Номер 3, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Сформулируйте определение множества рациональных чисел.

3. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Также распространено эквивалентное, более общее определение, где знаменатель $n$ является любым целым числом, не равным нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$).

Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$ (от латинского quotient — частное).

Формально, множество рациональных чисел можно определить одним из следующих способов:

$\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \}$

или

$\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}$

Из этого определения следует, что любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, число 5 можно записать как $\frac{5}{1}$. Таким образом, множество целых чисел $\mathbb{Z}$ является подмножеством множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).

Примеры рациональных чисел: $\frac{1}{2}$; $-\frac{3}{4}$; $7$ (так как $7 = \frac{7}{1}$); $0$ (так как $0 = \frac{0}{1}$); $0.25$ (так как $0.25 = \frac{1}{4}$); $-1.5$ (так как $-1.5 = -\frac{3}{2}$).

Альтернативное определение множества рациональных чисел связано с их представлением в виде десятичной дроби:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Например: $\frac{3}{8} = 0.375$ (конечная десятичная дробь); $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$ (бесконечная периодическая десятичная дробь); $\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8(3)$ (смешанная периодическая дробь). Любая конечная или периодическая десятичная дробь может быть преобразована в обыкновенную дробь вида $\frac{m}{n}$, и наоборот.

Ответ: Множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) — это множество всех чисел, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$) или, в более общем определении, любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$). Эквивалентно, это множество чисел, представляемых в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.