Страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7. Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа. Может ли их сумма быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Чтобы это доказать, достаточно привести один конкретный пример.

Рассмотрим два числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Число $a = \sqrt{2}$ является классическим примером иррационального числа. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, а $n \neq 0$.

Число $b = -\sqrt{2}$ также является иррациональным. Мы можем доказать это от противного. Предположим, что $b$ — рациональное число. Тогда его можно записать как $b = \frac{p}{q}$ для некоторых целых чисел $p$ и $q$ ($q \neq 0$). Но в этом случае $a = -b = -(\frac{p}{q}) = \frac{-p}{q}$. Это означало бы, что $a = \sqrt{2}$ тоже рациональное число, что является известным ложным утверждением. Следовательно, наше предположение неверно, и $b = -\sqrt{2}$ — иррациональное число.

Теперь найдем сумму этих двух иррациональных чисел $a$ и $b$:

$a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.

Результат сложения, число 0, является рациональным числом, поскольку его можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$.

Таким образом, мы привели пример двух иррациональных чисел, сумма которых является рациональным числом.

Ответ: да, может. Например, сумма иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ равна рациональному числу 0.

9. Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа. Может ли их произведение быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Чтобы ответить на этот вопрос развернуто, необходимо подтвердить это утверждение конкретным примером. Для этого вспомним определения.

• Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Примером такого числа является $\sqrt{2}$.
• Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$. Например, число 3 является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $3/1$.

Теперь подберем два иррациональных числа $a$ и $b$ таким образом, чтобы их произведение $a \cdot b$ было рациональным.

Пример:

Пусть $a = \sqrt{2}$. Это число является иррациональным.

В качестве второго числа $b$ возьмем то же самое значение: $b = \sqrt{2}$. Это число также является иррациональным.

Теперь вычислим произведение этих двух чисел:

$a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Результатом умножения является число 2. Число 2 — рациональное, поскольку его можно представить в виде дроби $2/1$.

Таким образом, мы нашли два иррациональных числа, произведение которых является рациональным.

Ответ: Да, может. Например, если $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$, то оба числа являются иррациональными, а их произведение $a \cdot b = 2$ является рациональным числом.

6. Пусть число $a \neq 0$ — рациональное, а число $b$ — иррациональное. Какое число — рациональное или иррациональное — получится, если над данными числами выполнить арифметическую операцию (сложение, вычитание, умножение, деление)?

Для решения этой задачи мы будем использовать метод доказательства от противного. Пусть $a$ — рациональное число, причем $a \ne 0$, а $b$ — иррациональное число.

Сложение
Рассмотрим сумму $a + b$. Предположим, что эта сумма является рациональным числом. Обозначим ее как $c = a + b$, где $c$ — рациональное число. Множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания (т.е. разность двух рациональных чисел всегда рациональна). Следовательно, разность $c - a$ также должна быть рациональным числом. Однако, $c - a = (a + b) - a = b$. Получается, что число $b$ является рациональным, что противоречит исходному условию, согласно которому $b$ — иррациональное число. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональной.
Ответ: иррациональное число.

Вычитание
Рассмотрим разность $a - b$. Предположим, что эта разность является рациональным числом. Обозначим ее как $c = a - b$. Так как $a$ и $c$ — рациональные числа, их разность $a - c$ также должна быть рациональным числом. Вычислим эту разность: $a - c = a - (a - b) = b$. Это приводит к противоречию, так как $b$ — иррациональное число. Аналогично рассмотрим разность $b - a$. Предположим, что она равна рациональному числу $d = b - a$. Сумма рациональных чисел $d$ и $a$ должна быть рациональной. $d + a = (b - a) + a = b$. И снова мы приходим к противоречию, что $b$ — рациональное число. Следовательно, результат вычитания всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

Умножение
Рассмотрим произведение $a \cdot b$. Предположим, что это произведение является рациональным числом. Обозначим его как $c = a \cdot b$. По условию, $a$ — рациональное число и $a \ne 0$. Это означает, что существует обратное к нему число $\frac{1}{a}$, которое также является рациональным. Произведение двух рациональных чисел ($c$ и $\frac{1}{a}$) должно быть рациональным числом. Вычислим это произведение: $c \cdot \frac{1}{a} = (a \cdot b) \cdot \frac{1}{a} = b$. Мы получили, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Условие $a \ne 0$ здесь является ключевым. Если бы $a = 0$, то произведение $0 \cdot b = 0$ было бы рациональным числом. Таким образом, наше предположение неверно.
Ответ: иррациональное число.

