Страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Вспомните из курса алгебры 7-го класса определение степени с натуральным показателем.

1. В курсе алгебры 7-го класса степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют выражение вида $a^n$, значение которого равно произведению $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

В данном выражении:

• $a$ — это основание степени (число, которое возводится в степень).

• $n$ — это показатель степени (натуральное число, $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя.

• $a^n$ — это результат вычисления, который также называют степенью.

Формально определение записывается в виде двух правил:

1. Для любого натурального показателя $n > 1$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

2. Для показателя $n = 1$:

$a^1 = a$

Эти два правила полностью определяют операцию возведения в степень для любого натурального показателя.

Например:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ (здесь основание равно 5, показатель равен 3).

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$ (здесь основание равно -2, показатель равен 4).

$10^1 = 10$ (здесь основание равно 10, показатель равен 1).

Ответ: Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Это определение формально записывается как $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$ для $n \ge 2$, и по соглашению $a^1=a$. Число $a$ называют основанием степени, а число $n$ — показателем степени.

3. Вспомните из курса алгебры 7-го класса определение степени с нулевым показателем.

В курсе алгебры 7-го класса определение степени с нулевым показателем вводится как логическое продолжение свойств степеней с натуральными показателями. Основная идея заключается в том, чтобы сохранить работоспособность правила деления степеней с одинаковым основанием.

Рассмотрим свойство деления степеней: для любого числа $a \neq 0$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $m > n$, справедливо равенство: $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$

Теперь предположим, что мы хотим, чтобы эта формула оставалась верной и в случае, когда $m = n$. Давайте посмотрим, к чему это приведет. Возьмем любое число $a$, не равное нулю, и любое натуральное число $n$.

С одной стороны, результат деления любого ненулевого числа на само себя всегда равен 1. Следовательно: $$ \frac{a^n}{a^n} = 1 $$

С другой стороны, если мы формально применим правило вычитания показателей к этому же выражению, мы получим: $$ \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 $$

Чтобы эти два результата не противоречили друг другу, математики договорились принять следующее определение.

Определение: Степенью числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем является число 1. $$ a^0 = 1 \quad (\text{для любого } a \neq 0) $$ Например: $7^0 = 1$; $(-25)^0 = 1$; $(\frac{3}{4})^0 = 1$.

Исключение: Выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в рамках школьной алгебры считается неопределенным. Это связано с тем, что исходное правило деления степеней требует, чтобы основание $a$ не было равно нулю (так как на ноль делить нельзя), поэтому логика, приводящая к определению $a^0=1$, неприменима для $a=0$.

Ответ: Согласно определению из курса алгебры, степенью любого числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем является единица. Это записывается формулой: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$. Выражение $0^0$ считается неопределенным (не имеет смысла).

5. Сформулируйте свойства степени с отрицательным целым показателем. Запишите их на математическом языке.

Степень с отрицательным целым показателем определяется следующим образом: для любого числа $a$, не равного нулю, и любого натурального числа $n$, степень $a$ с показателем $-n$ равна дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель — степени $a$ с показателем $n$.

На математическом языке это записывается так: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число.

Свойства степени с отрицательным целым показателем такие же, как и для степени с натуральным показателем. Для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливы следующие равенства:

1. Произведение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

$a^m : a^n = a^{m-n}$

Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень, основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

4. Степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить.

$(ab)^n = a^n b^n$

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

5. Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное (дробь), нужно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй.

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

7. Известно, что $a \neq 0, b \neq 0, n, m$ — целые числа. Какие из приведённых ниже соотношений представляют собой верные равенства, а какие — нет:

а) $a^n \cdot a^m = a^{n + m};$

б) $a^n \cdot a^m = a^{nm};$

в) $a^n : a^m = a^{\frac{n}{m}};$

г) $a^n : a^m = a^{n - m};$

д) $a^n \cdot b^m = (ab)^{n + m};$

е) $a^n \cdot b^m = (ab)^{nm};$

ж) $a^n + a^m = a^{n + m};$

з) $a^n \cdot b^n = (ab)^n;$

и) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n};$

к) $\frac{a^n}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - m} ?$

а) Равенство $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ является верным. Это основное свойство степеней, которое гласит, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Для любых целых $n$ и $m$ и $a \neq 0$ это равенство выполняется по определению степени. Например, если $a=2, n=2, m=3$, то $2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^5 = 32$, и $a^{n+m} = 2^{2+3} = 2^5 = 32$.
Ответ: верно.

