Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

6. Как вы понимаете, в чём заключается суть метода доказательства от противного?

Метод доказательства «от противного» (также известный как reductio ad absurdum или приведение к абсурду) — это один из видов косвенного доказательства, широко применяемый в математике и логике. Суть метода заключается в следующем:

Чтобы доказать истинность некоторого утверждения (назовем его A), мы сначала делаем предположение, что оно ложно, то есть истинно его отрицание (не A). Затем, используя это предположение как отправную точку, мы с помощью логических рассуждений, аксиом и ранее доказанных теорем приходим к выводу, который является заведомо ложным или противоречивым.

Противоречие может выражаться по-разному:

• Оно может противоречить нашему исходному предположению (не A).
• Оно может противоречить одному из условий задачи или общепринятой аксиоме (например, мы приходим к выводу, что $1=0$).
• Оно может утверждать, что некоторое утверждение B и его отрицание не B истинны одновременно (например, что число является одновременно и четным, и нечетным).

Поскольку из истинного предположения с помощью верных логических шагов можно получить только истинный вывод, а мы получили ложный вывод (противоречие), это означает, что наше первоначальное предположение (не A) было неверным. В рамках классической логики, где действует закон исключённого третьего (утверждение может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано), ложность утверждения не A автоматически означает истинность утверждения A.

Таким образом, алгоритм доказательства от противного выглядит так:

1. Сформулировать утверждение A, которое нужно доказать.
2. Предположить, что утверждение A ложно, то есть истинно не A.
3. Провести цепочку логических умозаключений, исходя из предположения не A.
4. Обнаружить в результате этих умозаключений противоречие.
5. Сделать вывод, что предположение не A неверно, а значит, исходное утверждение A истинно.

Пример: Докажем, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

1. Утверждение A: $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

2. Предположение от противного (не A): Допустим, $\sqrt{2}$ — рациональное число.

3. Логические рассуждения: Если $\sqrt{2}$ рационально, то его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($p$ и $q$ не имеют общих делителей, кроме 1).

Тогда $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части равенства в квадрат: $2 = \frac{p^2}{q^2}$, откуда $p^2 = 2q^2$.

Из этого следует, что $p^2$ — четное число (так как оно делится на 2). Если квадрат числа четный, то и само число четное. Значит, $p$ — четное число.

Раз $p$ — четное, его можно представить в виде $p = 2k$, где $k$ — целое число.

Подставим $2k$ вместо $p$ в равенство $p^2 = 2q^2$:

$(2k)^2 = 2q^2$

$4k^2 = 2q^2$

$2k^2 = q^2$

Из этого следует, что $q^2$ тоже четное число, а значит, и само число $q$ — четное.

4. Противоречие: Мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ являются четными числами. Это означает, что у них есть общий делитель — 2. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой.

5. Вывод: Поскольку наше предположение о том, что $\sqrt{2}$ рационально, привело к противоречию, это предположение неверно. Следовательно, верно исходное утверждение.

Ответ: Суть метода доказательства от противного состоит в том, чтобы временно предположить, что доказываемое утверждение ложно, и, исходя из этого предположения, путем логических рассуждений прийти к противоречию. Обнаруженное противоречие доказывает неверность первоначального предположения, а значит, истинность исходного утверждения.

7. Сформулируйте определение кубического корня из неотрицательного числа.

Кубическим корнем (или корнем третьей степени) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, куб (третья степень) которого равен $a$.

Если обозначить кубический корень из числа $a$ как $\sqrt[3]{a}$, а результат его извлечения как число $b$, то определение можно записать в виде равносильного утверждения: выражение $\sqrt[3]{a} = b$ является истинным тогда и только тогда, когда выполняются условия $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $b^3 = a$.

Ключевые моменты определения:

• Подкоренное выражение $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$).
• Результат извлечения корня $b$ — также неотрицательное число ($b \ge 0$).
• Проверка правильности извлечения корня осуществляется возведением результата $b$ в третью степень: $b^3$ должно быть равно исходному числу $a$.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данное определение:

• $\sqrt[3]{27} = 3$, потому что $3 \ge 0$ и $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
• $\sqrt[3]{125} = 5$, потому что $5 \ge 0$ и $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
• $\sqrt[3]{0} = 0$, потому что $0 \ge 0$ и $0^3 = 0$.

