Номер 10, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

10. Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа. Может ли их частное быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, частное двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один пример. Вспомним, что иррациональное число — это действительное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Рациональное число, наоборот, всегда можно представить в таком виде.

Рассмотрим простейший пример.

Пусть число $a = \sqrt{2}$ и число $b = \sqrt{2}$. Оба эти числа являются иррациональными, что является известным математическим фактом.

Теперь найдем их частное, то есть результат деления $a$ на $b$:

$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Полученное число $1$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$.

Рассмотрим еще один пример для наглядности.

Пусть $a = 3\pi$ и $b = \pi$. Число $\pi$ иррационально. Произведение иррационального числа на ненулевое рациональное число также иррационально, поэтому $a=3\pi$ тоже является иррациональным числом.

Найдем частное этих двух иррациональных чисел:

$\frac{a}{b} = \frac{3\pi}{\pi} = 3$

Результат, число $3$, является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Таким образом, мы на конкретных примерах показали, что частное двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, если взять два одинаковых иррациональных числа, таких как $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$, их частное $\frac{a}{b} = 1$ будет рациональным числом.