Номер 8, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Верно ли утверждение: «Любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби»?

Да, данное утверждение абсолютно верно. Любая бесконечная периодическая десятичная дробь является представлением рационального числа, а любое рациональное число по определению можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

Чтобы доказать это, достаточно показать, как любую такую дробь можно преобразовать в обыкновенную. Рассмотрим два случая.

1. Чистая периодическая дробь

Это дробь, у которой период начинается сразу после запятой. Например, $0.(45) = 0.454545...$

Пусть $x = 0.454545...$

В периоде 2 цифры, поэтому умножим $x$ на $10^2 = 100$:

$100x = 45.454545...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 45.454545... - 0.454545...$

$99x = 45$

$x = \frac{45}{99}$

Сократив дробь, получаем $x = \frac{5}{11}$. Как видим, мы представили бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной.

В общем виде, для дроби $x = 0.(p_1p_2...p_k)$, где в периоде $k$ цифр, формула будет: $x = \frac{p_1p_2...p_k}{10^k - 1}$.

2. Смешанная периодическая дробь

Это дробь, у которой между запятой и периодом есть одна или несколько цифр (мантисса). Например, $0.21(3) = 0.21333...$

Пусть $x = 0.21333...$

Сначала умножим $x$ на такое число, чтобы "освободить" непериодическую часть. В нашем случае это $10^2 = 100$, так как до периода 2 цифры:

$100x = 21.333...$

Теперь у нас есть число, у которого справа от запятой чистая периодическая дробь. Применим к нему тот же метод, что и в первом случае. В периоде 1 цифра, умножим на $10^1 = 10$:

$10 \cdot (100x) = 1000x = 213.333...$

Теперь вычтем из последнего уравнения предыдущее:

$1000x - 100x = 213.333... - 21.333...$

$900x = 213 - 21$

$900x = 192$

$x = \frac{192}{900}$

Сократив дробь, получаем $x = \frac{16}{75}$. Снова удалось представить бесконечную дробь в виде обыкновенной.

В общем виде, для дроби $x = 0.d_1...d_m(p_1...p_k)$ с $m$ цифрами до периода и $k$ цифрами в периоде, мы всегда можем выполнить аналогичные алгебраические преобразования, которые приведут к уравнению вида $A \cdot x = B$, где $A$ и $B$ — целые числа. Решением будет $x = \frac{B}{A}$, что и является обыкновенной дробью.

Таким образом, любая бесконечная периодическая дробь может быть преобразована в обыкновенную дробь.

Ответ: Да, утверждение верно.