Деление
Рассмотрим частное $\frac{a}{b}$. (Так как $b$ иррационально, то $b \ne 0$, и деление возможно). Предположим, что частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом. Обозначим его как $c = \frac{a}{b}$. Поскольку $a \ne 0$, то и $c \ne 0$. Из равенства $c = \frac{a}{b}$ выразим $b$: $b = \frac{a}{c}$. Так как $a$ и $c$ — ненулевые рациональные числа, их частное $\frac{a}{c}$ также является рациональным числом. Это означает, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Теперь рассмотрим частное $\frac{b}{a}$. (Так как $a \ne 0$, деление возможно). Предположим, что частное $\frac{b}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $d = \frac{b}{a}$. Произведение рациональных чисел $d$ и $a$ должно быть рациональным. $d \cdot a = \frac{b}{a} \cdot a = b$. Снова получаем, что $b$ — рациональное число, что является противоречием. Следовательно, результат деления всегда будет иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

8. Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа. Может ли их разность быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, разность двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один пример. Рассмотрим, как можно сконструировать такие числа.

Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа, и мы хотим, чтобы их разность $a - b = r$, где $r$ — рациональное число. Это равенство можно переписать в виде $a = b + r$.

Известно, что сумма иррационального и рационального числа всегда является иррациональным числом. Поэтому, если мы выберем любое иррациональное число $b$ и любое рациональное число $r$, то их сумма $a = b + r$ также будет иррациональным числом. При этом разность полученных иррациональных чисел $a$ и $b$ будет равна $a - b = (b + r) - b = r$, что является рациональным числом по нашему выбору.

Например, выберем в качестве иррационального числа $b = \sqrt{2}$ и в качестве рационального числа $r = 5$. Тогда число $a = \sqrt{2} + 5$ является иррациональным. Найдем разность $a$ и $b$:
$a - b = (\sqrt{2} + 5) - \sqrt{2} = 5$.
Число 5 — рациональное.

Более простой пример — когда разность равна нулю. Ноль — это рациональное число. Если взять два одинаковых иррациональных числа, например, $a = \pi$ и $b = \pi$, то их разность $a - b = \pi - \pi = 0$ будет рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, если $a = \sqrt{2} + 1$ и $b = \sqrt{2}$ — иррациональные числа, то их разность $a - b = (\sqrt{2} + 1) - \sqrt{2} = 1$ является рациональным числом.

10. Пусть $a$ и $b$ — иррациональные числа. Может ли их частное быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, частное двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Чтобы доказать это утверждение, достаточно привести хотя бы один пример. Вспомним, что иррациональное число — это действительное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Рациональное число, наоборот, всегда можно представить в таком виде.

Рассмотрим простейший пример.

Пусть число $a = \sqrt{2}$ и число $b = \sqrt{2}$. Оба эти числа являются иррациональными, что является известным математическим фактом.

Теперь найдем их частное, то есть результат деления $a$ на $b$:

$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

Полученное число $1$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$.

Рассмотрим еще один пример для наглядности.

Пусть $a = 3\pi$ и $b = \pi$. Число $\pi$ иррационально. Произведение иррационального числа на ненулевое рациональное число также иррационально, поэтому $a=3\pi$ тоже является иррациональным числом.

Найдем частное этих двух иррациональных чисел:

$\frac{a}{b} = \frac{3\pi}{\pi} = 3$

Результат, число $3$, является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$.

Таким образом, мы на конкретных примерах показали, что частное двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, если взять два одинаковых иррациональных числа, таких как $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$, их частное $\frac{a}{b} = 1$ будет рациональным числом.

8.20 a) $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot (a + b)^{-1};$

б) $(x^{-2} - y^{-2}) : (x - y);$

в) $(m^{-2} + n^{-2}) : (m^2 + n^2);$

г) $(ab^{-2} + a^{-2}b) \cdot (\frac{a^{-1}}{b})^{-2}.$

а)

Исходное выражение: $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot (a + b)^{-1}$.

Для начала преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

$(a + b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}) \cdot \frac{1}{a+b}$

Приведем к общему знаменателю дроби в скобках. Общий знаменатель для $a$ и $b$ - это $ab$.

$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Теперь умножим результат на второй множитель:

$\frac{a+b}{ab} \cdot \frac{1}{a+b}$

Сократим одинаковые множители $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a+b}{ab \cdot (a+b)} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

б)

Исходное выражение: $(x^{-2} - y^{-2}) : (x - y)$.

Преобразуем степени с отрицательным показателем:

$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

$y^{-2} = \frac{1}{y^2}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) : (x - y)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x^2y^2$:

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}$

Числитель $y^2-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.

Подставим разложенный числитель и заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{x-y}$

Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Вынесем минус за скобки:

$\frac{-(x-y)(x+y)}{x^2y^2} \cdot \frac{1}{x-y}$

Сократим общий множитель $(x-y)$:

$-\frac{x+y}{x^2y^2}$

Ответ: $-\frac{x+y}{x^2y^2}$

в)

Исходное выражение: $(m^{-2} + n^{-2}) : (m^2 + n^2)$.

