Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Запишите в виде степени с положительным показателем следующее выражение:

8.1 a) $3^{-3}$;

б) $13^{-2}$;

в) $5^{-2}$;

г) $27^{-4}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство степени с целым отрицательным показателем. Для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого отрицательного числа $-n$ справедливо равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это равенство можно также записать в виде:

$a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$

Используем эту формулу для каждого из выражений.

а) Для выражения $3^{-3}$, основание $a=3$, а показатель $-n=-3$, следовательно, положительный показатель $n=3$. Применяя формулу, получаем: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$
Ответ: $(\frac{1}{3})^3$

б) Для выражения $13^{-2}$, основание $a=13$, а показатель $-n=-2$, следовательно, положительный показатель $n=2$. Применяя формулу, получаем: $13^{-2} = \frac{1}{13^2} = (\frac{1}{13})^2$
Ответ: $(\frac{1}{13})^2$

в) Для выражения $5^{-2}$, основание $a=5$, а показатель $-n=-2$, следовательно, положительный показатель $n=2$. Применяя формулу, получаем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$
Ответ: $(\frac{1}{5})^2$

г) Для выражения $27^{-4}$, основание $a=27$, а показатель $-n=-4$, следовательно, положительный показатель $n=4$. Применяя формулу, получаем: $27^{-4} = \frac{1}{27^4} = (\frac{1}{27})^4$
Ответ: $(\frac{1}{27})^4$

8.2 a) $a^{-5}$;

б) $\frac{1}{c^{-4}};

в) $d^{-3}$;

г) $\frac{1}{t^{-2}}.

а)

Для преобразования выражения $a^{-5}$ используется определение степени с отрицательным целым показателем. По определению, для любого числа $x \ne 0$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Применим это правило к нашему выражению, где в качестве основания $x$ выступает $a$, а в качестве показателя $n$ — число $5$: $a^{-5} = \frac{1}{a^5}$.

Ответ: $\frac{1}{a^5}$

б)

Для преобразования выражения $\frac{1}{c^{-4}}$ также используется определение степени с отрицательным целым показателем. Из основного правила $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ можно вывести следствие для дроби в знаменателе. Разделив $1$ на обе части равенства, получим $ \frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{\frac{1}{x^n}} = x^n $.

Применим это правило к нашему выражению, где $x=c$ и $n=4$: $\frac{1}{c^{-4}} = c^4$.

Ответ: $c^4$

в)

Для преобразования выражения $d^{-3}$ воспользуемся тем же определением степени с отрицательным целым показателем, что и в пункте а): $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Подставим в формулу основание $x=d$ и показатель $n=3$: $d^{-3} = \frac{1}{d^3}$.

Ответ: $\frac{1}{d^3}$

г)

Для преобразования выражения $\frac{1}{t^{-2}}$ воспользуемся правилом, которое мы применили в пункте б): $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

Подставим в формулу основание $x=t$ и показатель $n=2$: $\frac{1}{t^{-2}} = t^2$.

Ответ: $t^2$

8.3 а) $(a - b)^{-2}$;б) $\frac{1}{(c + d)^{-3}}$;в) $(t - s)^{-3}$;г) $\frac{1}{(k + l)^{-2}}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(a-b)^{-2}$, мы используем основное свойство степени с целым отрицательным показателем, которое гласит: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для любого $x \neq 0$ и целого $n > 0$.

В данном случае основание степени $x = (a-b)$, а показатель $n = 2$.

Применяя правило, получаем дробь, где в числителе стоит 1, а в знаменателе — основание в степени с положительным показателем:

$(a-b)^{-2} = \frac{1}{(a-b)^2}$

Это выражение является упрощенной формой исходного, так как оно не содержит отрицательных степеней. При необходимости можно также раскрыть скобки в знаменателе по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $\frac{1}{(a-b)^2}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{1}{(c+d)^{-3}}$.

Для его упрощения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем в знаменателе: $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ для любого $x \neq 0$ и целого $n > 0$.

Здесь основание степени $x = (c+d)$, а показатель $n = 3$.

Согласно этому свойству, мы можем перенести степень из знаменателя в числитель, изменив знак показателя на противоположный:

$\frac{1}{(c+d)^{-3}} = (c+d)^3$

Выражение преобразовано к виду, не содержащему дробей и отрицательных степеней. При необходимости его можно раскрыть по формуле куба суммы: $(c+d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$.

Ответ: $(c+d)^3$

в) Дано выражение $(t-s)^{-3}$.

