Номер 7, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Сформулируйте определение кубического корня из неотрицательного числа.

Кубическим корнем (или корнем третьей степени) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, куб (третья степень) которого равен $a$.

Если обозначить кубический корень из числа $a$ как $\sqrt[3]{a}$, а результат его извлечения как число $b$, то определение можно записать в виде равносильного утверждения: выражение $\sqrt[3]{a} = b$ является истинным тогда и только тогда, когда выполняются условия $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $b^3 = a$.

Ключевые моменты определения:

• Подкоренное выражение $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$).
• Результат извлечения корня $b$ — также неотрицательное число ($b \ge 0$).
• Проверка правильности извлечения корня осуществляется возведением результата $b$ в третью степень: $b^3$ должно быть равно исходному числу $a$.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данное определение:

• $\sqrt[3]{27} = 3$, потому что $3 \ge 0$ и $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
• $\sqrt[3]{125} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
• $\sqrt[3]{0} = 0$, потому что $0 \ge 0$ и $0^3 = 0$.

Важно отметить, что в отличие от квадратного корня, кубический корень можно извлечь из любого действительного числа (в том числе и отрицательного), и результат будет единственным действительным числом. Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$. Однако, в данном определении рассматривается только случай неотрицательных чисел, для которых и сам корень является неотрицательным.

Ответ: Кубическим корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, третья степень которого равна $a$.