Преобразуем степени с отрицательными показателями:

$m^{-2} = \frac{1}{m^2}$

$n^{-2} = \frac{1}{n^2}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}) : (m^2 + n^2)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $m^2n^2$:

$\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2}{m^2n^2} + \frac{m^2}{m^2n^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2n^2}$

Заменим деление на умножение на обратное число:

$\frac{m^2+n^2}{m^2n^2} \cdot \frac{1}{m^2+n^2}$

Сократим общий множитель $(m^2+n^2)$:

$\frac{1}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{1}{m^2n^2}$

г)

Исходное выражение: $(ab^{-2} + a^{-2}b) \cdot (\frac{a^{-1}}{b})^{-2}$.

Упростим каждый множитель по отдельности. Начнем с первого:

$ab^{-2} + a^{-2}b = \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:

$\frac{a \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} + \frac{b \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} = \frac{a^3}{a^2b^2} + \frac{b^3}{a^2b^2} = \frac{a^3+b^3}{a^2b^2}$

Теперь упростим второй множитель, используя свойства степеней $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(\frac{a^{-1}}{b})^{-2} = \frac{(a^{-1})^{-2}}{b^{-2}} = \frac{a^{(-1)\cdot(-2)}}{b^{-2}} = \frac{a^2}{b^{-2}}$

Поскольку $b^{-2} = \frac{1}{b^2}$, получаем:

$\frac{a^2}{1/b^2} = a^2 \cdot \frac{b^2}{1} = a^2b^2$

Теперь перемножим упрощенные множители:

$\frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \cdot a^2b^2$

Сократим на $a^2b^2$:

$a^3+b^3$

Ответ: $a^3+b^3$

8.21 a) $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot \left( \frac{1}{a^{-1}} + \frac{1}{b^{-1}} \right)^{-1}$

б) $(s^{-1} + t^{-1}) : \left( \frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}} \right)^{-1}$

а)

Для упрощения выражения $(b^{-1} + a^{-1}) \cdot (\frac{1}{a^{-1}} + \frac{1}{b^{-1}})^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и, соответственно, $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.
1. Преобразуем каждое из выражений в скобках.
Первая скобка: $b^{-1} + a^{-1} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{a+b}{ab}$.
2. Второе выражение в скобках: $\frac{1}{a^{-1}} + \frac{1}{b^{-1}} = a + b$.
Тогда все второе выражение, возведенное в степень $-1$, будет: $(a+b)^{-1}$.
По свойству степени с отрицательным показателем: $(a+b)^{-1} = \frac{1}{a+b}$.
3. Теперь перемножим полученные результаты:
$(\frac{a+b}{ab}) \cdot \frac{1}{a+b}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{a+b}}{ab} \cdot \frac{1}{\cancel{a+b}} = \frac{1}{ab}$.

Ответ: $\frac{1}{ab}$.

б)

Упростим выражение $(s^{-1} + t^{-1}) : (\frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}})^{-1}$.
1. Используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ для преобразования выражений в скобках.
Первая скобка: $s^{-1} + t^{-1} = \frac{1}{s} + \frac{1}{t}$.
Приведем к общему знаменателю $st$:
$\frac{1}{s} + \frac{1}{t} = \frac{t}{st} + \frac{s}{st} = \frac{s+t}{st}$.
2. Выражение, на которое мы делим: $(\frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}})^{-1}$.
Сначала упростим то, что находится внутри скобок: $\frac{1}{s^{-2}} - \frac{1}{t^{-2}} = s^2 - t^2$.
Таким образом, делитель равен $(s^2 - t^2)^{-1}$.
3. Исходное выражение принимает вид: $(\frac{s+t}{st}) : (s^2 - t^2)^{-1}$.
Деление на выражение в степени $-1$ эквивалентно умножению на само это выражение (без отрицательной степени), так как по правилу $A : B^{-1} = A : \frac{1}{B} = A \cdot B$.
Получаем: $(\frac{s+t}{st}) \cdot (s^2 - t^2)$.
4. Разложим второй множитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$s^2 - t^2 = (s-t)(s+t)$.
5. Перемножим полученные выражения:
$\frac{s+t}{st} \cdot (s-t)(s+t) = \frac{(s+t)(s-t)(s+t)}{st} = \frac{(s-t)(s+t)^2}{st}$.

Ответ: $\frac{(s-t)(s+t)^2}{st}$.

8.22 Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:

а) $\frac{b^5(b^{-4})^2}{b^{-2}b}$ при $b = 3^{-1}$;

б) $\frac{(n^{-5})^3n}{n^{-2}n^{-10}}$ при $n = 4$.

а)

Сначала представим выражение в виде степени. Для этого воспользуемся свойствами степеней:
1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
3. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Упростим числитель исходной дроби:
$b^5(b^{-4})^2 = b^5 \cdot b^{-4 \cdot 2} = b^5 \cdot b^{-8} = b^{5+(-8)} = b^{-3}$.

Упростим знаменатель дроби, помня, что $b = b^1$:
$b^{-2}b = b^{-2} \cdot b^1 = b^{-2+1} = b^{-1}$.

