Темa исследовательской работы, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Свойства степеней с целочисленными показателями.

Умножение степеней с одинаковым основанием
Для любого действительного числа $a$ (где $a \neq 0$) и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливо следующее правило: при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Это свойство является фундаментальным и позволяет упрощать выражения. Например, $x^5 \cdot x^{-3} = x^{5+(-3)} = x^2$.
Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Деление степеней с одинаковым основанием
Для любого действительного числа $a$ (где $a \neq 0$) и любых целых чисел $m$ и $n$ при делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Например, $y^2 : y^5 = y^{2-5} = y^{-3}$.
Ответ: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Возведение степени в степень
Для любого действительного числа $a$ (где $a \neq 0$) и любых целых чисел $m$ и $n$ при возведении степени в степень, основание остается без изменений, а показатели перемножаются. Например, $(b^4)^{-2} = b^{4 \cdot (-2)} = b^{-8}$.
Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

Степень произведения
Для любых действительных чисел $a$ и $b$ (где $a \neq 0, b \neq 0$) и любого целого числа $n$, степень произведения равна произведению степеней каждого из множителей. То есть, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Например, $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4 = 16x^4$.
Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

Степень частного (дроби)
Для любых действительных чисел $a$ и $b$ (где $a \neq 0, b \neq 0$) и любого целого числа $n$, степень частного (дроби) равна частному от деления степени делимого на степень делителя. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Например, $(\frac{c}{d})^{-3} = \frac{c^{-3}}{d^{-3}} = \frac{d^3}{c^3}$.
Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Степень с нулевым показателем
Любое действительное число $a$, не равное нулю, в нулевой степени равно единице. Это определение вводится для сохранения свойства деления степеней: $a^m : a^m = a^{m-m} = a^0$. Поскольку любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно 1, то и $a^0 = 1$. Выражение $0^0$ считается неопределенным.
Ответ: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$)

Степень с отрицательным целочисленным показателем
Для любого действительного числа $a$, не равного нулю, и любого целого положительного числа $n$ (то есть $n$ - натуральное число), степень $a$ с показателем $-n$ определяется как число, обратное степени $a$ с показателем $n$. Это определение следует из правила деления степеней: $a^0 : a^n = a^{0-n} = a^{-n}$. Учитывая, что $a^0 = 1$, получаем $1 : a^n = a^{-n}$. Например, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$)