Важно отметить, что в отличие от квадратного корня, кубический корень можно извлечь из любого действительного числа (в том числе и отрицательного), и результат будет единственным действительным числом. Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, так как $(-2)^3 = -8$. Однако, в данном определении рассматривается только случай неотрицательных чисел, для которых и сам корень является неотрицательным.

Ответ: Кубическим корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, третья степень которого равна $a$.

7.36 a) $ \frac{c-2}{2c+6} + \frac{c+3}{3c-6} = 0; $

б) $ \frac{y+2}{y^2-7y} - \frac{4}{(7-y)^2} = \frac{1}{y-7}; $

в) $ \frac{d+5}{5d-20} + \frac{d-4}{4d+20} = \frac{9}{20}; $

г) $ \frac{2a-2}{a^2-36} - \frac{a-2}{a^2-6a} - \frac{a-1}{a^2+6a} = 0. $

а) $\frac{c - 2}{2c + 6} + \frac{c + 3}{3c - 6} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$2c + 6 \ne 0 \Rightarrow 2c \ne -6 \Rightarrow c \ne -3$

$3c - 6 \ne 0 \Rightarrow 3c \ne 6 \Rightarrow c \ne 2$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{c - 2}{2(c + 3)} + \frac{c + 3}{3(c - 2)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $6(c + 3)(c - 2)$:

$\frac{3(c - 2)(c - 2) + 2(c + 3)(c + 3)}{6(c + 3)(c - 2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:

$3(c - 2)^2 + 2(c + 3)^2 = 0$

$3(c^2 - 4c + 4) + 2(c^2 + 6c + 9) = 0$

$3c^2 - 12c + 12 + 2c^2 + 12c + 18 = 0$

$5c^2 + 30 = 0$

$5c^2 = -30$

$c^2 = -6$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{y + 2}{y^2 - 7y} - \frac{4}{(7 - y)^2} = \frac{1}{y - 7}$

Найдем ОДЗ:

$y^2 - 7y \ne 0 \Rightarrow y(y - 7) \ne 0 \Rightarrow y \ne 0$ и $y \ne 7$

$(7 - y)^2 \ne 0 \Rightarrow 7 - y \ne 0 \Rightarrow y \ne 7$

ОДЗ: $y \ne 0, y \ne 7$.

Преобразуем уравнение, учитывая, что $(7 - y)^2 = (y - 7)^2$:

$\frac{y + 2}{y(y - 7)} - \frac{4}{(y - 7)^2} = \frac{1}{y - 7}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $y(y - 7)^2$:

$\frac{(y + 2)(y - 7)}{y(y - 7)^2} - \frac{4y}{y(y - 7)^2} = \frac{y(y - 7)}{y(y - 7)^2}$

Приравняем числители:

$(y + 2)(y - 7) - 4y = y(y - 7)$

$y^2 - 7y + 2y - 14 - 4y = y^2 - 7y$

$y^2 - 9y - 14 = y^2 - 7y$

$-9y - 14 = -7y$

$-2y = 14$

$y = -7$

Корень $y = -7$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -7.

в) $\frac{d + 5}{5d - 20} + \frac{d - 4}{4d + 20} = \frac{9}{20}$

Найдем ОДЗ:

$5d - 20 \ne 0 \Rightarrow 5d \ne 20 \Rightarrow d \ne 4$

$4d + 20 \ne 0 \Rightarrow 4d \ne -20 \Rightarrow d \ne -5$

ОДЗ: $d \ne 4, d \ne -5$.

