

Чтобы доказать истинность некоторого утверждения (назовем его A), мы сначала делаем предположение, что оно ложно, то есть истинно его отрицание (не A). Затем, используя это предположение как отправную точку, мы с помощью логических рассуждений, аксиом и ранее доказанных теорем приходим к выводу, который является заведомо ложным или противоречивым.

Противоречие может выражаться по-разному:

• Оно может противоречить нашему исходному предположению (не A).
• Оно может противоречить одному из условий задачи или общепринятой аксиоме (например, мы приходим к выводу, что $1=0$).
• Оно может утверждать, что некоторое утверждение B и его отрицание не B истинны одновременно (например, что число является одновременно и четным, и нечетным).

Поскольку из истинного предположения с помощью верных логических шагов можно получить только истинный вывод, а мы получили ложный вывод (противоречие), это означает, что наше первоначальное предположение (не A) было неверным. В рамках классической логики, где действует закон исключённого третьего (утверждение может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано), ложность утверждения не A автоматически означает истинность утверждения A.

Таким образом, алгоритм доказательства от противного выглядит так:

1. Сформулировать утверждение A, которое нужно доказать.
2. Предположить, что утверждение A ложно, то есть истинно не A.
3. Провести цепочку логических умозаключений, исходя из предположения не A.
4. Обнаружить в результате этих умозаключений противоречие.
5. Сделать вывод, что предположение не A неверно, а значит, исходное утверждение A истинно.

Пример: Докажем, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

1. Утверждение A: $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

2. Предположение от противного (не A): Допустим, $\sqrt{2}$ — рациональное число.

3. Логические рассуждения: Если $\sqrt{2}$ рационально, то его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($p$ и $q$ не имеют общих делителей, кроме 1).

Тогда $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части равенства в квадрат: $2 = \frac{p^2}{q^2}$, откуда $p^2 = 2q^2$.

Из этого следует, что $p^2$ — четное число (так как оно делится на 2). Если квадрат числа четный, то и само число четное. Значит, $p$ — четное число.

Раз $p$ — четное, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — целое число.

Подставим $2k$ вместо $p$ в равенство $p^2 = 2q^2$:

$(2k)^2 = 2q^2$

$4k^2 = 2q^2$

$2k^2 = q^2$

Из этого следует, что $q^2$ тоже четное число, а значит, и само число $q$ — четное.

4. Противоречие: Мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ являются четными числами. Это означает, что у них есть общий делитель — 2. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.

5. Вывод: Поскольку наше предположение о том, что $\sqrt{2}$ рационально, привело к противоречию, это предположение неверно. Следовательно, верно исходное утверждение.

Ответ: Суть метода доказательства от противного состоит в том, чтобы временно предположить, что доказываемое утверждение ложно, и, исходя из этого предположения, путем логических рассуждений прийти к противоречию. Обнаруженное противоречие доказывает неверность первоначального предположения, а значит, истинность исходного утверждения.