б) Равенство $a^n \cdot a^m = a^{nm}$ является неверным. Умножение показателей происходит при возведении степени в степень: $(a^n)^m = a^{nm}$. При умножении степеней показатели складываются. Возьмем контрпример: пусть $a=2, n=2, m=3$. Тогда $a^n \cdot a^m = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$. Правая часть: $a^{nm} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64$. Так как $32 \neq 64$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

в) Равенство $a^n : a^m = a^{\frac{n}{m}}$ является неверным. Правильное свойство для деления степеней с одинаковым основанием — это вычитание показателей (см. пункт г). Для проверки неверности данного равенства достаточно привести контрпример: пусть $a=2, n=6, m=2$. Левая часть: $a^n : a^m = 2^6 : 2^2 = 64 : 4 = 16$. Правая часть: $a^{\frac{n}{m}} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8$. Так как $16 \neq 8$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

г) Равенство $a^n : a^m = a^{n-m}$ является верным. Это основное свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Это правило верно для любых целых $n$ и $m$ и $a \neq 0$. Например, если $a=3, n=4, m=2$, то $a^n : a^m = 3^4 : 3^2 = 81 : 9 = 9$, и $a^{n-m} = 3^{4-2} = 3^2 = 9$.
Ответ: верно.

д) Равенство $a^n \cdot b^m = (ab)^{n+m}$ является неверным. В левой части перемножаются степени с разными основаниями ($a$ и $b$) и, в общем случае, разными показателями ($n$ и $m$). Для такого выражения не существует общего правила упрощения. Контрпример: пусть $a=2, b=3, n=2, m=1$. Левая часть: $a^n \cdot b^m = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$. Правая часть: $(ab)^{n+m} = (2 \cdot 3)^{2+1} = 6^3 = 216$. Так как $12 \neq 216$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

е) Равенство $a^n \cdot b^m = (ab)^{nm}$ является неверным по тем же причинам, что и в пункте д). Здесь также нет общего свойства для степеней с разными основаниями и разными показателями. Контрпример: пусть $a=2, b=3, n=2, m=1$. Левая часть: $a^n \cdot b^m = 2^2 \cdot 3^1 = 12$. Правая часть: $(ab)^{nm} = (2 \cdot 3)^{2 \cdot 1} = 6^2 = 36$. Так как $12 \neq 36$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

ж) Равенство $a^n + a^m = a^{n+m}$ является неверным. Свойство $a^{n+m}$ относится к произведению степеней $a^n \cdot a^m$, а не к их сумме. Для суммы степеней не существует подобного правила упрощения. Контрпример: пусть $a=2, n=2, m=3$. Левая часть: $a^n + a^m = 2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$. Правая часть: $a^{n+m} = 2^{2+3} = 2^5 = 32$. Так как $12 \neq 32$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

з) Равенство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ является верным. Это свойство возведения произведения в степень. Оно гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем. Например, если $a=2, b=3, n=2$, то $a^n \cdot b^n = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$, и $(ab)^n = (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$.
Ответ: верно.

и) Равенство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ является верным. Это свойство возведения частного (дроби) в степень. Оно гласит, что степень частного равна частному от деления степеней делимого и делителя с тем же показателем. Например, если $a=4, b=2, n=3$, то $(\frac{a}{b})^n = (\frac{4}{2})^3 = 2^3 = 8$, и $\frac{a^n}{b^n} = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8$.
Ответ: верно.

к) Равенство $\frac{a^n}{b^m} = (\frac{a}{b})^{n-m}$ является неверным. В левой части стоит частное степеней с разными основаниями ($a$ и $b$) и, в общем случае, разными показателями ($n$ и $m$). Для такого выражения нет общего правила упрощения. Контрпример: пусть $a=4, b=2, n=3, m=2$. Левая часть: $\frac{a^n}{b^m} = \frac{4^3}{2^2} = \frac{64}{4} = 16$. Правая часть: $(\frac{a}{b})^{n-m} = (\frac{4}{2})^{3-2} = 2^1 = 2$. Так как $16 \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

2. Вспомните из курса алгебры 7-го класса свойства степени с натуральным показателем. Проговорите их и запишите на математическом языке.

Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n справедливы следующие свойства степени. Для свойств, включающих число b, оно также является любым числом, если не указано иное.

• Произведение степеней с одинаковым основанием

  При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

  Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• Частное степеней с одинаковым основанием

  При делении степеней с одинаковыми основаниями (где основание не равно нулю) основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Свойство справедливо при условии, что показатель делимого больше показателя делителя.

  Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0, m > n$)

• Возведение степени в степень

  При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

  Ответ: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

• Возведение в степень произведения

  Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

  Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

• Возведение в степень частного (дроби)

  Чтобы возвести частное в степень, можно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй. Делитель не должен быть равен нулю.

  Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$)

4. Сформулируйте определение степени с отрицательным целым показателем.

Степенью числа a, не равного нулю, с отрицательным целым показателем -n называется число, которое является обратным степени того же числа a с противоположным (положительным) показателем n.