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{d + 5}{5(d - 4)} + \frac{d - 4}{4(d + 5)} = \frac{9}{20}$

Общий знаменатель равен $20(d - 4)(d + 5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4(d + 5)(d + 5) + 5(d - 4)(d - 4) = 9(d - 4)(d + 5)$

$4(d + 5)^2 + 5(d - 4)^2 = 9(d^2 + 5d - 4d - 20)$

$4(d^2 + 10d + 25) + 5(d^2 - 8d + 16) = 9(d^2 + d - 20)$

$4d^2 + 40d + 100 + 5d^2 - 40d + 80 = 9d^2 + 9d - 180$

$9d^2 + 180 = 9d^2 + 9d - 180$

$180 = 9d - 180$

$360 = 9d$

$d = 40$

Корень $d = 40$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 40.

г) $\frac{2a - 2}{a^2 - 36} - \frac{a - 2}{a^2 - 6a} - \frac{a - 1}{a^2 + 6a} = 0$

Найдем ОДЗ:

$a^2 - 36 \ne 0 \Rightarrow (a - 6)(a + 6) \ne 0 \Rightarrow a \ne 6$ и $a \ne -6$

$a^2 - 6a \ne 0 \Rightarrow a(a - 6) \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$ и $a \ne 6$

$a^2 + 6a \ne 0 \Rightarrow a(a + 6) \ne 0 \Rightarrow a \ne 0$ и $a \ne -6$

ОДЗ: $a \ne 0, a \ne 6, a \ne -6$.

Разложим знаменатели и числитель первой дроби на множители:

$\frac{2(a - 1)}{(a - 6)(a + 6)} - \frac{a - 2}{a(a - 6)} - \frac{a - 1}{a(a + 6)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a - 6)(a + 6)$:

$\frac{2a(a - 1) - (a + 6)(a - 2) - (a - 6)(a - 1)}{a(a - 6)(a + 6)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2a(a - 1) - (a^2 - 2a + 6a - 12) - (a^2 - a - 6a + 6) = 0$

$2a^2 - 2a - (a^2 + 4a - 12) - (a^2 - 7a + 6) = 0$

$2a^2 - 2a - a^2 - 4a + 12 - a^2 + 7a - 6 = 0$

$(2a^2 - a^2 - a^2) + (-2a - 4a + 7a) + (12 - 6) = 0$

$0a^2 + a + 6 = 0$

$a + 6 = 0$

$a = -6$

Полученный корень $a = -6$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет.

7.37 a) $\frac{c + 2}{c^2 - 5c} - \frac{c - 5}{2c^2 - 50} = \frac{c + 25}{2c^2 - 50};$

б) $\frac{3y - 1}{6y - 3} - \frac{1}{1 - 4y^2} = \frac{y}{2y + 1};$

в) $\frac{4(d + 9)}{5d^2 - 45} + \frac{d + 3}{5d^2 - 15d} = \frac{d - 3}{d^2 + 3d};$

г) $\frac{1}{4x - 6} + \frac{2x - 5}{18 - 8x^2} - \frac{1}{2x^2 + 3x} = 0.$

а)

Исходное уравнение:

$\frac{c + 2}{c^2 - 5c} - \frac{c - 5}{2c^2 - 50} = \frac{c + 25}{2c^2 - 50}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$c^2 - 5c = c(c - 5) \neq 0 \implies c \neq 0, c \neq 5$

$2c^2 - 50 = 2(c^2 - 25) = 2(c - 5)(c + 5) \neq 0 \implies c \neq 5, c \neq -5$

Таким образом, ОДЗ: $c \in \mathbb{R} \setminus \{-5, 0, 5\}$.

2. Перенесем второй член из левой части в правую:

$\frac{c + 2}{c^2 - 5c} = \frac{c + 25}{2c^2 - 50} + \frac{c - 5}{2c^2 - 50}$

Сложим дроби в правой части, так как у них одинаковый знаменатель:

$\frac{c + 2}{c^2 - 5c} = \frac{(c + 25) + (c - 5)}{2c^2 - 50}$

$\frac{c + 2}{c(c - 5)} = \frac{2c + 20}{2(c^2 - 25)}$

Разложим знаменатели на множители и упростим правую часть:

$\frac{c + 2}{c(c - 5)} = \frac{2(c + 10)}{2(c - 5)(c + 5)}$

$\frac{c + 2}{c(c - 5)} = \frac{c + 10}{(c - 5)(c + 5)}$

3. Умножим обе части уравнения на $(c - 5)$, так как из ОДЗ мы знаем, что $c \neq 5$:

$\frac{c + 2}{c} = \frac{c + 10}{c + 5}$

4. Решим полученное уравнение пропорции, используя перекрестное умножение (возможно, так как $c \neq 0$ и $c \neq -5$):

$(c + 2)(c + 5) = c(c + 10)$

$c^2 + 5c + 2c + 10 = c^2 + 10c$

$c^2 + 7c + 10 = c^2 + 10c$

Вычтем $c^2$ из обеих частей:

$7c + 10 = 10c$

$10 = 3c$

$c = \frac{10}{3}$

5. Проверим, входит ли корень в ОДЗ. $c = \frac{10}{3}$ не равно -5, 0 или 5. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $c = \frac{10}{3}$.

б)

Исходное уравнение:

$\frac{3y - 1}{6y - 3} - \frac{1}{1 - 4y^2} = \frac{y}{2y + 1}$

1. Найдем ОДЗ, разложив знаменатели на множители:

$6y - 3 = 3(2y - 1) \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{2}$

$1 - 4y^2 = (1 - 2y)(1 + 2y) = -(2y - 1)(2y + 1) \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{2}, y \neq -\frac{1}{2}$

$2y + 1 \neq 0 \implies y \neq -\frac{1}{2}$

ОДЗ: $y \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}$.

2. Преобразуем уравнение:

$\frac{3y - 1}{3(2y - 1)} - \frac{1}{-(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{y}{2y + 1}$

$\frac{3y - 1}{3(2y - 1)} + \frac{1}{(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{y}{2y + 1}$

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $3(2y - 1)(2y + 1)$:

$\frac{(3y - 1)(2y + 1)}{3(2y - 1)(2y + 1)} + \frac{3}{3(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{y \cdot 3(2y - 1)}{3(2y - 1)(2y + 1)}$

Умножим обе части на общий знаменатель (он не равен нулю в ОДЗ):

$(3y - 1)(2y + 1) + 3 = 3y(2y - 1)$

4. Раскроем скобки и решим уравнение:

$6y^2 + 3y - 2y - 1 + 3 = 6y^2 - 3y$

$6y^2 + y + 2 = 6y^2 - 3y$

$y + 2 = -3y$

$4y = -2$

$y = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

5. Проверим корень. Значение $y = -\frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $1 - 4y^2$ и $2y + 1$ обращаются в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

в)

Исходное уравнение:

$\frac{4(d + 9)}{5d^2 - 45} + \frac{d + 3}{5d^2 - 15d} = \frac{d - 3}{d^2 + 3d}$

1. Найдем ОДЗ, разложив знаменатели на множители:

$5d^2 - 45 = 5(d^2 - 9) = 5(d - 3)(d + 3) \neq 0 \implies d \neq 3, d \neq -3$

$5d^2 - 15d = 5d(d - 3) \neq 0 \implies d \neq 0, d \neq 3$

$d^2 + 3d = d(d + 3) \neq 0 \implies d \neq 0, d \neq -3$

ОДЗ: $d \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\}$.

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{4(d + 9)}{5(d - 3)(d + 3)} + \frac{d + 3}{5d(d - 3)} = \frac{d - 3}{d(d + 3)}$

3. Общий знаменатель: $5d(d - 3)(d + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4(d + 9) \cdot d + (d + 3) \cdot (d + 3) = (d - 3) \cdot 5(d - 3)$

4. Раскроем скобки и решим уравнение:

$4d^2 + 36d + (d^2 + 6d + 9) = 5(d^2 - 6d + 9)$

$5d^2 + 42d + 9 = 5d^2 - 30d + 45$

Вычтем $5d^2$ из обеих частей:

$42d + 9 = -30d + 45$

$42d + 30d = 45 - 9$

$72d = 36$

$d = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

5. Проверим корень. Значение $d = \frac{1}{2}$ входит в ОДЗ. Следовательно, это решение.

