Страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.20 a) $\frac{4}{x} - \frac{x+8}{2x} = \frac{5}{6}$;

б) $\frac{1}{2x} + \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2}$;

в) $\frac{x-20}{4x} + \frac{5}{x} = \frac{2}{3}$;

г) $\frac{x}{x-2} - \frac{2}{3x} = \frac{1}{3}$.

а) $\frac{4}{x} - \frac{x+8}{2x} = \frac{5}{6}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $2x \neq 0$, что в обоих случаях означает $x \neq 0$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $x$, $2x$ и $6$ будет $6x$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $6x$, чтобы избавиться от дробей:

$6x \cdot \frac{4}{x} - 6x \cdot \frac{x+8}{2x} = 6x \cdot \frac{5}{6}$

$6 \cdot 4 - 3 \cdot (x+8) = 5 \cdot x$

4. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$24 - 3x - 24 = 5x$

$-3x = 5x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$5x + 3x = 0$

$8x = 0$

$x = 0$

5. Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Мы получили $x=0$, но согласно ОДЗ, $x \neq 0$. Следовательно, найденное значение не является корнем исходного уравнения.

Ответ: корней нет.

б) $\frac{1}{2x} + \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2}$

1. Найдем ОДЗ: знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

2. Наименьший общий знаменатель для $2x$, $x+1$ и $2$ равен $2x(x+1)$.

3. Умножим обе части уравнения на $2x(x+1)$:

$2x(x+1) \cdot \frac{1}{2x} + 2x(x+1) \cdot \frac{x}{x+1} = 2x(x+1) \cdot \frac{1}{2}$

$1 \cdot (x+1) + 2x \cdot x = x \cdot (x+1)$

4. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x + 1 + 2x^2 = x^2 + x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 + x - x + 1 = 0$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

5. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

в) $\frac{x-20}{4x} + \frac{5}{x} = \frac{2}{3}$

1. Найдем ОДЗ: $4x \neq 0$ и $x \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

2. Наименьший общий знаменатель для $4x$, $x$ и $3$ равен $12x$.

3. Умножим обе части уравнения на $12x$:

$12x \cdot \frac{x-20}{4x} + 12x \cdot \frac{5}{x} = 12x \cdot \frac{2}{3}$

$3 \cdot (x-20) + 12 \cdot 5 = 4x \cdot 2$

4. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$3x - 60 + 60 = 8x$

$3x = 8x$

$8x - 3x = 0$

$5x = 0$

$x = 0$

5. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Мы получили $x=0$, но по ОДЗ $x \neq 0$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{x}{x-2} - \frac{2}{3x} = \frac{1}{3}$

1. Найдем ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $3x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

2. Наименьший общий знаменатель для $x-2$, $3x$ и $3$ равен $3x(x-2)$.

3. Умножим обе части уравнения на $3x(x-2)$:

$3x(x-2) \cdot \frac{x}{x-2} - 3x(x-2) \cdot \frac{2}{3x} = 3x(x-2) \cdot \frac{1}{3}$

$3x \cdot x - (x-2) \cdot 2 = x(x-2) \cdot 1$

4. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - (2x - 4) = x^2 - 2x$

$3x^2 - 2x + 4 = x^2 - 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - x^2 - 2x + 2x + 4 = 0$

$2x^2 + 4 = 0$

$2x^2 = -4$

$x^2 = -2$

5. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: корней нет.

7.21 a) $\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x-2} = 1$

б) $\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = 2$

в) $\frac{1}{x-3} + \frac{x}{x+3} = 1$

г) $\frac{3x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = 3$

Исходное уравнение: $\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x-2} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$.

$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x-2)$, при условии, что он не равен нулю (что мы учли в ОДЗ):

$3(x-2) + x(x+2) = (x+2)(x-2)$

Раскроем скобки и упростим:

$3x - 6 + x^2 + 2x = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x - 6 = x^2 - 4$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$x^2 - x^2 + 5x = -4 + 6$

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5}$

Полученный корень $x = \frac{2}{5}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{2}{5} \neq -2$ и $\frac{2}{5} \neq 2$.

Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

Исходное уравнение: $\frac{2x}{x-1} + \frac{3}{x+1} = 2$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$ и умножим на него обе части уравнения:

$2x(x+1) + 3(x-1) = 2(x-1)(x+1)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 2x + 3x - 3 = 2(x^2-1)$

$2x^2 + 5x - 3 = 2x^2 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 2x^2 + 5x = -2 + 3$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Корень $x = \frac{1}{5}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{5} \neq 1$ и $\frac{1}{5} \neq -1$.

Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

Исходное уравнение: $\frac{1}{x-3} + \frac{x}{x+3} = 1$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$ и умножим на него обе части уравнения:

$1(x+3) + x(x-3) = 1(x-3)(x+3)$

Раскроем скобки:

$x + 3 + x^2 - 3x = x^2 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x + 3 = x^2 - 9$

Перенесем члены уравнения:

$x^2 - x^2 - 2x = -9 - 3$

$-2x = -12$

$x = \frac{-12}{-2}$

$x = 6$

Корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $6 \neq 3$ и $6 \neq -3$.

Ответ: $x = 6$.

Исходное уравнение: $\frac{3x}{x-2} - \frac{5}{x+2} = 3$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$ и умножим на него обе части уравнения:

$3x(x+2) - 5(x-2) = 3(x-2)(x+2)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 6x - 5x + 10 = 3(x^2-4)$

$3x^2 + x + 10 = 3x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 3x^2 + x = -12 - 10$

$x = -22$

Корень $x = -22$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-22 \neq 2$ и $-22 \neq -2$.

Ответ: $x = -22$.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

Расстояние между городами А и В 50 км. Из города А в город В выехал велосипедист, а через 2 ч 30 мин вслед за ним выехал мотоциклист. Двигаясь со скоростью в 2,5 раза большей, чем у велосипедиста, мотоциклист прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

1. Составление математической модели

Первый этап решения задачи — это перевод её условий с обычного языка на язык математики. Для этого введем переменные и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста. Поскольку скорость мотоциклиста в 2,5 раза больше, она составляет $2,5x$ км/ч.

Расстояние между городами A и B равно 50 км. Время, которое потратил на этот путь велосипедист, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно $t_в = \frac{50}{x}$ часов. Время, которое потратил мотоциклист, равно $t_м = \frac{50}{2,5x}$ часов.

Из условия известно, что мотоциклист выехал на 2 ч 30 мин позже велосипедиста и прибыл в пункт B одновременно с ним. Это означает, что время в пути у велосипедиста было на 2 ч 30 мин больше, чем у мотоциклиста. Переведем разницу во времени в часы: $2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 2,5$ часа.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени движения велосипедиста и мотоциклиста к 2,5 часам:

$t_в - t_м = 2,5$

Подставим в это уравнение выражения для времени через $x$:

$\frac{50}{x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$

Это уравнение является математической моделью данной задачи. Также необходимо учесть, что скорость не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому область допустимых значений для $x$ — это $x > 0$.

Ответ: Математическая модель задачи: $\frac{50}{x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$, где $x > 0$.

2. Работа с математической моделью

Второй этап — решение составленного уравнения.

Решим уравнение: $\frac{50}{x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$.

Для начала упростим левую часть, приведя дроби к общему знаменателю $2,5x$:

$\frac{50 \cdot 2,5}{2,5x} - \frac{50}{2,5x} = 2,5$

$\frac{125 - 50}{2,5x} = 2,5$

$\frac{75}{2,5x} = 2,5$

Теперь решим получившееся уравнение. Можно рассматривать его как пропорцию или умножить обе части на знаменатель $2,5x$ (это допустимо, так как мы установили, что $x > 0$):

$75 = 2,5 \cdot 2,5x$

$75 = 6,25x$

Найдем $x$:

$x = \frac{75}{6,25}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{7500}{625} = 12$

Найденное значение $x = 12$ удовлетворяет условию $x > 0$, значит, является решением.

Ответ: Корень уравнения $x = 12$.

3. Ответ на вопрос задачи

Третий этап — это интерпретация полученного математического результата в контексте исходной задачи.

Мы нашли, что $x=12$. Согласно нашим обозначениям, $x$ — это скорость велосипедиста. Таким образом, скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.

Скорость мотоциклиста равна $2,5x$. Подставим найденное значение $x$:

$v_м = 2,5 \cdot 12 = 30$ км/ч.

Таким образом, мы нашли обе искомые скорости. Проведем проверку:

• Время движения велосипедиста: $t_в = \frac{50 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{25}{6}$ ч.
• Время движения мотоциклиста: $t_м = \frac{50 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3}$ ч.
• Разница во времени: $t_в - t_м = \frac{25}{6} - \frac{5}{3} = \frac{25}{6} - \frac{10}{6} = \frac{15}{6} = 2,5$ часа.

Результат проверки совпадает с условием задачи (2 ч 30 мин = 2,5 ч).

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 30 км/ч.

7.23 Из пункта А выехал автобус, а через $15 \text{ мин}$ в том же направлении выехал другой автобус со скоростью в $1,2$ раза большей и догнал первый на расстоянии $45 \text{ км}$ от А. Найдите скорость первого автобуса.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $v$ (в км/ч) — это искомая скорость первого автобуса.

Согласно условию, скорость второго автобуса в 1,2 раза больше, следовательно, она составляет $1.2 \cdot v$ км/ч.

