Номер 5, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Объясните, почему верно равенство $\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

Чтобы объяснить, почему данное равенство верно, можно использовать два подхода.

Способ 1: Использование свойства корня из дроби

Существует свойство арифметического квадратного корня, согласно которому корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя. Математически это записывается так:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (где $a \ge 0$ и $b > 0$).
Применим это свойство к левой части исходного равенства:
$\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{289}}$
Теперь вычислим квадратные корни из числителя и знаменателя:
Квадратный корень из 225 равен 15, так как $15^2 = 15 \times 15 = 225$.
$\sqrt{225} = 15$
Квадратный корень из 289 равен 17, так как $17^2 = 17 \times 17 = 289$.
$\sqrt{289} = 17$
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{289}} = \frac{15}{17}$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть, что доказывает верность равенства.

Способ 2: Проверка по определению арифметического квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, равенство $\sqrt{x} = y$ верно, если выполняются два условия: $y \ge 0$ и $y^2 = x$.
В нашем случае $x = \frac{225}{289}$ и $y = \frac{15}{17}$. Проверим оба условия:
1. Неотрицательность: Число $\frac{15}{17}$ больше нуля, значит, первое условие выполнено.
2. Возведение в квадрат: Проверим, равен ли квадрат правой части подкоренному выражению из левой части.
$(\frac{15}{17})^2 = \frac{15^2}{17^2}$
Мы уже знаем, что $15^2 = 225$ и $17^2 = 289$.
Следовательно, $(\frac{15}{17})^2 = \frac{225}{289}$.
Второе условие также выполнено.
Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня соблюдаются, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно, так как, во-первых, по свойству корня из дроби $\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{289}} = \frac{15}{17}$, и, во-вторых, по определению корня, число $\frac{15}{17}$ является неотрицательным и его квадрат равен подкоренному выражению: $(\frac{15}{17})^2 = \frac{225}{289}$.