Страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое множество действительных чисел? Как оно обозначается?

Что такое множество действительных чисел?

Множество действительных чисел (также называемых вещественными) — это множество, которое объединяет в себе все рациональные и все иррациональные числа.

1. Рациональные числа (обозначаются $\mathbb{Q}$) — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). К ним относятся все целые числа (например, $-5, 0, 42$), конечные десятичные дроби (например, $0,75 = \frac{3}{4}$) и бесконечные периодические десятичные дроби (например, $0,(3) = \frac{1}{3}$).

2. Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами служат корень из двух ($\sqrt{2}$), число Пи ($\pi \approx 3,14159...$) и число Эйлера ($e \approx 2,71828...$).

Геометрически множество действительных чисел можно представить как непрерывную числовую прямую, где каждой точке на этой прямой соответствует единственное действительное число, и наоборот.

Как оно обозначается?

Для обозначения множества действительных чисел в математике используется заглавная латинская буква R с удвоенной вертикальной чертой: $\mathbb{R}$. Это обозначение происходит от латинского слова realis, что переводится как «действительный» или «вещественный».

Ответ: Множество действительных чисел — это объединение множества всех рациональных и иррациональных чисел. Обозначается оно символом $\mathbb{R}$.

3. Что такое числовая прямая?

Числовая прямая (также известная как координатная прямая) — это фундаментальное понятие в математике, представляющее собой прямую линию, на которой каждой точке поставлено в соответствие некоторое действительное (вещественное) число. Это соответствие является взаимно-однозначным: каждой точке на прямой соответствует ровно одно число, и каждому действительному числу соответствует ровно одна точка на прямой.

Для того чтобы простая геометрическая прямая стала числовой, необходимо задать три ключевых элемента:

1. Начало отсчета. Это точка на прямой, которой сопоставляется число 0. Эту точку также называют началом координат. Она делит прямую на два луча.

2. Положительное направление. Один из лучей, исходящих из начала отсчета, выбирается как положительное направление. Обычно его указывают стрелкой на правом конце прямой. Движение в этом направлении соответствует увеличению чисел. Противоположное направление считается отрицательным.

3. Единичный отрезок (масштаб). Это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения. Чаще всего это отрезок, соединяющий точку 0 и точку 1. Длина этого отрезка задает масштаб для всей прямой, позволяя находить положение любых других чисел (например, точка 2 находится на расстоянии двух единичных отрезков от нуля в положительном направлении, а точка -3.5 — на расстоянии 3.5 единичных отрезков в отрицательном направлении).

Таким образом, числовая прямая является наглядной моделью множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Числа на ней упорядочены: если число $a$ находится левее числа $b$, то это означает, что $a < b$. Например, $-5$ находится левее $-2$, поэтому $-5 < -2$. Числовая прямая используется для визуализации чисел, неравенств, интервалов, а также для выполнения арифметических операций.

Ответ: Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчета (точка, соответствующая числу 0), положительное направление (обычно указывается стрелкой) и единичный отрезок (масштаб), что позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами.

5. Напишите знак строгого неравенства. Как он читается?

Строгое неравенство — это математическое отношение, которое сравнивает две величины и утверждает, что одна из них больше или меньше другой, при этом исключая возможность их равенства.

Существует два знака строгого неравенства:

1. Знак «больше», который записывается символом $>$. Этот знак читается как «больше». Например, математическая запись $a > b$ читается как «а больше бэ» и означает, что значение $a$ строго больше значения $b$.

2. Знак «меньше», который записывается символом <. Этот знак читается как «меньше». Например, математическая запись $c < d$ читается как «цэ меньше дэ» и означает, что значение $c$ строго меньше значения $d$.

Ответ: Знаками строгого неравенства являются $>$ (читается «больше») и < (читается «меньше»).

7. Закончите предложение: «Действительное число $a$ больше (меньше) действительного числа $b$, если...».

Для случая «больше»

Действительное число $a$ больше действительного числа $b$, если их разность $a-b$ является положительным числом.
Это формальное определение отношения «больше» для действительных чисел. Таким образом, неравенство $a > b$ является равносильным неравенству $a - b > 0$.
Геометрически это означает, что на числовой прямой точка, соответствующая числу $a$, расположена правее точки, соответствующей числу $b$.

Ответ: их разность $a-b$ является положительным числом.