Оба автобуса проехали одинаковое расстояние до места встречи, равное 45 км.

Время, которое потребовалось первому автобусу, чтобы проехать 45 км, равно $t_1 = \frac{45}{v}$ часов.

Время, которое потребовалось второму автобусу, чтобы проехать то же расстояние, равно $t_2 = \frac{45}{1.2 \cdot v}$ часов.

Второй автобус выехал на 15 минут позже первого. Это значит, что первый автобус был в пути на 15 минут дольше. Переведем разницу во времени в часы:$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ часа} = \frac{1}{4} \text{ часа}$.

Таким образом, разница между временем движения первого и второго автобусов составляет $\frac{1}{4}$ часа:$t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$.

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:$$ \frac{45}{v} - \frac{45}{1.2 \cdot v} = \frac{1}{4} $$

Теперь решим это уравнение относительно $v$. Вынесем общий множитель $\frac{45}{v}$ за скобки:$$ \frac{45}{v} \left(1 - \frac{1}{1.2}\right) = \frac{1}{4} $$

Выполним вычитание в скобках:$$ 1 - \frac{1}{1.2} = 1 - \frac{1}{6/5} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $$

Уравнение принимает вид:$$ \frac{45}{v} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4} $$$$ \frac{45}{6v} = \frac{1}{4} $$

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):$$ 45 \cdot 4 = 6v \cdot 1 $$$$ 180 = 6v $$

Отсюда находим скорость $v$:$$ v = \frac{180}{6} $$$$ v = 30 $$

Следовательно, скорость первого автобуса равна 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

7.24 Катер прошёл 12 км по течению реки и 4 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч?

Пусть собственная скорость катера равна $v$ км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(v + 4)$ км/ч, а скорость против течения — $(v - 4)$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v > 4$.

Время, которое катер затратил на путь по течению (12 км), равно $t_1 = \frac{12}{v + 4}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения (4 км), равно $t_2 = \frac{4}{v - 4}$ ч.

По условию задачи, общее время в пути составляет 2 часа. Составим и решим уравнение, зная, что общее время — это сумма времени по течению и против течения:
$t_1 + t_2 = 2$
$\frac{12}{v + 4} + \frac{4}{v - 4} = 2$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v + 4)(v - 4)$ и умножим обе части уравнения на него, при условии что $v \neq 4$ и $v \neq -4$:
$12(v - 4) + 4(v + 4) = 2(v + 4)(v - 4)$
Раскроем скобки:
$12v - 48 + 4v + 16 = 2(v^2 - 16)$
Приведем подобные слагаемые:
$16v - 32 = 2v^2 - 32$
Перенесем все члены в правую часть уравнения:
$2v^2 - 16v = 0$
Вынесем общий множитель $2v$ за скобки:
$2v(v - 8) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $v_1 = 0$ и $v_2 = 8$.
Корень $v_1 = 0$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость катера не может быть нулевой, а также не выполняется условие $v > 4$.
Следовательно, единственно верным решением является $v_2 = 8$.

Проверим найденное значение:
Время по течению: $\frac{12}{8 + 4} = \frac{12}{12} = 1$ час.
Время против течения: $\frac{4}{8 - 4} = \frac{4}{4} = 1$ час.
Общее время: $1 + 1 = 2$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: собственная скорость катера равна 8 км/ч.

7.25 Лодка проплыла 18 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки. Это искомая величина.

Согласно условию, скорость течения реки равна 3 км/ч. Тогда:

• Скорость лодки по течению реки составляет $v_{по} = (x + 3)$ км/ч.
• Скорость лодки против течения реки составляет $v_{пр} = (x - 3)$ км/ч.

Время движения находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

Лодка прошла 18 км по течению. Время, затраченное на этот путь: $t_{по} = \frac{18}{x + 3}$ ч.

Лодка прошла 6 км против течения. Время, затраченное на этот путь: $t_{пр} = \frac{6}{x - 3}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 4 часа. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_{по} + t_{пр} = 4$

$\frac{18}{x + 3} + \frac{6}{x - 3} = 4$

Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$. Это область допустимых значений для $x$.

Решим полученное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3)$:

$\frac{18(x - 3) + 6(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 4$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{18x - 54 + 6x + 18}{x^2 - 9} = 4$

$\frac{24x - 36}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 9)$, который не равен нулю при $x > 3$:

$24x - 36 = 4(x^2 - 9)$

$24x - 36 = 4x^2 - 36$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 24x - 36 + 36 = 0$

$4x^2 - 24x = 0$

Разделим обе части на 4:

$x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 6) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Корень $x_1 = 0$ не является решением задачи, так как скорость лодки не может быть нулевой, и он не удовлетворяет условию $x > 3$.

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x > 3$, значит, это и есть искомая скорость.