Для его преобразования применим то же правило, что и в пункте а): $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

В этом примере основание $x = (t-s)$, а показатель $n = 3$.

Подставляя наши значения в правило, получаем:

$(t-s)^{-3} = \frac{1}{(t-s)^3}$

Это выражение является искомым результатом. Дополнительно можно раскрыть скобки в знаменателе по формуле куба разности: $(t-s)^3 = t^3 - 3t^2s + 3ts^2 - s^3$.

Ответ: $\frac{1}{(t-s)^3}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{1}{(k+l)^{-2}}$.

Как и в пункте б), используем свойство $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

Здесь основание $x = (k+l)$, а показатель $n = 2$.

Применяя правило, преобразуем дробь:

$\frac{1}{(k+l)^{-2}} = (k+l)^2$

Полученное выражение не содержит отрицательных степеней. Его можно также представить в раскрытом виде, используя формулу квадрата суммы: $(k+l)^2 = k^2 + 2kl + l^2$.

Ответ: $(k+l)^2$

8.4 Вычислите:

а) $4 \cdot \frac{1}{2^{-2}}$;

б) $6 \cdot 3^{-3}$;

в) $2 \cdot \frac{1}{5^{-1}}$;

г) $3 \cdot 9^{-2}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $4 \cdot \frac{1}{2^{-2}}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Из этого свойства следует, что $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.

Применим это свойство к знаменателю дроби в нашем выражении:

$\frac{1}{2^{-2}} = 2^2 = 4$.

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$4 \cdot \frac{1}{2^{-2}} = 4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: 16

б)

Чтобы вычислить значение выражения $6 \cdot 3^{-3}$, используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим это свойство к $3^{-3}$:

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{27}$.

Теперь умножим 6 на полученную дробь:

$6 \cdot 3^{-3} = 6 \cdot \frac{1}{27} = \frac{6}{27}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{6 \div 3}{27 \div 3} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$

в)

Чтобы вычислить значение выражения $2 \cdot \frac{1}{5^{-1}}$, воспользуемся тем же свойством, что и в пункте а): $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.

Применим это свойство к знаменателю дроби:

$\frac{1}{5^{-1}} = 5^1 = 5$.

Подставим это значение в исходное выражение и выполним умножение:

$2 \cdot \frac{1}{5^{-1}} = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10

г)

Чтобы вычислить значение выражения $3 \cdot 9^{-2}$, представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$3 \cdot (3^2)^{-2}$.

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$.

Выражение принимает вид:

$3 \cdot 3^{-4}$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учитывая, что $3$ можно записать как $3^1$:

$3^1 \cdot 3^{-4} = 3^{1 + (-4)} = 3^{1-4} = 3^{-3}$.

Наконец, применяем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$

Используя определение степени с отрицательным показателем, представьте дробь в виде произведения степеней:

8.5 a) $frac{d}{c^2}$;

б) $frac{b^3}{a^{-4}};

в) $frac{n}{m}$;

г) $frac{p^2}{q^{-5}}$.

а) Чтобы представить дробь $ \frac{d}{c^2} $ в виде произведения степеней, запишем её как произведение числителя на обратную величину знаменателя: $ d \cdot \frac{1}{c^2} $. По определению степени с отрицательным показателем, $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $. Применив это правило, получаем, что $ \frac{1}{c^2} = c^{-2} $. Таким образом, исходная дробь равна произведению $ d \cdot c^{-2} $.

Ответ: $ dc^{-2} $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{b^3}{a^{-4}} $. Её можно переписать в виде произведения $ b^3 \cdot \frac{1}{a^{-4}} $. Согласно определению степени с отрицательным показателем, верно равенство $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $. Используя это свойство, заменяем $ \frac{1}{a^{-4}} $ на $ a^4 $. В результате получаем произведение степеней $ b^3a^4 $.

Ответ: $ b^3a^4 $

в) Дробь $ \frac{n}{m} $ можно представить как произведение $ n \cdot \frac{1}{m} $. Любое число без показателя степени можно рассматривать как число в первой степени, то есть $ m = m^1 $. Используя определение $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ \frac{1}{m^1} = m^{-1} $. Следовательно, исходная дробь равна произведению $ n \cdot m^{-1} $.

Ответ: $ nm^{-1} $

г) Исходное выражение — это дробь $ \frac{p^2}{q^{-5}} $. Представим её в виде произведения $ p^2 \cdot \frac{1}{q^{-5}} $. По свойству степени с отрицательным показателем $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $, мы можем преобразовать множитель $ \frac{1}{q^{-5}} $ в $ q^5 $. Таким образом, дробь преобразуется в произведение степеней $ p^2q^5 $.