Ответ: $d = \frac{1}{2}$.

г)

Исходное уравнение:

$\frac{1}{4x - 6} + \frac{2x - 5}{18 - 8x^2} - \frac{1}{2x^2 + 3x} = 0$

1. Найдем ОДЗ, разложив знаменатели на множители:

$4x - 6 = 2(2x - 3) \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$

$18 - 8x^2 = 2(9 - 4x^2) = 2(3 - 2x)(3 + 2x) = -2(2x - 3)(2x + 3) \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}, x \neq -\frac{3}{2}$

$2x^2 + 3x = x(2x + 3) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -\frac{3}{2}$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2}\}$.

2. Преобразуем уравнение, вынеся минус из второго знаменателя:

$\frac{1}{2(2x - 3)} - \frac{2x - 5}{2(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{1}{x(2x + 3)} = 0$

3. Общий знаменатель: $2x(2x - 3)(2x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$1 \cdot x(2x + 3) - (2x - 5) \cdot x - 1 \cdot 2(2x - 3) = 0$

4. Раскроем скобки и решим уравнение:

$2x^2 + 3x - (2x^2 - 5x) - (4x - 6) = 0$

$2x^2 + 3x - 2x^2 + 5x - 4x + 6 = 0$

$(3x + 5x - 4x) + 6 = 0$

$4x + 6 = 0$

$4x = -6$

$x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

5. Проверим корень. Значение $x = -\frac{3}{2}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $18 - 8x^2$ и $2x^2 + 3x$ обращаются в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

7.38 a) Существует ли такое значение d, при котором разность дробей $\frac{12d - 7}{10d + 1}$ и $\frac{d - 3}{5d + 1}$ равна 1?

б) Существует ли такое значение b, при котором разность дробей $\frac{18b + 2}{b - 4}$ и $\frac{15b + 1}{b + 5}$ равна 3?

а) Чтобы выяснить, существует ли такое значение $d$, при котором разность дробей равна 1, составим и решим уравнение:

$\frac{12d-7}{10d+1} - \frac{d-3}{5d+1} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль:

$10d+1 \neq 0 \implies 10d \neq -1 \implies d \neq -0,1$

$5d+1 \neq 0 \implies 5d \neq -1 \implies d \neq -0,2$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(10d+1)(5d+1)$:

$\frac{(12d-7)(5d+1)}{(10d+1)(5d+1)} - \frac{(d-3)(10d+1)}{(10d+1)(5d+1)} = 1$

$\frac{(12d-7)(5d+1) - (d-3)(10d+1)}{(10d+1)(5d+1)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(10d+1)(5d+1)$, так как в области допустимых значений он не равен нулю:

$(12d-7)(5d+1) - (d-3)(10d+1) = (10d+1)(5d+1)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(60d^2 + 12d - 35d - 7) - (10d^2 + d - 30d - 3) = 50d^2 + 10d + 5d + 1$

Упростим выражения в скобках:

$(60d^2 - 23d - 7) - (10d^2 - 29d - 3) = 50d^2 + 15d + 1$

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$60d^2 - 23d - 7 - 10d^2 + 29d + 3 = 50d^2 + 15d + 1$

$50d^2 + 6d - 4 = 50d^2 + 15d + 1$

Теперь решим получившееся линейное уравнение:

$6d - 4 = 15d + 1$

$6d - 15d = 1 + 4$

$-9d = 5$

$d = -\frac{5}{9}$

Полученное значение $d = -\frac{5}{9}$ не совпадает ни с одним из ограничений ОДЗ ($d \neq -0,1$ и $d \neq -0,2$). Следовательно, такое значение $d$ существует.

Ответ: да, существует, $d = -\frac{5}{9}$.