Теперь выполним деление:
$\frac{b^{-3}}{b^{-1}} = b^{-3 - (-1)} = b^{-3+1} = b^{-2}$.

Мы представили выражение в виде степени: $b^{-2}$.

Теперь найдем значение этого выражения при $b = 3^{-1}$. Подставим значение $b$ в упрощенное выражение:
$(3^{-1})^{-2} = 3^{(-1) \cdot (-2)} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9.

б)

Аналогично предыдущему пункту, сначала упростим выражение, используя те же свойства степеней.

Упростим числитель дроби, помня, что $n = n^1$:
$(n^{-5})^3n = n^{-5 \cdot 3} \cdot n^1 = n^{-15} \cdot n^1 = n^{-15+1} = n^{-14}$.

Упростим знаменатель дроби:
$n^{-2}n^{-10} = n^{-2+(-10)} = n^{-12}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{n^{-14}}{n^{-12}} = n^{-14 - (-12)} = n^{-14+12} = n^{-2}$.

Мы представили выражение в виде степени: $n^{-2}$.

Теперь найдем значение этого выражения при $n = 4$. Подставим значение $n$ в упрощенное выражение:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

Упростите выражение:

8.23 a) $ \left( \frac{x + 4}{3x + 3} - (x + 1)^{-1} \right) \cdot \left( \frac{x + 1}{3} \right)^{-1} + \frac{2}{x^2 - 1} $

б) $ \left( \frac{x + 10}{5x + 25} - (x + 5)^{-1} \right) \cdot \left( \frac{x - 5}{5} \right)^{-1} - \frac{10}{x^2 - 25} $

а)

Исходное выражение: $(\frac{x+4}{3x+3} - (x+1)^{-1}) \cdot (\frac{x+1}{3})^{-1} + \frac{2}{x^2-1}$

1. Преобразуем выражения с отрицательной степенью, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(x+1)^{-1} = \frac{1}{x+1}$

$(\frac{x+1}{3})^{-1} = \frac{3}{x+1}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{x+4}{3x+3} - \frac{1}{x+1}) \cdot \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x^2-1}$

2. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $3x+3 = 3(x+1)$.

$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1}{x+1}$

Общий знаменатель равен $3(x+1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 3:

$\frac{x+4}{3(x+1)} - \frac{1 \cdot 3}{3(x+1)} = \frac{x+4-3}{3(x+1)} = \frac{x+1}{3(x+1)}$

Сократим дробь на $(x+1)$, при условии, что $x+1 \ne 0$ (т.е. $x \ne -1$):

$\frac{x+1}{3(x+1)} = \frac{1}{3}$

3. Подставим результат обратно в выражение и выполним умножение:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{3}{3(x+1)} + \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x^2-1}$

4. Выполним сложение. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x-1)(x+1)}$

Общий знаменатель равен $(x-1)(x+1)$. Домножим первую дробь на $(x-1)$:

$\frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$

5. Сократим полученную дробь на $(x+1)$:

$\frac{1}{x-1}$

Ответ: $\frac{1}{x-1}$

б)

Исходное выражение: $(\frac{x+10}{5x+25} - (x+5)^{-1}) \cdot (\frac{x-5}{5})^{-1} - \frac{10}{x^2-25}$

1. Преобразуем выражения с отрицательной степенью:

$(x+5)^{-1} = \frac{1}{x+5}$

$(\frac{x-5}{5})^{-1} = \frac{5}{x-5}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{x+10}{5x+25} - \frac{1}{x+5}) \cdot \frac{5}{x-5} - \frac{10}{x^2-25}$

2. Упростим выражение в скобках. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби: $5x+25 = 5(x+5)$.

$\frac{x+10}{5(x+5)} - \frac{1}{x+5}$

Общий знаменатель $5(x+5)$. Домножим вторую дробь на 5:

$\frac{x+10}{5(x+5)} - \frac{1 \cdot 5}{5(x+5)} = \frac{x+10-5}{5(x+5)} = \frac{x+5}{5(x+5)}$

Сократим дробь на $(x+5)$, при условии, что $x+5 \ne 0$ (т.е. $x \ne -5$):

$\frac{x+5}{5(x+5)} = \frac{1}{5}$

3. Подставим результат обратно в выражение и выполним умножение:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{x-5} - \frac{10}{x^2-25} = \frac{5}{5(x-5)} - \frac{10}{x^2-25} = \frac{1}{x-5} - \frac{10}{x^2-25}$

4. Выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

$\frac{1}{x-5} - \frac{10}{(x-5)(x+5)}$

Общий знаменатель $(x-5)(x+5)$. Домножим первую дробь на $(x+5)$:

$\frac{1 \cdot (x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{x+5-10}{(x-5)(x+5)} = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}$

5. Сократим полученную дробь на $(x-5)$, при условии, что $x-5 \ne 0$ (т.е. $x \ne 5$):

$\frac{1}{x+5}$

Ответ: $\frac{1}{x+5}$

8.24 а) $\frac{2 - a - 5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1} - 1}$

б) $\frac{(x^2-1)^{-1} - 3}{3(x-1) - (x+1)^{-1}}$

а)

Упростим выражение $\frac{2-a-5(a+2)^{-1}}{5(4-a^2)^{-1}-1}$.