Ответ: $ p^2q^5 $

8.6 a) $\frac{(t + s)^3}{(t - s)^2}$;

б) $\frac{(k + l)^5}{(p - t)^{-2}}$;

в) $\frac{(a - b)^2}{c + d}$;

г) $\frac{(n - m)^4}{(m + n)^{-3}}$.

а)

Исходное выражение: $\frac{(t+s)^3}{(t-s)^{-2}}$.
Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени в знаменателе, воспользуемся свойством степени: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Применяя это правило к множителю $(t-s)^{-2}$ в знаменателе, мы переносим его в числитель, изменив знак показателя степени с -2 на 2.
Получаем:
$\frac{(t+s)^3}{(t-s)^{-2}} = (t+s)^3 \cdot (t-s)^2$.
Это выражение является дробью со знаменателем, равным 1.

Ответ: $(t+s)^3(t-s)^2$

б)

Исходное выражение: $\frac{(k+l)^5}{(p-t)^{-2}}$.
Это задание аналогично предыдущему. В знаменателе находится степень с отрицательным показателем.
Используем свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Переносим множитель $(p-t)^{-2}$ из знаменателя в числитель, при этом показатель степени меняет знак на противоположный:
$\frac{(k+l)^5}{(p-t)^{-2}} = (k+l)^5 \cdot (p-t)^2$.

Ответ: $(k+l)^5(p-t)^2$

в)

Исходное выражение: $\frac{(a-b)^{-2}}{c+d}$.
В этом случае степень с отрицательным показателем $(a-b)^{-2}$ находится в числителе.
Воспользуемся свойством степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Переносим множитель $(a-b)^{-2}$ из числителя в знаменатель, меняя знак показателя степени с -2 на 2.
$\frac{(a-b)^{-2}}{c+d} = \frac{1}{(c+d)(a-b)^2}$.
Таким образом, мы представили выражение в виде дроби без отрицательных показателей.

Ответ: $\frac{1}{(c+d)(a-b)^2}$

г)

Исходное выражение: $\frac{(n-m)^4}{(m+n)^{-3}}$.
Степень с отрицательным показателем $(m+n)^{-3}$ находится в знаменателе.
Снова применяем свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.
Переносим множитель $(m+n)^{-3}$ в числитель, изменив показатель степени на 3:
$\frac{(n-m)^4}{(m+n)^{-3}} = (n-m)^4 \cdot (m+n)^3$.

Ответ: $(n-m)^4(m+n)^3$

8.7 Представьте числа 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{32}$, $\frac{1}{128}$ в виде степени числа:

а) 2;

б) $\frac{1}{2}$.

а) 2;

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $n$, что $2^n$ равно заданному числу. Для целых чисел, больших 1, показатель будет положительным. Для дробей вида $\frac{1}{x}$ используется свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Представим каждое число из списка в виде степени числа 2:

$2 = 2^1$

$4 = 2 \times 2 = 2^2$

$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$

$16 = 2^4$

$32 = 2^5$

$64 = 2^6$

$128 = 2^7$

Теперь представим дроби:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

$\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$

Ответ: $2 = 2^1$; $4 = 2^2$; $8 = 2^3$; $16 = 2^4$; $32 = 2^5$; $64 = 2^6$; $128 = 2^7$; $\frac{1}{2} = 2^{-1}$; $\frac{1}{4} = 2^{-2}$; $\frac{1}{8} = 2^{-3}$; $\frac{1}{32} = 2^{-5}$; $\frac{1}{128} = 2^{-7}$.

б) $\frac{1}{2}$;

Чтобы представить числа в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$, воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Для нашего случая, $(\frac{1}{2})^{-n} = (\frac{2}{1})^n = 2^n$.

Представим целые числа из списка, используя $2^n = (\frac{1}{2})^{-n}$:

$2 = 2^1 = (\frac{1}{2})^{-1}$

$4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

$8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$

$16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4}$

$32 = 2^5 = (\frac{1}{2})^{-5}$

$64 = 2^6 = (\frac{1}{2})^{-6}$

$128 = 2^7 = (\frac{1}{2})^{-7}$

Теперь представим дроби. Для них показатель степени будет положительным:

$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$

$\frac{1}{4} = \frac{1^2}{2^2} = (\frac{1}{2})^2$

$\frac{1}{8} = \frac{1^3}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$

$\frac{1}{32} = \frac{1^5}{2^5} = (\frac{1}{2})^5$

$\frac{1}{128} = \frac{1^7}{2^7} = (\frac{1}{2})^7$

Ответ: $2 = (\frac{1}{2})^{-1}$; $4 = (\frac{1}{2})^{-2}$; $8 = (\frac{1}{2})^{-3}$; $16 = (\frac{1}{2})^{-4}$; $32 = (\frac{1}{2})^{-5}$; $64 = (\frac{1}{2})^{-6}$; $128 = (\frac{1}{2})^{-7}$; $\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$; $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$; $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$; $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$; $\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^7$.

