Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

11.12 а) $(-\sqrt{11})^2$;

б) $-(\sqrt{21})^2$;

в) $-(-\sqrt{2})^2$;

г) $-\sqrt{(-3)^2}$.

а) Для вычисления значения выражения $(-\sqrt{11})^2$ воспользуемся свойством степени. Квадрат любого числа, отличного от нуля, является положительным числом. В частности, для любого $a$ справедливо $(-a)^2 = a^2$.

Таким образом, $(-\sqrt{11})^2 = (\sqrt{11})^2$.

По определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого $a \ge 0$.

В нашем случае $a = 11$, следовательно, $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Ответ: 11

б) В выражении $-(\sqrt{21})^2$ знак минус стоит перед скобками. Это означает, что сначала нужно выполнить действие в скобках (возведение в квадрат), а затем применить к результату знак минус.

Вычислим значение в скобках, используя определение квадратного корня: $(\sqrt{21})^2 = 21$.

Теперь применим знак минус: $- (21) = -21$.

Ответ: -21

в) Вычислим значение выражения $-(-\sqrt{2})^2$. Как и в предыдущем примере, сначала выполним операцию в скобках.

Возводим в квадрат $(-\sqrt{2})$: $(-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение, учитывая знак минус перед скобками: $-(2) = -2$.

Ответ: -2

г) В выражении $-\sqrt{(-3)^2}$ сначала нужно выполнить операцию под знаком корня.

Вычислим подкоренное выражение: $(-3)^2 = 9$.

Теперь выражение выглядит так: $-\sqrt{9}$.

Арифметический квадратный корень из 9 равен 3, так как $3^2=9$.

Следовательно, $-\sqrt{9} = -3$.

Альтернативный способ решения — использовать тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Тогда $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$. Учитывая знак минус перед корнем, получаем $-3$.

Ответ: -3

11.13 a) $(2\sqrt{3})^2;$

б) $(3\sqrt{7})^2;$

в) $(4\sqrt{11})^2;$

г) $(6\sqrt{2})^2.$

а) Чтобы возвести в квадрат произведение $(2\sqrt{3})$, необходимо использовать свойство степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. Также воспользуемся определением квадратного корня, согласно которому $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$.
Применяя эти правила, получаем:
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2$
Теперь вычислим значение каждого множителя:
$2^2 = 4$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Наконец, перемножим полученные результаты:
$4 \cdot 3 = 12$
Ответ: 12

б) Для вычисления значения выражения $(3\sqrt{7})^2$ применим то же свойство возведения произведения в степень $(ab)^2 = a^2 b^2$.
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2$
Возведем в квадрат первый множитель:
$3^2 = 9$
Возведем в квадрат второй множитель (квадратный корень):
$(\sqrt{7})^2 = 7$
Перемножим полученные значения:
$9 \cdot 7 = 63$
Ответ: 63

в) Чтобы найти значение выражения $(4\sqrt{11})^2$, снова используем свойство степени произведения.
$(4\sqrt{11})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{11})^2$
Вычислим квадрат каждого из сомножителей:
$4^2 = 16$
$(\sqrt{11})^2 = 11$
Теперь выполним умножение:
$16 \cdot 11 = 176$
Ответ: 176

г) Для выражения $(6\sqrt{2})^2$ действуем аналогично предыдущим пунктам, используя правило $(ab)^2 = a^2 b^2$.
$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2$
Возводим в квадрат каждый множитель по отдельности:
$6^2 = 36$
$(\sqrt{2})^2 = 2$
Находим произведение полученных результатов:
$36 \cdot 2 = 72$
Ответ: 72

11.14 а) $(-\frac{\sqrt{3}}{3})^2;$

б) $(\frac{1}{\sqrt{7}})^2;$

в) $(\frac{\sqrt{5}}{2})^2;$

г) $(-\frac{4}{\sqrt{6}})^2.$

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. При возведении отрицательного числа в квадрат (четную степень) результат будет положительным. Основные правила, которые мы используем: $(x)^2 = x^2$, $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$ и $(\sqrt{c})^2 = c$.
Применим эти правила к нашему выражению:
$(-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{(-\sqrt{3})^2}{3^2} = \frac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = \frac{3}{9}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Используем правило возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.
$(\frac{1}{\sqrt{7}})^2 = \frac{1^2}{(\sqrt{7})^2}$
Возводим в квадрат числитель и знаменатель:
$1^2 = 1$
$(\sqrt{7})^2 = 7$
В результате получаем:
$\frac{1}{7}$
Ответ: $\frac{1}{7}$

в) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби, используя правило $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.
$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{5})^2}{2^2}$
Вычисляем числитель и знаменатель:
$(\sqrt{5})^2 = 5$
$2^2 = 4$
Получаем дробь:
$\frac{5}{4}$
Эту дробь можно также представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{4}$ или десятичной дроби $1.25$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

г) Сначала учтем, что отрицательное число в квадрате дает положительное число. Затем возводим в квадрат числитель и знаменатель.
$(-\frac{4}{\sqrt{6}})^2 = (\frac{4}{\sqrt{6}})^2 = \frac{4^2}{(\sqrt{6})^2}$
Вычисляем значения числителя и знаменателя:
$4^2 = 16$
$(\sqrt{6})^2 = 6$
Получаем дробь:
$\frac{16}{6}$
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$\frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
Эту дробь можно также представить в виде смешанного числа $2\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$

11.15 a) $(\sqrt{3})^6$;

б) $(3\sqrt{2})^4$;

в) $(-\sqrt{11})^4$;

г) $(\sqrt{5})^6$.

а) Для вычисления $(\sqrt{3})^6$ удобно представить степень 6 как $2 \cdot 3$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $(\sqrt{3})^6 = ((\sqrt{3})^2)^3$.

По определению квадратного корня, $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Подставим это значение в выражение: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: 27

б) Чтобы вычислить $(3\sqrt{2})^4$, используем свойство возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$.

$(3\sqrt{2})^4 = 3^4 \cdot (\sqrt{2})^4$.

Вычислим каждый множитель отдельно.

$3^4 = 81$.

Для второго множителя используем свойство $(\sqrt{a})^2=a$: $(\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4$.

Теперь перемножим результаты: $81 \cdot 4 = 324$.

Ответ: 324

в) Рассмотрим выражение $(-\sqrt{11})^4$.

Так как показатель степени 4 является четным числом, то минус в основании можно убрать, поскольку для любого $a$ и четного $n$ выполняется равенство $(-a)^n = a^n$.

Следовательно, $(-\sqrt{11})^4 = (\sqrt{11})^4$.

Далее, как и в предыдущих примерах, упрощаем выражение: $(\sqrt{11})^4 = ((\sqrt{11})^2)^2 = 11^2 = 121$.

Ответ: 121

г) Вычислим $(\sqrt{5})^6$.

Представим степень 6 в виде $2 \cdot 3$ и воспользуемся свойством степени: $(\sqrt{5})^6 = ((\sqrt{5})^2)^3$.

Так как $(\sqrt{5})^2 = 5$, получаем:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Ответ: 125

11.16 a) $\sqrt{3 + \sqrt{36}}$;

б) $\sqrt{44 + \sqrt{25}}$;

в) $\sqrt{7 + \sqrt{81}}$;

г) $\sqrt{7 - \sqrt{9}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3 + \sqrt{36}}$ необходимо следовать порядку действий: сначала вычислить внутренний корень, затем выполнить сложение и, наконец, вычислить внешний корень.

1. Вычисляем значение внутреннего корня: $\sqrt{36} = 6$.

2. Подставляем полученный результат в исходное выражение: $\sqrt{3 + 6}$.

3. Выполняем сложение под знаком внешнего корня: $3 + 6 = 9$.

4. Вычисляем окончательный результат: $\sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{44 + \sqrt{25}}$ действуем аналогично.

1. Вычисляем значение внутреннего корня: $\sqrt{25} = 5$.

2. Подставляем полученный результат в исходное выражение: $\sqrt{44 + 5}$.

3. Выполняем сложение под знаком внешнего корня: $44 + 5 = 49$.

4. Вычисляем окончательный результат: $\sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt{7 + \sqrt{81}}$ выполняем те же шаги.

1. Вычисляем значение внутреннего корня: $\sqrt{81} = 9$.

2. Подставляем полученный результат в исходное выражение: $\sqrt{7 + 9}$.

3. Выполняем сложение под знаком внешнего корня: $7 + 9 = 16$.

4. Вычисляем окончательный результат: $\sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt{7 - \sqrt{9}}$ выполняем действия в том же порядке.

1. Вычисляем значение внутреннего корня: $\sqrt{9} = 3$.

2. Подставляем полученный результат в исходное выражение: $\sqrt{7 - 3}$.

3. Выполняем вычитание под знаком внешнего корня: $7 - 3 = 4$.

4. Вычисляем окончательный результат: $\sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2