Для случая «меньше»

Действительное число $a$ меньше действительного числа $b$, если их разность $a-b$ является отрицательным числом.
Это формальное определение отношения «меньше» для действительных чисел. Таким образом, неравенство $a < b$ является равносильным неравенству $a - b < 0$.
Геометрически это означает, что на числовой прямой точка, соответствующая числу $a$, расположена левее точки, соответствующей числу $b$.

Ответ: их разность $a-b$ является отрицательным числом.

9. Какое из двух чисел 1,4 и $\sqrt{2}$ расположено левее на числовой прямой?

Чтобы определить, какое из двух чисел расположено левее на числовой прямой, нужно их сравнить. Число, которое меньше, будет находиться левее.

Сравним числа $1,4$ и $\sqrt{2}$.

Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат одного числа меньше квадрата другого, то и само первое число меньше второго.

Возведем в квадрат первое число:

$ (1,4)^2 = 1,4 \cdot 1,4 = 1,96 $

Возведем в квадрат второе число:

$ (\sqrt{2})^2 = 2 $

Теперь сравним полученные результаты:

$ 1,96 < 2 $

Так как $ (1,4)^2 < (\sqrt{2})^2 $, и оба исходных числа положительны, то можно сделать вывод, что:

$ 1,4 < \sqrt{2} $

Число $1,4$ меньше числа $\sqrt{2}$, следовательно, на числовой прямой оно расположено левее.

Ответ: число $1,4$.

2. Что является геометрической моделью множества действительных чисел?

Геометрической моделью множества действительных чисел (обозначается как $R$) является числовая прямая, также известная как координатная прямая.

Это прямая линия, на которой установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек этой прямой. Это значит, что выполняются два условия:
1. Каждому действительному числу соответствует одна, и только одна, точка на прямой.
2. Каждой точке на прямой соответствует одно, и только одно, действительное число, которое называется её координатой.

Для того чтобы прямая стала числовой, на ней необходимо задать:
• Начало отсчета — точку, которой сопоставляется число 0.
• Положительное направление — обычно указывается стрелкой, чаще всего направленной вправо.
• Масштаб — отрезок, длина которого принимается за единицу (единичный отрезок). Он задает расстояние от 0 до 1.

Благодаря этому соответствию, на числовой прямой можно наглядно представить все действительные числа:
– Целые числа ($Z$) располагаются на равных расстояниях (длиной в единичный отрезок) друг от друга.
– Рациональные числа ($Q$), которые можно представить в виде дроби $m/n$, располагаются между целыми числами. Они заполняют прямую "плотно", то есть между любыми двумя рациональными числами всегда есть другое рациональное число.
– Иррациональные числа ($I$), такие как $\sqrt{2}$ или $\pi$, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби, занимают "промежутки" между рациональными числами.

В совокупности все действительные числа $R$ (объединение рациональных и иррациональных чисел) полностью, без каких-либо пропусков или "дыр", покрывают всю числовую прямую. Это свойство называется непрерывностью числовой прямой.

Ответ: Числовая прямая (координатная прямая).

4. Какие законы арифметических операций выполняются для действительных чисел $a$, $b$ и $c$? Сформулируйте эти законы и запишите их на математическом языке.

Для действительных чисел $a$, $b$ и $c$ выполняются следующие основные законы арифметических операций:

Переместительный (коммутативный) закон сложения. От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
Ответ: $a + b = b + a$

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

Переместительный (коммутативный) закон умножения. От перемены мест множителей произведение не меняется.
Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

6. Напишите знак нестрогого неравенства. Как он читается?

Знаки нестрогого неравенства:

$\le$ (меньше или равно)

$\ge$ (больше или равно)

Нестрогое неравенство — это математическое отношение, которое показывает, что одна величина меньше или равна (либо больше или равна) другой. В отличие от строгих неравенств ($a < b$ или $a > b$), нестрогие допускают возможность равенства.

Напишите знак нестрогого неравенства.

Существует два знака для обозначения нестрогих неравенств. Они получаются добавлением черты (символизирующей равенство) к знакам строгого неравенства.

• Знак "меньше или равно": $ \le $
• Знак "больше или равно": $ \ge $

Как он читается?

Каждый знак читается в соответствии со своим названием и смыслом:

• Знак $ \le $ читается как "меньше или равно". Например, запись $x \le 10$ означает, что "x меньше или равен десяти".
• Знак $ \ge $ читается как "больше или равно". Например, запись $y \ge 3$ означает, что "y больше или равен трем".

