Номер 1, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Какие числа называют рациональными?

1. Какие числа называют рациональными?

Рациональными числами (от латинского слова ratio — «отношение, деление, дробь») называют все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (то есть целое положительное число, не равное нулю).

Формальное определение: число $q$ является рациональным, если $q = \frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел: $..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$) и $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел: $1, 2, 3, ...$). Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

К рациональным числам относятся следующие группы:

Все целые числа: любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Примеры: $5 = \frac{5}{1}$; $-12 = \frac{-12}{1}$; $0 = \frac{0}{1}$.

Все обыкновенные дроби: как положительные, так и отрицательные.
Примеры: $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{4}$, $-\frac{5}{3}$.

Все конечные десятичные дроби: их всегда можно преобразовать в обыкновенную дробь.
Примеры: $0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$; $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

Все бесконечные периодические десятичные дроби: их также можно преобразовать в обыкновенную дробь.
Примеры: $0.333... = 0.(3) = \frac{1}{3}$; $0.1666... = 0.1(6) = \frac{1}{6}$.

Таким образом, главным признаком рационального числа является возможность его записи в виде дроби $\frac{m}{n}$. Это эквивалентно тому, что число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Числа, которые невозможно представить в таком виде (их десятичное представление является бесконечным непериодическим), например, $\sqrt{2}$ или $\pi$, называются иррациональными.

Ответ: Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.