1. Сначала избавимся от отрицательных степеней, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$\frac{2-a-\frac{5}{a+2}}{\frac{5}{4-a^2}-1}$

2. Преобразуем числитель, приведя его к общему знаменателю $(a+2)$:

$2-a-\frac{5}{a+2} = \frac{(2-a)(a+2)}{a+2} - \frac{5}{a+2} = \frac{(4-a^2)-5}{a+2} = \frac{-a^2-1}{a+2} = -\frac{a^2+1}{a+2}$

3. Преобразуем знаменатель, приведя его к общему знаменателю $(4-a^2)$:

$\frac{5}{4-a^2}-1 = \frac{5}{4-a^2} - \frac{4-a^2}{4-a^2} = \frac{5-(4-a^2)}{4-a^2} = \frac{5-4+a^2}{4-a^2} = \frac{a^2+1}{4-a^2}$

4. Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-\frac{a^2+1}{a+2}}{\frac{a^2+1}{4-a^2}} = -\frac{a^2+1}{a+2} \cdot \frac{4-a^2}{a^2+1}$

5. Сократим дробь на $(a^2+1)$ и разложим $4-a^2$ на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$-\frac{4-a^2}{a+2} = -\frac{(2-a)(2+a)}{a+2}$

6. Сократим дробь на $(a+2)$:

$-(2-a) = a-2$

Ответ: $a-2$

б)

Упростим выражение $\frac{(x^2-1)^{-1}-3}{3(x-1)-(x+1)^{-1}}$.

1. Перепишем выражение, заменив отрицательные степени на дроби:

$\frac{\frac{1}{x^2-1}-3}{3(x-1)-\frac{1}{x+1}}$

2. Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $x^2-1$:

$\frac{1}{x^2-1}-3 = \frac{1-3(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{1-3x^2+3}{x^2-1} = \frac{4-3x^2}{x^2-1}$

3. Упростим знаменатель, приведя к общему знаменателю $x+1$:

$3(x-1)-\frac{1}{x+1} = \frac{3(x-1)(x+1)}{x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{3(x^2-1)-1}{x+1} = \frac{3x^2-3-1}{x+1} = \frac{3x^2-4}{x+1}$

4. Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{4-3x^2}{x^2-1}}{\frac{3x^2-4}{x+1}} = \frac{4-3x^2}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{3x^2-4}$

5. Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $4-3x^2 = -(3x^2-4)$. Разложим знаменатель $x^2-1 = (x-1)(x+1)$:

$\frac{-(3x^2-4)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{3x^2-4}$

6. Сократим общие множители $(3x^2-4)$ и $(x+1)$:

$\frac{-1}{x-1}$

Данное выражение также можно записать в виде $\frac{1}{1-x}$.

Ответ: $\frac{-1}{x-1}$

Найдите значение выражения:

8.25 а) $\frac{3x^{-2}}{2 - x^{-2}} - \frac{3x^{-2}}{2 + x^{-2}}$ при $x = 0,5^{-1}$;

б) $\frac{9x^{-1}}{2 - x^{-1}} - \frac{9x^{-1}}{2 + x^{-1}}$ при $x = 0,2^{-1}$.

а) Найдем значение выражения $ \frac{3x^{-2}}{2-x^{-2}} - \frac{3x^{-2}}{2+x^{-2}} $ при $x = 0,5^{-1}$.

Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(2-x^{-2})(2+x^{-2})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, получаем:

$(2-x^{-2})(2+x^{-2}) = 2^2 - (x^{-2})^2 = 4 - x^{-4}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{3x^{-2}(2+x^{-2})}{(2-x^{-2})(2+x^{-2})} - \frac{3x^{-2}(2-x^{-2})}{(2-x^{-2})(2+x^{-2})} = \frac{3x^{-2}(2+x^{-2}) - 3x^{-2}(2-x^{-2})}{4 - x^{-4}} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{6x^{-2} + 3x^{-4} - (6x^{-2} - 3x^{-4})}{4 - x^{-4}} = \frac{6x^{-2} + 3x^{-4} - 6x^{-2} + 3x^{-4}}{4 - x^{-4}} = \frac{6x^{-4}}{4 - x^{-4}} $

Теперь найдем значение $x$.