Ответ: Знаки нестрогого неравенства — $ \le $ и $ \ge $. Они читаются как "меньше или равно" и "больше или равно" соответственно.

8. Используя геометрическую модель множества действительных чисел, объясните правило сравнения действительных чисел.

Геометрической моделью множества действительных чисел является числовая (или координатная) прямая. Это бесконечная прямая линия, на которой выбраны три основных элемента:

• Начало отсчета – точка O, которой соответствует число 0.
• Единичный отрезок (масштаб), который задает расстояние от точки 0 до точки 1 и определяет длину всех остальных отрезков.
• Положительное направление, которое обычно указывается стрелкой, направленной вправо от начала отсчета.

Такое построение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек на этой прямой. Каждому действительному числу $a$ соответствует единственная точка A на прямой (его геометрическое изображение), и наоборот, каждой точке B на прямой соответствует единственное действительное число $b$, называемое координатой этой точки.

На этой модели числа упорядочены в соответствии с их положением на прямой.

Правило сравнения действительных чисел, основанное на этой геометрической модели, заключается в следующем:

Для сравнения двух действительных чисел $a$ и $b$ необходимо найти соответствующие им точки A и B на числовой прямой.

• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит правее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ больше числа $b$. Это записывается как $a > b$.
• Если точка, соответствующая числу $a$, лежит левее точки, соответствующей числу $b$, то число $a$ меньше числа $b$. Это записывается как $a < b$.
• Если точки, соответствующие числам $a$ и $b$, совпадают, то числа равны. Это записывается как $a = b$.

Таким образом, чем правее расположена точка на числовой прямой, тем большему числу она соответствует. Все положительные числа находятся справа от нуля, а все отрицательные – слева. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.

Пример: Сравним числа $-2$ и $1$. Точка с координатой $1$ находится на числовой прямой правее точки с координатой $-2$. Следовательно, $1 > -2$.

Ответ: Из двух действительных чисел больше то, которому на числовой прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньше то, которому соответствует точка, расположенная левее. Если точки, соответствующие числам, совпадают, то числа равны.

1 При каких значениях переменной алгебраическая дробь $\frac{a-8}{(a+7)(a-12)}$ равна нулю, а при каких не существует?

Равна нулю

Алгебраическая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом значении переменной не равен нулю.

Рассмотрим дробь $\frac{a-8}{(a+7)(a-12)}$.

1. Найдем значение переменной, при котором числитель $a-8$ равен нулю:
$a - 8 = 0$
$a = 8$

2. Проверим, не обращается ли знаменатель $(a+7)(a-12)$ в ноль при $a = 8$:
$(8+7)(8-12) = 15 \cdot (-4) = -60$

Так как знаменатель не равен нулю ($-60 \neq 0$), то при $a = 8$ дробь равна нулю.

Ответ: при $a = 8$.

Не существует

Алгебраическая дробь не существует (не определена), когда ее знаменатель равен нулю, так как операция деления на ноль не определена.

Найдем значения переменной $a$, при которых знаменатель $(a+7)(a-12)$ равен нулю:
$(a+7)(a-12) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

1) $a + 7 = 0 \implies a = -7$

2) $a - 12 = 0 \implies a = 12$

Следовательно, при $a = -7$ и при $a = 12$ знаменатель дроби обращается в ноль, и дробь не существует.

Ответ: при $a = -7$ и $a = 12$.

2 Сократите дробь $\frac{a^2 - ac + 2ab + b^2 - bc}{ab - c^2 + ac + b^2}$.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^2 - ac + 2ab + b^2 - bc}{ab - c^2 + ac + b^2} $$

Разложим на множители числитель $a^2 - ac + 2ab + b^2 - bc$. Для этого сгруппируем слагаемые. Заметим, что выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой квадрата суммы $(a+b)^2$.

$$ (a^2 + 2ab + b^2) - (ac + bc) = (a+b)^2 - c(a+b) $$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$$ (a+b)(a+b-c) $$

Далее разложим на множители знаменатель $ab - c^2 + ac + b^2$. Переставим слагаемые и сгруппируем их. Выражение $b^2 - c^2$ является формулой разности квадратов.

$$ (b^2 - c^2) + (ab + ac) = (b-c)(b+c) + a(b+c) $$

Вынесем общий множитель $(b+c)$ за скобки:

$$ (b+c)(b-c+a) $$

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$$ \frac{(a+b)(a+b-c)}{(b+c)(a+b-c)} $$

Сократим общий множитель $(a+b-c)$ в числителе и знаменателе.

$$ \frac{a+b}{b+c} $$

Ответ: $ \frac{a+b}{b+c} $

3 Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 4b^2 - 5a + 10b}{(a + 2b)^2 - 25}$ при a = 1,9, b = 0,55.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Упрощение числителя: $a^2 - 4b^2 - 5a + 10b$.