б) Чтобы выяснить, существует ли такое значение $b$, при котором разность дробей равна 3, составим и решим уравнение:

$\frac{18b+2}{b-4} - \frac{15b+1}{b+5} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$b-4 \neq 0 \implies b \neq 4$

$b+5 \neq 0 \implies b \neq -5$

Приведем дроби к общему знаменателю $(b-4)(b+5)$ и умножим обе части уравнения на него (на ОДЗ он не равен нулю):

$(18b+2)(b+5) - (15b+1)(b-4) = 3(b-4)(b+5)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(18b^2 + 90b + 2b + 10) - (15b^2 - 60b + b - 4) = 3(b^2 + 5b - 4b - 20)$

Упростим выражения в скобках:

$(18b^2 + 92b + 10) - (15b^2 - 59b - 4) = 3(b^2 + b - 20)$

Раскроем оставшиеся скобки:

$18b^2 + 92b + 10 - 15b^2 + 59b + 4 = 3b^2 + 3b - 60$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3b^2 + 151b + 14 = 3b^2 + 3b - 60$

Упростим уравнение, вычитая $3b^2$ из обеих частей:

$151b + 14 = 3b - 60$

Решим полученное линейное уравнение:

$151b - 3b = -60 - 14$

$148b = -74$

$b = -\frac{74}{148} = -\frac{1}{2}$

Найденное значение $b = -\frac{1}{2}$ (или $-0,5$) не противоречит ОДЗ ($b \neq 4$ и $b \neq -5$). Следовательно, такое значение $b$ существует.

Ответ: да, существует, $b = -\frac{1}{2}$.

7.39 a) Алгебраическое выражение $\frac{a+1}{2} - 3b$ принимает значение $3\frac{1}{2}$ при $b = -0,5$ и при некотором значении $a$. Чему равно значение того же выражения при том же значении $a$ и при $b = \frac{5}{12}$?

б) Алгебраическое выражение $\frac{c-2}{3} \cdot x - 4x$ принимает значение 1 при $x = -\frac{1}{3}$ и при некотором значении $c$. Чему равно значение того же выражения при том же значении $c$ и при $x = -11\frac{1}{3}$?

а)

Обозначим данное алгебраическое выражение как $E = \frac{a+1}{2} - 3b$.

По условию, при $b = -0,5$ значение выражения равно $3\frac{1}{2}$. Подставим эти значения в выражение, чтобы найти значение части, зависящей от $a$.

$\frac{a+1}{2} - 3(-0,5) = 3\frac{1}{2}$

Переведем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

$\frac{a+1}{2} - 3(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$

$\frac{a+1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь выразим $\frac{a+1}{2}$:

$\frac{a+1}{2} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Мы нашли, что постоянная часть выражения $\frac{a+1}{2}$ равна 2. Теперь нужно найти значение всего выражения при том же значении $a$ (т.е. при $\frac{a+1}{2} = 2$) и новом значении $b = \frac{5}{12}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$E = 2 - 3b = 2 - 3 \cdot \frac{5}{12}$

Выполним вычисления:

$2 - 3 \cdot \frac{5}{12} = 2 - \frac{3 \cdot 5}{12} = 2 - \frac{15}{12} = 2 - \frac{5}{4}$

$2 - \frac{5}{4} = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

б)

Обозначим данное алгебраическое выражение как $E = \frac{c-2}{3} \cdot x - 4x$.

Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$E = (\frac{c-2}{3} - 4)x$

Поскольку значение $c$ является некоторым постоянным числом, то выражение в скобках $(\frac{c-2}{3} - 4)$ также является константой. Обозначим эту константу как $K$. Тогда $E = Kx$.

По условию, при $x = -\frac{1}{3}$ значение выражения равно 1. Подставим эти значения, чтобы найти $K$:

$K \cdot (-\frac{1}{3}) = 1$

$K = 1 \div (-\frac{1}{3}) = 1 \cdot (-3) = -3$.

Итак, мы нашли, что коэффициент при $x$ равен -3. Значит, исходное выражение можно записать в виде $E = -3x$.

Теперь найдем значение этого выражения при том же значении $c$ (т.е. при $K=-3$) и новом значении $x = -11\frac{1}{3}$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$-11\frac{1}{3} = -(\frac{11 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{34}{3}$.

Подставим это значение $x$ в упрощенное выражение:

$E = -3 \cdot (-\frac{34}{3})$

$E = 3 \cdot \frac{34}{3} = 34$.