Это определение выражается следующей формулой:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Данное равенство верно для любого числа $a \neq 0$ и любого натурального числа $n$.

Обоснование определения:

Определение степени с отрицательным показателем вводится таким образом, чтобы сохранить свойства степеней, справедливые для натуральных показателей. В частности, свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Например, если мы применим это правило к выражению $a^3 : a^5$, получим:
$a^3 : a^5 = a^{3-5} = a^{-2}$.
С другой стороны, выполнив деление путем сокращения дроби, имеем:
$\frac{a^3}{a^5} = \frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a^2}$.
Чтобы свойство степени сохранялось, необходимо, чтобы результаты были равны, то есть $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Это и служит логической основой для определения степени с отрицательным показателем.

Примеры использования:

1. $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$

2. $(-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$

3. $(\frac{3}{5})^{-2} = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2} = \frac{1}{\frac{9}{25}} = \frac{25}{9}$. Отсюда следует полезное свойство для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Ответ: Если $a$ — любое число, не равное нулю, и $-n$ — отрицательное целое число (где $n$ — натуральное число), то степенью $a$ с показателем $-n$ называется число $\frac{1}{a^n}$.

6. Верно ли утверждение: «Свойства степени с натуральным показателем аналогичны свойствам степени с отрицательным целым показателем»?

Да, данное утверждение абсолютно верно.

Понятие степени с отрицательным целым показателем (а также с нулевым показателем) вводится в математике как расширение понятия степени с натуральным показателем. Основная цель этого расширения — сохранить все основные свойства, которые справедливы для степеней с натуральными показателями, и распространить их на все целые числа. Таким образом, правила действий со степенями становятся универсальными для любых целых показателей.

Определение степени с отрицательным целым показателем для любого числа $a \neq 0$ и натурального числа $n$ выглядит так: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Благодаря этому определению все основные свойства степеней, справедливые для натуральных показателей, остаются верными и для любых целых (включая отрицательные) показателей. Рассмотрим эти свойства для любых целых чисел $m$ и $n$ и для любых оснований $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
Это свойство сохраняется. Например, если один показатель натуральный, а другой — отрицательный: $a^5 \cdot a^{-2} = a^5 \cdot \frac{1}{a^2} = a^{5-2} = a^3$. По формуле: $a^{5+(-2)} = a^3$.

Деление степеней с одинаковым основанием: $a^n : a^m = a^{n-m}$.
Для натуральных показателей это свойство обычно записывалось с ограничением ($n>m$), но для целых показателей оно выполняется всегда. Например: $a^2 : a^5 = a^{2-5} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

Возведение степени в степень: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.
Свойство также сохраняется. Например: $(a^{-2})^3 = (\frac{1}{a^2})^3 = \frac{1}{a^6} = a^{-6}$. По формуле: $a^{-2 \cdot 3} = a^{-6}$.

Возведение в степень произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Например, для отрицательного показателя: $(ab)^{-3} = \frac{1}{(ab)^3} = \frac{1}{a^3b^3} = \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3} = a^{-3}b^{-3}$.

Возведение в степень частного (дроби): $(a/b)^n = a^n / b^n$.
Например, для отрицательного показателя: $(a/b)^{-2} = (\frac{b}{a})^2 = \frac{b^2}{a^2}$. По формуле: $\frac{a^{-2}}{b^{-2}} = \frac{1/a^2}{1/b^2} = \frac{b^2}{a^2}$.

Таким образом, свойства степени с натуральным показателем не просто аналогичны, а полностью совпадают и обобщаются на случай степени с любым целым показателем. Это делает работу со степенями последовательной и логичной.

Ответ: Да, утверждение верно.

4.13 a) $\frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}$;

б) $\frac{2m-n}{mn} + \frac{5n-2k}{nk}$;

в) $\frac{x-y}{xy} + \frac{y-z}{yz}$;

г) $\frac{3z+2t}{zt} - \frac{t+3s}{st}$.

а) $\frac{a-b}{ab} - \frac{a-c}{ac}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $ab$ и $ac$ является $abc$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{a-b}{ab}$ дополнительный множитель равен $\frac{abc}{ab} = c$. Для второй дроби $\frac{a-c}{ac}$ дополнительный множитель равен $\frac{abc}{ac} = b$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{c(a-b)}{abc} - \frac{b(a-c)}{abc} = \frac{c(a-b) - b(a-c)}{abc}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ac - bc - (ab - bc)}{abc} = \frac{ac - bc - ab + bc}{abc}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($(-bc)$ и $(+bc)$ взаимно уничтожаются):

$\frac{ac - ab}{abc}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки и сократим дробь на $a$ (при условии, что $a \ne 0$):

$\frac{a(c-b)}{abc} = \frac{c-b}{bc}$

Ответ: $\frac{c-b}{bc}$

б) $\frac{2m-n}{mn} + \frac{5n-2k}{nk}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $mn$ и $nk$ — это $mnk$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{mnk}{mn} = k$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{mnk}{nk} = m$.