Сгруппируем слагаемые: $(a^2 - 4b^2) + (-5a + 10b)$.

Применим к первой скобке формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, а из второй вынесем общий множитель $-5$:

$(a - 2b)(a + 2b) - 5(a - 2b)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a - 2b)$ за скобки:

$(a - 2b)(a + 2b - 5)$.

2. Упрощение знаменателя: $(a + 2b)^2 - 25$.

Применим формулу разности квадратов, представив $25$ как $5^2$:

$(a + 2b)^2 - 5^2 = (a + 2b - 5)(a + 2b + 5)$.

3. Упрощение всего выражения.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(a + 2b - 5)$:

$\frac{(a - 2b)(a + 2b - 5)}{(a + 2b - 5)(a + 2b + 5)} = \frac{a - 2b}{a + 2b + 5}$.

4. Вычисление значения.

Теперь подставим заданные значения $a = 1,9$ и $b = 0,55$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{1,9 - 2 \cdot 0,55}{1,9 + 2 \cdot 0,55 + 5} = \frac{1,9 - 1,1}{1,9 + 1,1 + 5} = \frac{0,8}{3 + 5} = \frac{0,8}{8} = 0,1$.

Ответ: 0,1.

4 Упростите выражение $\frac{2}{9p - 12q} - \frac{4}{9p + 12q} + \frac{4p}{16q^2 - 9p^2}$.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $9p - 12q = 3(3p - 4q)$.

Знаменатель второй дроби: $9p + 12q = 3(3p + 4q)$.

Знаменатель третьей дроби: $16q^2 - 9p^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $16q^2 - 9p^2 = (4q)^2 - (3p)^2 = (4q - 3p)(4q + 3p)$.

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными на множители знаменателями:

$\frac{2}{3(3p - 4q)} - \frac{4}{3(3p + 4q)} + \frac{4p}{(4q - 3p)(4q + 3p)}$

Заметим, что множитель $(4q - 3p)$ в знаменателе третьей дроби можно представить как $-(3p - 4q)$. Преобразуем третью дробь, вынеся минус за знак дроби:

$\frac{4p}{(4q - 3p)(4q + 3p)} = \frac{4p}{-(3p - 4q)(4q + 3p)} = -\frac{4p}{(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Теперь все выражение выглядит так:

$\frac{2}{3(3p - 4q)} - \frac{4}{3(3p + 4q)} - \frac{4p}{(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Общим знаменателем для всех трех дробей будет $3(3p - 4q)(3p + 4q)$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на недостающие множители.

Дополнительный множитель для первой дроби: $(3p + 4q)$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $(3p - 4q)$.

Дополнительный множитель для третьей дроби: $3$.

$\frac{2(3p + 4q)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)} - \frac{4(3p - 4q)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)} - \frac{4p \cdot 3}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Теперь запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{2(3p + 4q) - 4(3p - 4q) - 12p}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2(3p + 4q) - 4(3p - 4q) - 12p = 6p + 8q - 12p + 16q - 12p = (6p - 12p - 12p) + (8q + 16q) = -18p + 24q$

Перегруппируем слагаемые в числителе и вынесем общий множитель 6 за скобки: $24q - 18p = 6(4q - 3p)$.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{6(4q - 3p)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Снова используем тот факт, что $4q - 3p = -(3p - 4q)$:

$\frac{6 \cdot (-(3p - 4q))}{3(3p - 4q)(3p + 4q)} = \frac{-6(3p - 4q)}{3(3p - 4q)(3p + 4q)}$

Сократим общие множители $3$ и $(3p - 4q)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{(3p - 4q)}}{\cancel{3} \cdot \cancel{(3p - 4q)} \cdot (3p + 4q)} = \frac{-2}{3p + 4q}$

Ответ: $\frac{-2}{3p + 4q}$.