Проверим найденное решение. Если собственная скорость лодки 6 км/ч:

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{18}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$ часа.
• Время движения против течения: $t_{пр} = \frac{6}{6 - 3} = \frac{6}{3} = 2$ часа.
• Общее время: $2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 4$ часа.

Полученное общее время совпадает с данными в условии задачи.

Ответ: собственная скорость лодки равна 6 км/ч.

7.26 Расстояние между городами А и В равно 400 км. Из А в В выехала грузовая машина, а через 2 ч вслед за ней выехала легковая машина, скорость которой в 1,5 раза больше скорости грузовой. Найдите скорость грузовой машины, если известно, что она прибыла в В на 1 ч 20 мин позже легковой.

Обозначим искомую скорость грузовой машины через $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость легковой машины в 1,5 раза больше, следовательно, она равна $1.5x$ км/ч.

Расстояние между городами А и В составляет 400 км. Время в пути для каждого автомобиля можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время в пути для грузовой машины: $t_{груз} = \frac{400}{x}$ часов.
Время в пути для легковой машины: $t_{легк} = \frac{400}{1.5x}$ часов.

Известно, что грузовая машина выехала на 2 часа раньше легковой, а прибыла в пункт В на 1 час 20 минут позже. Это означает, что общее время, которое грузовая машина затратила на поездку, было больше, чем время, затраченное легковой. Разница во времени их движения складывается из времени, на которое грузовая машина выехала раньше, и времени, на которое она приехала позже.

Вычислим эту разницу во времени:
$2 \text{ часа} + 1 \text{ час } 20 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}$.
Для использования в уравнении переведем это значение в часы:
$3 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч } = 3 + \frac{1}{3} \text{ ч } = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ часа.

Теперь можно составить уравнение, приравняв разницу времени в пути ($t_{груз} - t_{легк}$) к вычисленному значению:
$\frac{400}{x} - \frac{400}{1.5x} = \frac{10}{3}$

Решим это уравнение. Сначала преобразуем левую часть:
$\frac{400}{x} - \frac{400}{\frac{3}{2}x} = \frac{400}{x} - \frac{2 \cdot 400}{3x} = \frac{400}{x} - \frac{800}{3x}$
Приведем дроби к общему знаменателю $3x$:
$\frac{3 \cdot 400}{3x} - \frac{800}{3x} = \frac{1200 - 800}{3x} = \frac{400}{3x}$

Уравнение принимает вид:
$\frac{400}{3x} = \frac{10}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3:
$\frac{400}{x} = 10$
Отсюда находим $x$:
$10x = 400$
$x = \frac{400}{10}$
$x = 40$

Таким образом, скорость грузовой машины составляет 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

7.27 Расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 100 км. Из $A$ в $B$ выехал автобус, а через 8 мин вслед за ним выехал мотоциклист, скорость которого в 1,2 раза больше скорости автобуса. В пункт $B$ автобус пришёл на 12 мин позже мотоциклиста. Чему равна скорость мотоциклиста?

Решение:

Пусть скорость автобуса равна $v_а$ км/ч, а скорость мотоциклиста — $v_м$ км/ч. Расстояние между пунктами А и В равно $S = 100$ км.

По условию, скорость мотоциклиста в 1,2 раза больше скорости автобуса: $v_м = 1.2 \cdot v_а$

Время, которое автобус затратил на весь путь, равно $t_а = \frac{S}{v_а} = \frac{100}{v_а}$ часов.

Время, которое мотоциклист затратил на весь путь, равно $t_м = \frac{S}{v_м} = \frac{100}{v_м}$ часов.

Мотоциклист выехал на 8 минут позже автобуса и прибыл в пункт В на 12 минут раньше автобуса. Это означает, что время движения мотоциклиста было меньше времени движения автобуса на $8 + 12 = 20$ минут.

Переведем разницу во времени в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Таким образом, мы можем составить уравнение, связывающее время движения автобуса и мотоциклиста: $t_а - t_м = \frac{1}{3}$

Подставим в это уравнение выражения для $t_а$ и $t_м$: $\frac{100}{v_а} - \frac{100}{v_м} = \frac{1}{3}$

Теперь выразим скорость автобуса через скорость мотоциклиста ($v_а = \frac{v_м}{1.2}$) и подставим в уравнение, чтобы найти $v_м$: $\frac{100}{\frac{v_м}{1.2}} - \frac{100}{v_м} = \frac{1}{3}$

Упростим первое слагаемое: $\frac{100 \cdot 1.2}{v_м} - \frac{100}{v_м} = \frac{1}{3}$

$\frac{120}{v_м} - \frac{100}{v_м} = \frac{1}{3}$

$\frac{20}{v_м} = \frac{1}{3}$

Отсюда находим скорость мотоциклиста: $v_м = 20 \cdot 3 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.