$ x = 0,5^{-1} = (\frac{5}{10})^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2 $

Подставим значение $x=2$ в упрощенное выражение. Сначала вычислим $x^{-4}$:

$ x^{-4} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} $

Теперь подставим это значение в выражение $ \frac{6x^{-4}}{4 - x^{-4}} $:

$ \frac{6 \cdot \frac{1}{16}}{4 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{6}{16}}{ \frac{4 \cdot 16 - 1}{16}} = \frac{\frac{6}{16}}{\frac{64 - 1}{16}} = \frac{\frac{6}{16}}{\frac{63}{16}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$ \frac{6}{16} \cdot \frac{16}{63} = \frac{6}{63} $

Сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{6}{63} = \frac{2 \cdot 3}{21 \cdot 3} = \frac{2}{21} $

Ответ: $ \frac{2}{21} $

б) Найдем значение выражения $ \frac{9x^{-1}}{2-x^{-1}} - \frac{9x^{-1}}{2+x^{-1}} $ при $x = 0,2^{-1}$.

Упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю $(2-x^{-1})(2+x^{-1})$. По формуле разности квадратов знаменатель равен $2^2 - (x^{-1})^2 = 4 - x^{-2}$.

$ \frac{9x^{-1}(2+x^{-1})}{(2-x^{-1})(2+x^{-1})} - \frac{9x^{-1}(2-x^{-1})}{(2-x^{-1})(2+x^{-1})} = \frac{9x^{-1}(2+x^{-1}) - 9x^{-1}(2-x^{-1})}{4 - x^{-2}} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{18x^{-1} + 9x^{-2} - (18x^{-1} - 9x^{-2})}{4 - x^{-2}} = \frac{18x^{-1} + 9x^{-2} - 18x^{-1} + 9x^{-2}}{4 - x^{-2}} = \frac{18x^{-2}}{4 - x^{-2}} $

Теперь найдем значение $x$.

$ x = 0,2^{-1} = (\frac{2}{10})^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5 $

Подставим значение $x=5$ в упрощенное выражение. Сначала вычислим $x^{-2}$:

$ x^{-2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $

Теперь подставим это значение в выражение $ \frac{18x^{-2}}{4 - x^{-2}} $:

$ \frac{18 \cdot \frac{1}{25}}{4 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{18}{25}}{ \frac{4 \cdot 25 - 1}{25}} = \frac{\frac{18}{25}}{\frac{100 - 1}{25}} = \frac{\frac{18}{25}}{\frac{99}{25}} $

Выполним деление дробей:

$ \frac{18}{25} \cdot \frac{25}{99} = \frac{18}{99} $

Сократим полученную дробь на 9:

$ \frac{18}{99} = \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{2}{11} $

Ответ: $ \frac{2}{11} $

8.26 а) $\frac{2x(2 - x)^{-1}}{1 - \left(\frac{2 - x}{2x}\right)^{-1}}$ при $x = \frac{3}{5};$

б) $\frac{3x(2 - x)^{-1}}{2 - \left(\frac{2 - x}{3x}\right)^{-1}}$ при $x = \frac{5}{7}.$

а)

Сначала упростим данное выражение, чтобы облегчить вычисления.
Исходное выражение: $ \frac{2x(2-x)^{-1}}{1 - \left(\frac{2-x}{2x}\right)^{-1}} $.
Используем свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$, чтобы избавиться от отрицательных показателей.
$ (2-x)^{-1} = \frac{1}{2-x} $
$ \left(\frac{2-x}{2x}\right)^{-1} = \frac{2x}{2-x} $
Подставим эти преобразования обратно в выражение:
$ \frac{2x \cdot \frac{1}{2-x}}{1 - \frac{2x}{2-x}} = \frac{\frac{2x}{2-x}}{\frac{(2-x) - 2x}{2-x}} = \frac{\frac{2x}{2-x}}{\frac{2-3x}{2-x}} $
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую:
$ \frac{2x}{2-x} \cdot \frac{2-x}{2-3x} $
Сокращаем $(2-x)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $2-x \neq 0$):
$ \frac{2x}{2-3x} $
Теперь подставим значение $x = \frac{3}{5}$ в полученное упрощенное выражение:
$ \frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{2 - 3 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{2 - \frac{9}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{10}{5} - \frac{9}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{1}{5}} $
$ \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{1} = 6 $
Ответ: 6

б)

Аналогично первому пункту, сначала упростим выражение.
Исходное выражение: $ \frac{3x(2-x)^{-1}}{2 - \left(\frac{2-x}{3x}\right)^{-1}} $.
Преобразуем выражения с отрицательной степенью:
$ (2-x)^{-1} = \frac{1}{2-x} $
$ \left(\frac{2-x}{3x}\right)^{-1} = \frac{3x}{2-x} $
Подставим преобразования в исходное выражение:
$ \frac{3x \cdot \frac{1}{2-x}}{2 - \frac{3x}{2-x}} = \frac{\frac{3x}{2-x}}{\frac{2(2-x) - 3x}{2-x}} = \frac{\frac{3x}{2-x}}{\frac{4-2x-3x}{2-x}} = \frac{\frac{3x}{2-x}}{\frac{4-5x}{2-x}} $
Разделим дроби, умножив на обратную:
$ \frac{3x}{2-x} \cdot \frac{2-x}{4-5x} $
Сократим общий множитель $(2-x)$:
$ \frac{3x}{4-5x} $
Теперь подставим значение $x = \frac{5}{7}$ в упрощенное выражение:
$ \frac{3 \cdot \frac{5}{7}}{4 - 5 \cdot \frac{5}{7}} = \frac{\frac{15}{7}}{4 - \frac{25}{7}} = \frac{\frac{15}{7}}{\frac{28}{7} - \frac{25}{7}} = \frac{\frac{15}{7}}{\frac{3}{7}} $
$ \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5 $
Ответ: 5