Выполним сложение дробей, умножив числители на их дополнительные множители:

$\frac{k(2m-n)}{mnk} + \frac{m(5n-2k)}{mnk} = \frac{k(2m-n) + m(5n-2k)}{mnk}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2mk - nk + 5mn - 2mk}{mnk}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($2mk$ и $-2mk$ взаимно уничтожаются):

$\frac{5mn - nk}{mnk}$

Вынесем общий множитель $n$ в числителе за скобки и сократим дробь на $n$ (при условии, что $n \ne 0$):

$\frac{n(5m-k)}{mnk} = \frac{5m-k}{mk}$

Ответ: $\frac{5m-k}{mk}$

в) $\frac{x-y}{xy} + \frac{y-z}{yz}$

Общим знаменателем для дробей является $xyz$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xyz}{xy} = z$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xyz}{yz} = x$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{z(x-y)}{xyz} + \frac{x(y-z)}{xyz} = \frac{z(x-y) + x(y-z)}{xyz}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{xz - yz + xy - xz}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($xz$ и $-xz$ взаимно уничтожаются):

$\frac{xy - yz}{xyz}$

Вынесем общий множитель $y$ в числителе и сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \ne 0$):

$\frac{y(x-z)}{xyz} = \frac{x-z}{xz}$

Ответ: $\frac{x-z}{xz}$

г) $\frac{3z+2t}{zt} - \frac{t+3s}{st}$

Общий знаменатель для $zt$ и $st$ — это $szt$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{szt}{zt} = s$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{szt}{st} = z$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{s(3z+2t)}{szt} - \frac{z(t+3s)}{szt} = \frac{s(3z+2t) - z(t+3s)}{szt}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3sz + 2st - (zt + 3sz)}{szt} = \frac{3sz + 2st - zt - 3sz}{szt}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($3sz$ и $-3sz$ взаимно уничтожаются):

$\frac{2st - zt}{szt}$

Вынесем общий множитель $t$ в числителе и сократим дробь на $t$ (при условии, что $t \ne 0$):

$\frac{t(2s-z)}{szt} = \frac{2s-z}{sz}$

Ответ: $\frac{2s-z}{sz}$

4.14 a) $\frac{x^2 + y^2}{x} - x;$

б) $2s - \frac{(b+s)^2}{b};$

в) $3z + \frac{1 - 9z^2}{3z};$

г) $\frac{(p-q)^2}{2p} + q.$

а) Чтобы представить выражение $ \frac{x^2 + y^2}{x} - x $ в виде дроби, приведем его члены к общему знаменателю $x$. Для этого представим $x$ в виде дроби со знаменателем $x$:

$ x = \frac{x \cdot x}{x} = \frac{x^2}{x} $

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{x^2 + y^2}{x} - \frac{x^2}{x} = \frac{x^2 + y^2 - x^2}{x} $

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{y^2}{x} $

Ответ: $ \frac{y^2}{x} $

б) Чтобы представить выражение $ 2s - \frac{(b + s)^2}{b} $ в виде дроби, приведем его члены к общему знаменателю $b$. Представим $2s$ в виде дроби со знаменателем $b$:

$ 2s = \frac{2s \cdot b}{b} = \frac{2sb}{b} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{2sb}{b} - \frac{(b + s)^2}{b} = \frac{2sb - (b + s)^2}{b} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2+2ac+c^2$:

$ \frac{2sb - (b^2 + 2bs + s^2)}{b} = \frac{2sb - b^2 - 2bs - s^2}{b} $

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{-b^2 - s^2}{b} = -\frac{b^2 + s^2}{b} $

Ответ: $ -\frac{b^2 + s^2}{b} $

в) Чтобы представить выражение $ 3z + \frac{1 - 9z^2}{3z} $ в виде дроби, приведем его члены к общему знаменателю $3z$. Представим $3z$ в виде дроби со знаменателем $3z$:

$ 3z = \frac{3z \cdot 3z}{3z} = \frac{9z^2}{3z} $

Теперь выполним сложение дробей:

$ \frac{9z^2}{3z} + \frac{1 - 9z^2}{3z} = \frac{9z^2 + 1 - 9z^2}{3z} $

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{1}{3z} $

Ответ: $ \frac{1}{3z} $

г) Чтобы представить выражение $ \frac{(p - q)^2}{2p} + q $ в виде дроби, приведем его члены к общему знаменателю $2p$. Представим $q$ в виде дроби со знаменателем $2p$:

$ q = \frac{q \cdot 2p}{2p} = \frac{2pq}{2p} $

Выполним сложение дробей:

$ \frac{(p - q)^2}{2p} + \frac{2pq}{2p} = \frac{(p - q)^2 + 2pq}{2p} $

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$ \frac{p^2 - 2pq + q^2 + 2pq}{2p} $

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{p^2 + q^2}{2p} $

Ответ: $ \frac{p^2 + q^2}{2p} $

4.15 a) $(2a + 1) - \frac{8a^2 + 3}{4a};$

б) $\frac{4}{3b} + 3b + 4;$

в) $\frac{9b^2 - 4}{3b} + (2 - 3b);$

г) $a - 1 + \frac{1}{4a}.$

а) Чтобы упростить выражение $(2a + 1) - \frac{8a^2 + 3}{4a}$, необходимо привести все члены к общему знаменателю. Общим знаменателем является $4a$.
Представим первый член $(2a + 1)$ в виде дроби со знаменателем $4a$:
$(2a + 1) = \frac{(2a + 1) \cdot 4a}{4a} = \frac{8a^2 + 4a}{4a}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{8a^2 + 4a}{4a} - \frac{8a^2 + 3}{4a} = \frac{(8a^2 + 4a) - (8a^2 + 3)}{4a}$.
Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему числителю:
$\frac{8a^2 + 4a - 8a^2 - 3}{4a}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(8a^2 - 8a^2) + 4a - 3}{4a} = \frac{4a - 3}{4a}$.
Ответ: $\frac{4a - 3}{4a}$.

б) Чтобы сложить выражения $\frac{4}{3b} + 3b + 4$, приведем их к общему знаменателю $3b$.
Представим слагаемые $3b$ и $4$ в виде дробей со знаменателем $3b$:
$3b = \frac{3b \cdot 3b}{3b} = \frac{9b^2}{3b}$;
$4 = \frac{4 \cdot 3b}{3b} = \frac{12b}{3b}$.
Теперь сложим все дроби:
$\frac{4}{3b} + \frac{9b^2}{3b} + \frac{12b}{3b} = \frac{4 + 9b^2 + 12b}{3b}$.
Расположим слагаемые в числителе в стандартном порядке (по убыванию степеней переменной $b$):
$\frac{9b^2 + 12b + 4}{3b}$.
Числитель $9b^2 + 12b + 4$ представляет собой полный квадрат суммы $(3b+2)^2$, так как $(3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$.
Ответ: $\frac{9b^2 + 12b + 4}{3b}$.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{9b^2 - 4}{3b} + (2 - 3b)$, приведем слагаемые к общему знаменателю $3b$.
Представим $(2 - 3b)$ в виде дроби со знаменателем $3b$:
$(2 - 3b) = \frac{(2 - 3b) \cdot 3b}{3b} = \frac{6b - 9b^2}{3b}$.
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{9b^2 - 4}{3b} + \frac{6b - 9b^2}{3b} = \frac{(9b^2 - 4) + (6b - 9b^2)}{3b}$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{9b^2 - 4 + 6b - 9b^2}{3b} = \frac{(9b^2 - 9b^2) + 6b - 4}{3b} = \frac{6b - 4}{3b}$.
Ответ: $\frac{6b - 4}{3b}$.

г) Чтобы упростить выражение $a - 1 + \frac{1}{4a}$, приведем все слагаемые к общему знаменателю $4a$.
Представим $a$ и $1$ в виде дробей со знаменателем $4a$:
$a = \frac{a \cdot 4a}{4a} = \frac{4a^2}{4a}$;
$1 = \frac{1 \cdot 4a}{4a} = \frac{4a}{4a}$.
Теперь выполним действия с дробями:
$\frac{4a^2}{4a} - \frac{4a}{4a} + \frac{1}{4a} = \frac{4a^2 - 4a + 1}{4a}$.
Обратим внимание, что числитель $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности $(2a - 1)$, так как $(2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$.
Таким образом, выражение можно записать как $\frac{(2a-1)^2}{4a}$.
Ответ: $\frac{4a^2 - 4a + 1}{4a}$.

4.16 a) $ \frac{1}{x^2} + \frac{x-2}{x} $;

б) $ \frac{5}{a} - \frac{10a-1}{5a^3} $;

в) $ \frac{m+1}{m} - \frac{3m-1}{m^2} $;

г) $ \frac{1+8y}{2y^3} + \frac{8}{y} $.

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{x^2} $ и $ \frac{x-2}{x} $, нужно привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $ x^2 $ и $ x $. Наименьший общий знаменатель для них — $ x^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1}{x^2} $ равен 1, так как ее знаменатель уже $ x^2 $.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{x-2}{x} $ равен $ x $, так как $ x \cdot x = x^2 $.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $ x $:

$ \frac{x-2}{x} = \frac{(x-2) \cdot x}{x \cdot x} = \frac{x^2-2x}{x^2} $

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{1}{x^2} + \frac{x^2-2x}{x^2} = \frac{1 + x^2 - 2x}{x^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2} $

Числитель $ x^2 - 2x + 1 $ можно свернуть по формуле квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. В нашем случае это $ (x-1)^2 $.