Ответ: 34

7.40 а) Алгебраическое выражение $\frac{n + 1}{3} \cdot y + \frac{3n - 1}{5} \cdot y^2 + y^3$ принимает значение -21 при $y = -3$ и при некотором значении $n$. Чему равно значение того же выражения при том же значении $n$ и при $y = \frac{1}{3}$?

б) Алгебраическое выражение $\frac{s - 9}{4} \cdot z + \frac{s + 2}{3} \cdot z^2 - z^3$ принимает значение 16 при $z = -2$ и при некотором значении $s$. Чему равно значение того же выражения при том же значении $s$ и при $z = 0,5$?

а)

Обозначим данное алгебраическое выражение как $A(y)$.

$A(y) = \frac{n+1}{3} \cdot y + \frac{3n-1}{5} \cdot y^2 + y^3$

По условию задачи, при $y = -3$ значение выражения равно -21. Подставим эти значения в выражение, чтобы найти параметр $n$.

$\frac{n+1}{3} \cdot (-3) + \frac{3n-1}{5} \cdot (-3)^2 + (-3)^3 = -21$

Упростим полученное уравнение:

$-(n+1) + \frac{3n-1}{5} \cdot 9 - 27 = -21$

$-n - 1 + \frac{9(3n-1)}{5} - 27 = -21$

$-n - 28 + \frac{27n - 9}{5} = -21$

$-n + \frac{27n - 9}{5} = 7$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5(-n) + 5 \cdot \frac{27n - 9}{5} = 5 \cdot 7$

$-5n + 27n - 9 = 35$

$22n = 35 + 9$

$22n = 44$

$n = 2$

Теперь мы знаем значение $n$ и можем найти значение выражения при $y = \frac{1}{3}$. Подставим $n=2$ и $y = \frac{1}{3}$ в исходное выражение:

$A(\frac{1}{3}) = \frac{2+1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 2 - 1}{5} \cdot (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3$

$A(\frac{1}{3}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{6-1}{5} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

$A(\frac{1}{3}) = 1 \cdot \frac{1}{3} + \frac{5}{5} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

$A(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$A(\frac{1}{3}) = \frac{1 \cdot 9}{27} + \frac{1 \cdot 3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{9+3+1}{27} = \frac{13}{27}$

Ответ: $\frac{13}{27}$.

б)

Обозначим данное алгебраическое выражение как $B(z)$.

$B(z) = \frac{s-9}{4} \cdot z + \frac{s+2}{3} \cdot z^2 - z^3$

По условию задачи, при $z = -2$ значение выражения равно 16. Подставим эти значения в выражение, чтобы найти параметр $s$.

$\frac{s-9}{4} \cdot (-2) + \frac{s+2}{3} \cdot (-2)^2 - (-2)^3 = 16$

Упростим полученное уравнение:

$-\frac{s-9}{2} + \frac{s+2}{3} \cdot 4 - (-8) = 16$

$-\frac{s-9}{2} + \frac{4(s+2)}{3} + 8 = 16$

$-\frac{s-9}{2} + \frac{4s+8}{3} = 8$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель 6:

$6 \cdot (-\frac{s-9}{2}) + 6 \cdot (\frac{4s+8}{3}) = 6 \cdot 8$

$-3(s-9) + 2(4s+8) = 48$

$-3s + 27 + 8s + 16 = 48$

$5s + 43 = 48$

$5s = 48 - 43$

$5s = 5$

$s = 1$

Теперь мы знаем значение $s$ и можем найти значение выражения при $z = 0,5$. Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$. Подставим $s=1$ и $z = \frac{1}{2}$ в исходное выражение:

$B(\frac{1}{2}) = \frac{1-9}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1+2}{3} \cdot (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^3$

$B(\frac{1}{2}) = \frac{-8}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

$B(\frac{1}{2}) = -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

$B(\frac{1}{2}) = -1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Приведем к общему знаменателю 8:

$B(\frac{1}{2}) = -\frac{8}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{-8+2-1}{8} = -\frac{7}{8}$

Ответ: $-\frac{7}{8}$.