5 Упростите выражение $\frac{8k + k^2 + 16}{15k^2 + 3k} : \frac{16 - k^2}{25k^2 - 1}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить последовательно несколько шагов: заменить операцию деления на умножение на обратную дробь, разложить на множители числители и знаменатели обеих дробей, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{8k + k^2 + 16}{15k^2 + 3k} : \frac{16 - k^2}{25k^2 - 1} $$

1. Замена деления на умножение

Согласно правилу деления дробей, деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:

$$ \frac{8k + k^2 + 16}{15k^2 + 3k} \cdot \frac{25k^2 - 1}{16 - k^2} $$

2. Разложение на множители

Теперь разложим на множители каждый числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

• Числитель первой дроби: $8k + k^2 + 16$. Расположим члены в стандартном порядке: $k^2 + 8k + 16$. Это формула квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. В нашем случае $a=k$ и $b=4$.

  $$ k^2 + 8k + 16 = (k+4)^2 $$

• Знаменатель первой дроби: $15k^2 + 3k$. Вынесем за скобки общий множитель $3k$.

  $$ 15k^2 + 3k = 3k(5k+1) $$

• Числитель второй дроби (бывший знаменатель делителя): $25k^2 - 1$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=5k$ и $b=1$.

  $$ 25k^2 - 1 = (5k-1)(5k+1) $$

• Знаменатель второй дроби (бывший числитель делителя): $16 - k^2$. Это также формула разности квадратов. В нашем случае $a=4$ и $b=k$.

  $$ 16 - k^2 = (4-k)(4+k) $$

3. Подстановка и сокращение

Подставим разложенные выражения обратно в наше произведение:

$$ \frac{(k+4)^2}{3k(5k+1)} \cdot \frac{(5k-1)(5k+1)}{(4-k)(4+k)} $$

Заметим, что $(k+4)^2 = (k+4)(k+4)$ и $(4+k) = (k+4)$. Теперь мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(k+4)$ и $(5k+1)$:

$$ \frac{(k+4)\cancel{(k+4)}}{3k\cancel{(5k+1)}} \cdot \frac{(5k-1)\cancel{(5k+1)}}{(4-k)\cancel{(k+4)}} $$

После сокращения получаем следующее выражение:

$$ \frac{k+4}{3k} \cdot \frac{5k-1}{4-k} $$

4. Итоговый результат

Теперь перемножим оставшиеся числители и знаменатели, чтобы получить окончательный ответ:

$$ \frac{(k+4)(5k-1)}{3k(4-k)} $$

Это выражение является упрощенным, так как дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $$ \frac{(k+4)(5k-1)}{3k(4-k)} $$

6 Упростите выражение

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c}} \cdot \left(1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по частям.

1. Упростим первую часть выражения (многоэтажную дробь).

Приведем к общему знаменателю $a(b+c)$ числитель и знаменатель этой дроби.

Числитель:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{1 \cdot (b+c)}{a(b+c)} + \frac{1 \cdot a}{a(b+c)} = \frac{b+c+a}{a(b+c)}$

Знаменатель:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{1 \cdot (b+c)}{a(b+c)} - \frac{1 \cdot a}{a(b+c)} = \frac{b+c-a}{a(b+c)}$

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель. Для этого умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$\frac{\frac{a+b+c}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} = \frac{a+b+c}{a(b+c)} \cdot \frac{a(b+c)}{b+c-a}$

Сократив общий множитель $a(b+c)$, получим:

$\frac{a+b+c}{b+c-a}$

2. Упростим вторую часть выражения (выражение в скобках).

Приведем к общему знаменателю $2bc$:

$1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc}{2bc} + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Сгруппируем слагаемые в числителе, чтобы выделить формулу квадрата суммы $(b+c)^2 = b^2+2bc+c^2$:

$\frac{(b^2 + 2bc + c^2) - a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{2bc}$

Применим к числителю формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{((b+c)-a)((b+c)+a)}{2bc} = \frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения.

Теперь умножим результат первого действия на результат второго:

$\frac{a+b+c}{b+c-a} \cdot \frac{(b+c-a)(a+b+c)}{2bc}$

Сократим общий множитель $(b+c-a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a+b+c}{1} \cdot \frac{a+b+c}{2bc} = \frac{(a+b+c)^2}{2bc}$

Ответ: $\frac{(a+b+c)^2}{2bc}$

7 Найдите значение выражения $\left(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}\right) : \left(\frac{x^2+1}{x^2-1} - \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)$ при $x = -3\frac{3}{4}$.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполнив алгебраические преобразования по действиям.