Ответ: $ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2} $ или $ \frac{(x-1)^2}{x^2} $.

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{5}{a} - \frac{10a-1}{5a^3} $, найдем общий знаменатель. Знаменатели дробей — $ a $ и $ 5a^3 $. Наименьший общий знаменатель — $ 5a^3 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{5}{a} $ равен $ 5a^2 $, так как $ a \cdot 5a^2 = 5a^3 $.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{10a-1}{5a^3} $ равен 1.

Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$ \frac{5}{a} = \frac{5 \cdot 5a^2}{a \cdot 5a^2} = \frac{25a^2}{5a^3} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{25a^2}{5a^3} - \frac{10a-1}{5a^3} = \frac{25a^2 - (10a-1)}{5a^3} = \frac{25a^2 - 10a + 1}{5a^3} $

Числитель $ 25a^2 - 10a + 1 $ является полным квадратом: $ (5a-1)^2 $.

Ответ: $ \frac{25a^2 - 10a + 1}{5a^3} $ или $ \frac{(5a-1)^2}{5a^3} $.

в) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{m+1}{m} - \frac{3m-1}{m^2} $, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели — $ m $ и $ m^2 $. Общий знаменатель — $ m^2 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{m+1}{m} $ равен $ m $.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{3m-1}{m^2} $ равен 1.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $ m $:

$ \frac{(m+1) \cdot m}{m \cdot m} = \frac{m^2+m}{m^2} $

Выполним вычитание дробей:

$ \frac{m^2+m}{m^2} - \frac{3m-1}{m^2} = \frac{m^2+m-(3m-1)}{m^2} = \frac{m^2+m-3m+1}{m^2} = \frac{m^2-2m+1}{m^2} $

Числитель $ m^2-2m+1 $ является квадратом разности $ (m-1)^2 $.

Ответ: $ \frac{m^2-2m+1}{m^2} $ или $ \frac{(m-1)^2}{m^2} $.

г) Чтобы сложить дроби $ \frac{1+8y}{2y^3} + \frac{8}{y} $, найдем общий знаменатель. Знаменатели — $ 2y^3 $ и $ y $. Общий знаменатель — $ 2y^3 $.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1+8y}{2y^3} $ равен 1.

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{8}{y} $ равен $ 2y^2 $, так как $ y \cdot 2y^2 = 2y^3 $.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$ \frac{8}{y} = \frac{8 \cdot 2y^2}{y \cdot 2y^2} = \frac{16y^2}{2y^3} $

Теперь выполним сложение:

$ \frac{1+8y}{2y^3} + \frac{16y^2}{2y^3} = \frac{1+8y+16y^2}{2y^3} = \frac{16y^2+8y+1}{2y^3} $

Числитель $ 16y^2+8y+1 $ является полным квадратом суммы: $ (4y+1)^2 $.

Ответ: $ \frac{16y^2+8y+1}{2y^3} $ или $ \frac{(4y+1)^2}{2y^3} $.

4.17 а) $ \frac{y - x}{xy} + \frac{y - x}{y^2} $

б) $ \frac{d + 9}{3d} - \frac{d - 3}{d^2} $

в) $ \frac{a - 3b}{ab} + \frac{b + a}{a^2} $

г) $ \frac{c + 4}{4c} - \frac{c + 4}{c^2} $

а) $\frac{y-x}{xy} + \frac{y-x}{y^2}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей $xy$ и $y^2$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $xy^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{xy^2}{xy} = y$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy^2}{y^2} = x$.

Умножим числители на их дополнительные множители и сложим полученные дроби:

$\frac{(y-x) \cdot y}{xy^2} + \frac{(y-x) \cdot x}{xy^2} = \frac{y(y-x) + x(y-x)}{xy^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{y^2 - xy + xy - x^2}{xy^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{y^2 - x^2}{xy^2}$

Ответ: $\frac{y^2-x^2}{xy^2}$

б) $\frac{d+9}{3d} - \frac{d-3}{d^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $3d$ и $d^2$. НОЗ для них равен $3d^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3d^2}{3d} = d$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3d^2}{d^2} = 3$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(d+9) \cdot d}{3d^2} - \frac{(d-3) \cdot 3}{3d^2} = \frac{d(d+9) - 3(d-3)}{3d^2}$

Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус перед второй дробью:

$\frac{d^2 + 9d - (3d - 9)}{3d^2} = \frac{d^2 + 9d - 3d + 9}{3d^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{d^2 + 6d + 9}{3d^2}$

Числитель представляет собой полный квадрат суммы $(d+3)^2$:

$\frac{(d+3)^2}{3d^2}$

Ответ: $\frac{(d+3)^2}{3d^2}$

в) $\frac{a-3b}{ab} + \frac{b+a}{a^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $ab$ и $a^2$. НОЗ для них равен $a^2b$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a^2b}{ab} = a$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2b}{a^2} = b$.