8.8 Представьте числа 3, 9, 27, 81, 243, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{27}$, $\frac{1}{81}$, $\frac{1}{243}$ в виде степени числа:

а) 3;

б) $\frac{1}{3}$.

а) Чтобы представить данные числа в виде степени с основанием 3, необходимо найти, в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить каждое из заданных чисел. Для целых чисел это будут положительные степени, а для дробей — отрицательные, согласно свойству $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

• $3 = 3^1$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
• $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$
• $243 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$
• $\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$
• $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
• $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
• $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
• $\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$

Ответ: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^{-1}, 3^{-2}, 3^{-3}, 3^{-4}, 3^{-5}$.

б) Чтобы представить данные числа в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$, воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

• $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$
• $9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$
• $27 = 3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$
• $81 = 3^4 = ((\frac{1}{3})^{-1})^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$
• $243 = 3^5 = ((\frac{1}{3})^{-1})^5 = (\frac{1}{3})^{-5}$
• $\frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^1$
• $\frac{1}{9} = \frac{1^2}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$
• $\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$
• $\frac{1}{81} = \frac{1^4}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$
• $\frac{1}{243} = \frac{1^5}{3^5} = (\frac{1}{3})^5$

Ответ: $(\frac{1}{3})^{-1}, (\frac{1}{3})^{-2}, (\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^{-4}, (\frac{1}{3})^{-5}, (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4, (\frac{1}{3})^5$.

8.9 Представьте заданное число в виде степени некоторого простого числа:

а) $\frac{1}{729}$;

б) $\frac{1}{343}$;

в) $\frac{1}{625}$;

г) $\frac{1}{1024}$.

а) Чтобы представить число $\frac{1}{729}$ в виде степени некоторого простого числа, необходимо сначала найти простое число, степенью которого является знаменатель 729. Для этого разложим 729 на простые множители.
Число 729 нечетное, поэтому не делится на 2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа $7+2+9=18$, 18 делится на 3, значит и 729 делится на 3.
$729 = 3 \cdot 243$
$243 = 3 \cdot 81$
$81 = 3 \cdot 27$
$27 = 3 \cdot 9$
$9 = 3 \cdot 3$
Таким образом, $729 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^6$.
Число 3 является простым.
Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.
$\frac{1}{729} = \frac{1}{3^6} = 3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$.

б) Чтобы представить число $\frac{1}{343}$ в виде степени простого числа, разложим знаменатель 343 на простые множители.
Проверим делимость на простые числа. Сумма цифр $3+4+3=10$, не делится на 3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит не делится на 5. Проверим делимость на 7:
$343 : 7 = 49$
$49 = 7 \cdot 7$
Следовательно, $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$.
Число 7 является простым.
Используя свойство степени $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$.
Ответ: $7^{-3}$.

в) Чтобы представить число $\frac{1}{625}$ в виде степени простого числа, разложим знаменатель 625 на простые множители.
Число 625 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
$625 = 5 \cdot 125$
$125 = 5 \cdot 25$
$25 = 5 \cdot 5$
Таким образом, $625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.
Число 5 является простым.
Применяем свойство степени с отрицательным показателем:
$\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.
Ответ: $5^{-4}$.

г) Чтобы представить число $\frac{1}{1024}$ в виде степени простого числа, разложим знаменатель 1024 на простые множители.
Число 1024 является четным, поэтому оно делится на 2.
$1024 = 2 \cdot 512 = 2 \cdot 2 \cdot 256 = 2^2 \cdot 2 \cdot 128 = 2^3 \cdot 2 \cdot 64 = 2^4 \cdot 2 \cdot 32 = 2^5 \cdot 2 \cdot 16 = 2^6 \cdot 2 \cdot 8 = 2^7 \cdot 2 \cdot 4 = 2^8 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10}$.
Следовательно, $1024 = 2^{10}$.
Число 2 является простым.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{1024} = \frac{1}{2^{10}} = 2^{-10}$.
Ответ: $2^{-10}$.