1. Упрощение выражения в первых скобках
Приведем дроби $ \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} $ к общему знаменателю $ (x-1)(x+1) = x^2-1 $.
$ \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1} $
В числителе применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $, где $ a=x+1 $ и $ b=x-1 $:
$ \frac{((x+1)-(x-1))((x+1)+(x-1))}{x^2-1} = \frac{(x+1-x+1)(x+1+x-1)}{x^2-1} = \frac{2 \cdot 2x}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1} $

2. Упрощение выражения во вторых скобках
Приведем дроби $ \frac{x^2+1}{x^2-1} - \frac{x^2-1}{x^2+1} $ к общему знаменателю $ (x^2-1)(x^2+1) $.
$ \frac{(x^2+1)^2 - (x^2-1)^2}{(x^2-1)(x^2+1)} $
Аналогично первому действию, применим в числителе формулу разности квадратов, где $ a=x^2+1 $ и $ b=x^2-1 $:
$ \frac{((x^2+1)-(x^2-1))((x^2+1)+(x^2-1))}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{(x^2+1-x^2+1)(x^2+1+x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{2 \cdot 2x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{4x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} $

3. Выполнение деления
Теперь разделим результат первого действия на результат второго:
$ \frac{4x}{x^2-1} : \frac{4x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} $
Заменяем деление на умножение на обратную дробь и сокращаем:
$ \frac{4x}{x^2-1} \cdot \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{4x^2} = \frac{4x \cdot (x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1) \cdot 4x^2} = \frac{x^2+1}{x} $

4. Подстановка значения $x$
Получили упрощенное выражение $ \frac{x^2+1}{x} $. Подставим в него заданное значение $ x = -3\frac{3}{4} $.
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$ x = -3\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{15}{4} $
Теперь вычислим значение выражения:
$ \frac{x^2+1}{x} = \frac{(-\frac{15}{4})^2 + 1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225}{16} + 1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225}{16} + \frac{16}{16}}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{241}{16}}{-\frac{15}{4}} $
Чтобы разделить дроби, умножим числитель на перевернутый знаменатель:
$ \frac{241}{16} \cdot (-\frac{4}{15}) = -\frac{241 \cdot 4}{16 \cdot 15} = -\frac{241}{4 \cdot 15} = -\frac{241}{60} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ -\frac{241}{60} = -4\frac{1}{60} $

Ответ: $ -4\frac{1}{60} $

8 Упростите выражение $(c^{-1} + d^{-1})^{-1} \cdot \left(\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}}\right)$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям.

Исходное выражение: $(c^{-1} + d^{-1})^{-1} \cdot \left(\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}}\right)$.

1. Упростим первый множитель $(c^{-1} + d^{-1})^{-1}$. Сначала преобразуем степени с отрицательным показателем внутри скобок, используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$c^{-1} + d^{-1} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $cd$:

$\frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \frac{d}{cd} + \frac{c}{cd} = \frac{c+d}{cd}$

Теперь возведем полученную дробь в степень -1, что эквивалентно нахождению обратной дроби:

$(c^{-1} + d^{-1})^{-1} = \left(\frac{c+d}{cd}\right)^{-1} = \frac{cd}{c+d}$

2. Упростим второй множитель $\left(\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}}\right)$. Используя то же правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем знаменатели:

$\frac{2}{d^{-2}} - \frac{2}{c^{-2}} = \frac{2}{1/d^2} - \frac{2}{1/c^2} = 2d^2 - 2c^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$2d^2 - 2c^2 = 2(d^2 - c^2) = 2(d-c)(d+c)$

3. Перемножим результаты, полученные в шагах 1 и 2:

$\frac{cd}{c+d} \cdot 2(d-c)(d+c)$

Сократим общий множитель $(c+d)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как из условия $c^{-1}+d^{-1} \neq 0$ следует, что $c+d \neq 0$):

$\frac{cd}{\cancel{c+d}} \cdot 2(d-c)(\cancel{d+c}) = 2cd(d-c)$

Ответ: $2cd(d-c)$.

9 Докажите, что значение выражения $\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$ не зависит от значений входящих в него переменных.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от входящих в него переменных, необходимо упростить данное выражение. Будем выполнять преобразования по действиям.

Исходное выражение: $ \left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} $

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} $

Сначала разложим знаменатели на множители. Для первого знаменателя применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $. Во втором знаменателе вынесем общий множитель за скобки: $ 2a + 2b = 2(a+b) $.

$ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a - b}{2(a+b)} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ 2(a-b)(a+b) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй — на $ (a-b) $.

$ \frac{2ab \cdot 2}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{2(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

Раскроем в числителе квадрат разности по формуле $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ и приведем подобные слагаемые.

$ \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} $

Числитель представляет собой полный квадрат суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

$ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+b) $ (при условии, что $ a+b \neq 0 $).

$ \frac{a+b}{2(a-b)} $

2. Выполним умножение.

Результат, полученный в первом действии, умножим на дробь $ \frac{2a}{a+b} $.

$ \frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b} $

Сократим общие множители 2 и $ (a+b) $ в числителе и знаменателе.

$ \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{2}(a-b)} \cdot \frac{\cancel{2}a}{\cancel{a+b}} = \frac{a}{a-b} $

3. Выполним сложение.

К результату второго действия прибавим последнюю дробь из исходного выражения: $ \frac{b}{b-a} $.

$ \frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} $

Знаменатели дробей противоположны: $ b-a = -(a-b) $. Вынесем минус из знаменателя второй дроби, изменив знак перед дробью.

$ \frac{a}{a-b} + \frac{b}{-(a-b)} = \frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b} $

Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями.

$ \frac{a-b}{a-b} = 1 $

Преобразования верны при условии, что все знаменатели в исходном выражении не равны нулю, то есть при $ a \neq b $ и $ a \neq -b $. В результате упрощения мы получили число 1. Так как это значение является константой, оно не зависит от значений переменных $a$ и $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно 1, оно не зависит от значений входящих в него переменных.

10 Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.

Катер проходит 21 км по течению реки на 15 мин быстрее, чем то же расстояние против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Решение задачи с использованием трех этапов математического моделирования:

1. Составление математической модели

На этом этапе мы переводим условия задачи на язык математики. Основная цель — составить уравнение, связывающее известные и неизвестные величины.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Это искомая величина. Поскольку катер должен иметь возможность двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения: $x > 1$.

• Скорость катера по течению реки: $v_{по} = (x + 1)$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки: $v_{против} = (x - 1)$ км/ч.

Расстояние $S$ в обоих случаях одинаково и равно 21 км. Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$.

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{21}{x + 1}$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = \frac{21}{x - 1}$ ч.

По условию, время движения по течению на 15 минут меньше, чем против течения. Переведем разницу во времени в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Поскольку время движения против течения больше, то разница $t_{против} - t_{по}$ будет положительной. Составим уравнение:

$\frac{21}{x - 1} - \frac{21}{x + 1} = \frac{1}{4}$

Это уравнение является математической моделью задачи.

2. Работа с математической моделью

На этом этапе решаем полученное рациональное уравнение относительно переменной $x$.

$\frac{21}{x - 1} - \frac{21}{x + 1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$:

$\frac{21(x + 1) - 21(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{4}$

$\frac{21x + 21 - 21x + 21}{x^2 - 1} = \frac{1}{4}$

$\frac{42}{x^2 - 1} = \frac{1}{4}$

Используем основное свойство пропорции:

$1 \cdot (x^2 - 1) = 42 \cdot 4$

$x^2 - 1 = 168$

$x^2 = 169$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{169} = 13$

$x_2 = -\sqrt{169} = -13$

3. Интерпретация результата

На этом этапе мы анализируем полученные математические решения и соотносим их с условиями исходной задачи.

Мы получили два корня: $x_1 = 13$ и $x_2 = -13$.

Переменная $x$ обозначает собственную скорость катера, которая по своему физическому смыслу является величиной положительной. Поэтому корень $x_2 = -13$ не подходит.

Корень $x_1 = 13$ является положительным числом и удовлетворяет условию $x > 1$ ($13 > 1$), которое мы определили на первом этапе. Следовательно, это и есть решение задачи.

Собственная скорость катера равна 13 км/ч.

Проверим результат:

• Скорость по течению: $13 + 1 = 14$ км/ч. Время: $t_{по} = \frac{21}{14} = 1,5$ ч.
• Скорость против течения: $13 - 1 = 12$ км/ч. Время: $t_{против} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4} = 1,75$ ч.
• Разница во времени: $t_{против} - t_{по} = 1,75 - 1,5 = 0,25$ ч.

$0,25$ ч $= \frac{1}{4}$ ч $= 15$ минут. Результат верен.

Ответ: 13 км/ч.