Номер 8, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа. Может ли их разность быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, разность двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один пример. Рассмотрим, как можно сконструировать такие числа.

Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа, и мы хотим, чтобы их разность $a - b = r$, где $r$ — рациональное число. Это равенство можно переписать в виде $a = b + r$.

Известно, что сумма иррационального и рационального числа всегда является иррациональным числом. Поэтому, если мы выберем любое иррациональное число $b$ и любое рациональное число $r$, то их сумма $a = b + r$ также будет иррациональным числом. При этом разность полученных иррациональных чисел $a$ и $b$ будет равна $a - b = (b + r) - b = r$, что является рациональным числом по нашему выбору.

Например, выберем в качестве иррационального числа $b = \sqrt{2}$ и в качестве рационального числа $r = 5$. Тогда число $a = \sqrt{2} + 5$ является иррациональным. Найдем разность $a$ и $b$:
$a - b = (\sqrt{2} + 5) - \sqrt{2} = 5$.
Число 5 — рациональное.

Более простой пример — когда разность равна нулю. Ноль — это рациональное число. Если взять два одинаковых иррациональных числа, например, $a = \pi$ и $b = \pi$, то их разность $a - b = \pi - \pi = 0$ будет рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, если $a = \sqrt{2} + 1$ и $b = \sqrt{2}$ — иррациональные числа, то их разность $a - b = (\sqrt{2} + 1) - \sqrt{2} = 1$ является рациональным числом.