Выполним сложение дробей:

$\frac{(a-3b) \cdot a}{a^2b} + \frac{(b+a) \cdot b}{a^2b} = \frac{a(a-3b) + b(a+b)}{a^2b}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 3ab + ab + b^2}{a^2b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2b}$

Числитель представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2$:

$\frac{(a-b)^2}{a^2b}$

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{a^2b}$

г) $\frac{c+4}{4c} - \frac{c+4}{c^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $4c$ и $c^2$. НОЗ для них равен $4c^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{4c^2}{4c} = c$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{4c^2}{c^2} = 4$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(c+4) \cdot c}{4c^2} - \frac{(c+4) \cdot 4}{4c^2} = \frac{c(c+4) - 4(c+4)}{4c^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{c^2 + 4c - (4c + 16)}{4c^2} = \frac{c^2 + 4c - 4c - 16}{4c^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{c^2 - 16}{4c^2}$

Числитель можно также представить в виде разности квадратов $(c-4)(c+4)$.

Ответ: $\frac{c^2 - 16}{4c^2}$

4.18 a) $\frac{m+2}{m^2n} - \frac{n-3}{mn^2}$

б) $\frac{z^2+3t}{3z^2t} + \frac{z-2}{2z^2}$

в) $\frac{y-1}{xy^2} - \frac{2+x}{x^2y}$

г) $\frac{m^3-3n^2}{3m^3n^2} - \frac{m-5}{5m^3}$

а) $\frac{m + 2}{m^2n} - \frac{n - 3}{mn^2}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей $m^2n$ и $mn^2$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них будет $m^2n^2$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби ($\frac{m + 2}{m^2n}$): дополнительный множитель $n$, так как $\frac{m^2n^2}{m^2n} = n$.

Для второй дроби ($\frac{n - 3}{mn^2}$): дополнительный множитель $m$, так как $\frac{m^2n^2}{mn^2} = m$.

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{n(m + 2)}{m^2n^2} - \frac{m(n - 3)}{m^2n^2} = \frac{n(m + 2) - m(n - 3)}{m^2n^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{mn + 2n - (mn - 3m)}{m^2n^2} = \frac{mn + 2n - mn + 3m}{m^2n^2} = \frac{3m + 2n}{m^2n^2}$

Ответ: $\frac{3m + 2n}{m^2n^2}$

б) $\frac{z^2 + 3t}{3z^2t} + \frac{z - 2}{2z^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $3z^2t$ и $2z^2$. НОЗ для них будет $6z^2t$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{6z^2t}{3z^2t} = 2$.

Для второй дроби: $\frac{6z^2t}{2z^2} = 3t$.

Выполним сложение дробей, умножив числители на их дополнительные множители:

$\frac{2(z^2 + 3t)}{6z^2t} + \frac{3t(z - 2)}{6z^2t} = \frac{2(z^2 + 3t) + 3t(z - 2)}{6z^2t}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2z^2 + 6t + 3zt - 6t}{6z^2t} = \frac{2z^2 + 3zt}{6z^2t}$

В числителе вынесем общий множитель $z$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{z(2z + 3t)}{6z^2t} = \frac{2z + 3t}{6zt}$

Ответ: $\frac{2z + 3t}{6zt}$

в) $\frac{y - 1}{xy^2} - \frac{2 + x}{x^2y}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $xy^2$ и $x^2y$. НОЗ для них будет $x^2y^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{x^2y^2}{xy^2} = x$.

Для второй дроби: $\frac{x^2y^2}{x^2y} = y$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{x(y - 1)}{x^2y^2} - \frac{y(2 + x)}{x^2y^2} = \frac{x(y - 1) - y(2 + x)}{x^2y^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{xy - x - (2y + xy)}{x^2y^2} = \frac{xy - x - 2y - xy}{x^2y^2} = \frac{-x - 2y}{x^2y^2}$

Вынесем знак минуса за дробь для более удобной записи:

$\frac{-(x + 2y)}{x^2y^2} = -\frac{x + 2y}{x^2y^2}$

Ответ: $-\frac{x + 2y}{x^2y^2}$

г) $\frac{m^3 - 3n^2}{3m^3n^2} - \frac{m - 5}{5m^3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей $3m^3n^2$ и $5m^3$. НОЗ для них будет $15m^3n^2$.

Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{15m^3n^2}{3m^3n^2} = 5$.