8.27 a) $\frac{2x^{-1}-y^{-1}}{2x^{-1}+y^{-1}}$, если $\frac{y}{x}=3^{-1}$;

б) $\frac{x^{-1}-3y^{-1}}{x^{-1}+3y^{-1}}$, если $\frac{x}{y}=4^{-1}$.

а) Сначала преобразуем данное нам условие. Степень $-1$ означает обратное число, поэтому $3^{-1} = \frac{1}{3}$. Таким образом, мы имеем соотношение $\frac{y}{x} = \frac{1}{3}$.
Теперь преобразуем исходное выражение. Используем свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$\frac{2x^{-1} - y^{-1}}{2x^{-1} + y^{-1}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{2 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{y}}{\frac{2}{x} + \frac{1}{y}}$.
Чтобы было удобнее подставить известное нам соотношение, можно умножить числитель и знаменатель дроби на $x$. Однако, так как нам дано соотношение $\frac{y}{x}$, удобнее умножить на $y$:
$\frac{(\frac{2}{x} - \frac{1}{y}) \cdot y}{(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) \cdot y} = \frac{\frac{2y}{x} - \frac{y}{y}}{\frac{2y}{x} + \frac{y}{y}} = \frac{2\frac{y}{x} - 1}{2\frac{y}{x} + 1}$.
Теперь подставим значение $\frac{y}{x} = \frac{1}{3}$ в полученное выражение:
$\frac{2 \cdot \frac{1}{3} - 1}{2 \cdot \frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{2}{3} - 1}{\frac{2}{3} + 1} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$

б) Сначала преобразуем данное условие: $\frac{x}{y} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Теперь преобразуем исходное выражение, используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:
$\frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{x^{-1} + 3y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{y}}$.
Чтобы использовать данное нам соотношение $\frac{x}{y}$, умножим числитель и знаменатель дроби на $x$:
$\frac{(\frac{1}{x} - \frac{3}{y}) \cdot x}{(\frac{1}{x} + \frac{3}{y}) \cdot x} = \frac{\frac{x}{x} - \frac{3x}{y}}{\frac{x}{x} + \frac{3x}{y}} = \frac{1 - 3\frac{x}{y}}{1 + 3\frac{x}{y}}$.
Теперь подставим значение $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$ в полученное выражение:
$\frac{1 - 3 \cdot \frac{1}{4}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$

8.28 а) $ \frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{x^{-2} - 9y^{-2}} \cdot x^{-1}$, если $ \frac{x}{y} = 2^{-1}$;

б) $ \frac{x^{-1} + 2y^{-1}}{x^{-2} - 4y^{-2}} \cdot x^{-1}$, если $ \frac{y}{x} = 5^{-1}$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого преобразуем степени с отрицательными показателями и воспользуемся формулой разности квадратов в знаменателе.

Исходное выражение: $\frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{x^{-2} - 9y^{-2}} \cdot x^{-1}$

Знаменатель дроби $x^{-2} - 9y^{-2}$ можно представить как разность квадратов: $(x^{-1})^2 - (3y^{-1})^2$.

Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$\frac{x^{-1} - 3y^{-1}}{(x^{-1} - 3y^{-1})(x^{-1} + 3y^{-1})} \cdot x^{-1}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x^{-1} - 3y^{-1})$:

$\frac{1}{x^{-1} + 3y^{-1}} \cdot x^{-1} = \frac{x^{-1}}{x^{-1} + 3y^{-1}}$

Теперь избавимся от отрицательных степеней, используя определение $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{y}}$

Чтобы упростить эту сложную дробь, умножим ее числитель и знаменатель на $xy$:

$\frac{\frac{1}{x} \cdot xy}{(\frac{1}{x} + \frac{3}{y}) \cdot xy} = \frac{y}{y + 3x}$

Теперь воспользуемся условием задачи: $\frac{x}{y} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Чтобы подставить это значение в наше упрощенное выражение, разделим числитель и знаменатель на $y$:

$\frac{y}{y + 3x} = \frac{\frac{y}{y}}{\frac{y}{y} + \frac{3x}{y}} = \frac{1}{1 + 3\frac{x}{y}}$

Подставляем значение $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

б)

Упростим выражение по аналогии с пунктом а). Знаменатель также представляет собой разность квадратов.