Для второй дроби: $\frac{15m^3n^2}{5m^3} = 3n^2$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{5(m^3 - 3n^2)}{15m^3n^2} - \frac{3n^2(m - 5)}{15m^3n^2} = \frac{5(m^3 - 3n^2) - 3n^2(m - 5)}{15m^3n^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5m^3 - 15n^2 - (3mn^2 - 15n^2)}{15m^3n^2} = \frac{5m^3 - 15n^2 - 3mn^2 + 15n^2}{15m^3n^2} = \frac{5m^3 - 3mn^2}{15m^3n^2}$

В числителе вынесем общий множитель $m$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{m(5m^2 - 3n^2)}{15m^3n^2} = \frac{5m^2 - 3n^2}{15m^2n^2}$

Ответ: $\frac{5m^2 - 3n^2}{15m^2n^2}$

4.19 Упростите выражение:

а) $\frac{xy - y}{x} - \frac{xy - x}{y} - \frac{x^2 - y^2}{xy}$;

б) $12 + \frac{4p}{q} + \frac{p^2}{3q^2}$;

в) $\frac{3mn + 2n^2}{mn} - \frac{m + 2n}{m} + \frac{m - 2n}{n}$;

г) $\frac{25b^2}{2a^2} - \frac{10b}{a} + 2$.

а) Чтобы упростить данное выражение, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{xy - y}{x}$, $\frac{xy - x}{y}$ и $\frac{x^2 - y^2}{xy}$ это $xy$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$, а второй дроби на $x$:
$\frac{xy - y}{x} - \frac{xy - x}{y} - \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{y(xy - y)}{xy} - \frac{x(xy - x)}{xy} - \frac{x^2 - y^2}{xy}$
Теперь запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{y(xy - y) - x(xy - x) - (x^2 - y^2)}{xy} = \frac{xy^2 - y^2 - x^2y + x^2 - x^2 + y^2}{xy}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$xy^2 - x^2y - y^2 + y^2 + x^2 - x^2 = xy^2 - x^2y$
Получаем дробь:
$\frac{xy^2 - x^2y}{xy}$
Вынесем общий множитель $xy$ в числителе за скобки и сократим дробь:
$\frac{xy(y - x)}{xy} = y - x$
Ответ: $y - x$.

б) Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для $12$, $\frac{4p}{q}$ и $\frac{p^2}{3q^2}$ это $3q^2$.
Представим $12$ как $\frac{12}{1}$. Домножим первое слагаемое на $3q^2$, второе на $3q$:
$\frac{12 \cdot 3q^2}{3q^2} + \frac{4p \cdot 3q}{3q^2} + \frac{p^2}{3q^2} = \frac{36q^2 + 12pq + p^2}{3q^2}$
Числитель $36q^2 + 12pq + p^2$ является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 6q$ и $b = p$.
Действительно, $(6q)^2 + 2(6q)(p) + p^2 = 36q^2 + 12pq + p^2$.
Таким образом, выражение можно свернуть:
$\frac{(6q + p)^2}{3q^2}$
Ответ: $\frac{(6q + p)^2}{3q^2}$.

в) Для упрощения выражения приведем все дроби к общему знаменателю $mn$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $n$, а третьей дроби на $m$:
$\frac{3mn + 2n^2}{mn} - \frac{n(m + 2n)}{mn} + \frac{m(m - 2n)}{mn}$
Запишем все под общей дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{3mn + 2n^2 - (mn + 2n^2) + (m^2 - 2mn)}{mn} = \frac{3mn + 2n^2 - mn - 2n^2 + m^2 - 2mn}{mn}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3mn - mn - 2mn) + (2n^2 - 2n^2) + m^2 = 0 + 0 + m^2 = m^2$
Получаем дробь:
$\frac{m^2}{mn}$
Сократим дробь на $m$:
$\frac{m}{n}$
Ответ: $\frac{m}{n}$.

г) Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\frac{25b^2}{2a^2}$, $\frac{10b}{a}$ и $2$ это $2a^2$.
Представим $2$ как $\frac{2}{1}$. Домножим второе слагаемое на $2a$, а третье на $2a^2$:
$\frac{25b^2}{2a^2} - \frac{10b \cdot 2a}{2a^2} + \frac{2 \cdot 2a^2}{2a^2} = \frac{25b^2 - 20ab + 4a^2}{2a^2}$
Числитель $25b^2 - 20ab + 4a^2$ является полным квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 5b$ и $y = 2a$.
Действительно, $(5b)^2 - 2(5b)(2a) + (2a)^2 = 25b^2 - 20ab + 4a^2$.
Таким образом, выражение можно свернуть:
$\frac{(5b - 2a)^2}{2a^2}$
Ответ: $\frac{(5b - 2a)^2}{2a^2}$.