Исходное выражение: $\frac{x^{-1} + 2y^{-1}}{x^{-2} - 4y^{-2}} \cdot x^{-1}$

Представим знаменатель $x^{-2} - 4y^{-2}$ как $(x^{-1})^2 - (2y^{-1})^2$ и применим формулу разности квадратов:

$\frac{x^{-1} + 2y^{-1}}{(x^{-1} - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y^{-1})} \cdot x^{-1}$

Сокращаем дробь на $(x^{-1} + 2y^{-1})$:

$\frac{1}{x^{-1} - 2y^{-1}} \cdot x^{-1} = \frac{x^{-1}}{x^{-1} - 2y^{-1}}$

Перейдем к положительным степеням:

$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{2}{y}}$

Умножим числитель и знаменатель на $xy$:

$\frac{\frac{1}{x} \cdot xy}{(\frac{1}{x} - \frac{2}{y}) \cdot xy} = \frac{y}{y - 2x}$

Теперь используем данное условие: $\frac{y}{x} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Чтобы подставить это значение, разделим числитель и знаменатель упрощенного выражения на $x$:

$\frac{y}{y - 2x} = \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} - \frac{2x}{x}} = \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} - 2}$

Подставляем значение $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$:

$\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} - 2} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} - \frac{10}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{-\frac{9}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) = -\frac{1}{9}$

Ответ: $-\frac{1}{9}$

8.29 Решите уравнение:

а) $4x^{-2} - 4x^{-1} = -1;$

б) $x^{-4} + 16 = 8x^{-2};$

в) $9x^{-2} + 6x^{-1} = -1;$

г) $x^{-4} + 81 = 18x^{-2}.$

В уравнении $4x^{-2} - 4x^{-1} = -1$ перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить $4x^{-2} - 4x^{-1} + 1 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$. Данное уравнение решается методом замены переменной. Пусть $y = x^{-1}$. Тогда $x^{-2} = (x^{-1})^2 = y^2$. Подставив $y$ в уравнение, получаем квадратное уравнение: $4y^2 - 4y + 1 = 0$. Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности: $(2y - 1)^2 = 0$. Отсюда следует, что $2y - 1 = 0$, и $y = \frac{1}{2}$. Теперь произведем обратную замену: $x^{-1} = \frac{1}{2}$. По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Следовательно, $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$, что дает $x = 2$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

Рассмотрим уравнение $x^{-4} + 16 = 8x^{-2}$. Перенесем все члены в одну сторону: $x^{-4} - 8x^{-2} + 16 = 0$. ОДЗ уравнения: $x \neq 0$. Введем замену $y = x^{-2}$. Тогда $x^{-4} = (x^{-2})^2 = y^2$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $y$: $y^2 - 8y + 16 = 0$. Это выражение является полным квадратом разности: $(y - 4)^2 = 0$. Отсюда $y - 4 = 0$, и $y = 4$. Вернемся к исходной переменной: $x^{-2} = 4$. Это эквивалентно $\frac{1}{x^2} = 4$, или $x^2 = \frac{1}{4}$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения: $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $\pm\frac{1}{2}$.

В уравнении $9x^{-2} + 6x^{-1} = -1$ перенесем $-1$ в левую часть: $9x^{-2} + 6x^{-1} + 1 = 0$. ОДЗ: $x \neq 0$. Сделаем замену $y = x^{-1}$, тогда $x^{-2} = y^2$. Уравнение преобразуется в $9y^2 + 6y + 1 = 0$. Левая часть представляет собой полный квадрат суммы: $(3y + 1)^2 = 0$. Отсюда $3y + 1 = 0$, что дает $y = -\frac{1}{3}$. Выполним обратную замену: $x^{-1} = -\frac{1}{3}$. Так как $x^{-1} = \frac{1}{x}$, получаем $\frac{1}{x} = -\frac{1}{3}$, откуда $x = -3$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

Рассмотрим уравнение $x^{-4} + 81 = 18x^{-2}$. Перенесем $18x^{-2}$ в левую часть: $x^{-4} - 18x^{-2} + 81 = 0$. ОДЗ: $x \neq 0$. Введем замену $y = x^{-2}$, тогда $x^{-4} = y^2$. Уравнение примет вид $y^2 - 18y + 81 = 0$. Левая часть является полным квадратом разности: $(y - 9)^2 = 0$. Решая, получаем $y - 9 = 0$, то есть $y = 9$. Возвращаемся к переменной $x$: $x^{-2} = 9$. Это означает $\frac{1}{x^2} = 9$, или $x^2 = \frac{1}{9}$. Извлекая квадратный корень, находим два решения: $x = \frac{1}{3}$ и $x = -\frac{1}{3}$. Оба корня входят в ОДЗ.
Ответ: $\pm\frac{1}{3}$.