Номер 7, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Известно, что $a \neq 0, b \neq 0, n, m$ — целые числа. Какие из приведённых ниже соотношений представляют собой верные равенства, а какие — нет:

а) $a^n \cdot a^m = a^{n + m};$

б) $a^n \cdot a^m = a^{nm};$

в) $a^n : a^m = a^{\frac{n}{m}};$

г) $a^n : a^m = a^{n - m};$

д) $a^n \cdot b^m = (ab)^{n + m};$

е) $a^n \cdot b^m = (ab)^{nm};$

ж) $a^n + a^m = a^{n + m};$

з) $a^n \cdot b^n = (ab)^n;$

и) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n};$

к) $\frac{a^n}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^{n - m} ?$

а) Равенство $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ является верным. Это основное свойство степеней, которое гласит, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Для любых целых $n$ и $m$ и $a \neq 0$ это равенство выполняется по определению степени. Например, если $a=2, n=2, m=3$, то $2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^5 = 32$, и $a^{n+m} = 2^{2+3} = 2^5 = 32$.
Ответ: верно.

б) Равенство $a^n \cdot a^m = a^{nm}$ является неверным. Умножение показателей происходит при возведении степени в степень: $(a^n)^m = a^{nm}$. При умножении степеней показатели складываются. Возьмем контрпример: пусть $a=2, n=2, m=3$. Тогда $a^n \cdot a^m = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$. Правая часть: $a^{nm} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64$. Так как $32 \neq 64$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

в) Равенство $a^n : a^m = a^{\frac{n}{m}}$ является неверным. Правильное свойство для деления степеней с одинаковым основанием — это вычитание показателей (см. пункт г). Для проверки неверности данного равенства достаточно привести контрпример: пусть $a=2, n=6, m=2$. Левая часть: $a^n : a^m = 2^6 : 2^2 = 64 : 4 = 16$. Правая часть: $a^{\frac{n}{m}} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8$. Так как $16 \neq 8$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

г) Равенство $a^n : a^m = a^{n-m}$ является верным. Это основное свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя. Это правило верно для любых целых $n$ и $m$ и $a \neq 0$. Например, если $a=3, n=4, m=2$, то $a^n : a^m = 3^4 : 3^2 = 81 : 9 = 9$, и $a^{n-m} = 3^{4-2} = 3^2 = 9$.
Ответ: верно.

д) Равенство $a^n \cdot b^m = (ab)^{n+m}$ является неверным. В левой части перемножаются степени с разными основаниями ($a$ и $b$) и, в общем случае, разными показателями ($n$ и $m$). Для такого выражения не существует общего правила упрощения. Контрпример: пусть $a=2, b=3, n=2, m=1$. Левая часть: $a^n \cdot b^m = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$. Правая часть: $(ab)^{n+m} = (2 \cdot 3)^{2+1} = 6^3 = 216$. Так как $12 \neq 216$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

е) Равенство $a^n \cdot b^m = (ab)^{nm}$ является неверным по тем же причинам, что и в пункте д). Здесь также нет общего свойства для степеней с разными основаниями и разными показателями. Контрпример: пусть $a=2, b=3, n=2, m=1$. Левая часть: $a^n \cdot b^m = 2^2 \cdot 3^1 = 12$. Правая часть: $(ab)^{nm} = (2 \cdot 3)^{2 \cdot 1} = 6^2 = 36$. Так как $12 \neq 36$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

ж) Равенство $a^n + a^m = a^{n+m}$ является неверным. Свойство $a^{n+m}$ относится к произведению степеней $a^n \cdot a^m$, а не к их сумме. Для суммы степеней не существует подобного правила упрощения. Контрпример: пусть $a=2, n=2, m=3$. Левая часть: $a^n + a^m = 2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$. Правая часть: $a^{n+m} = 2^{2+3} = 2^5 = 32$. Так как $12 \neq 32$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

з) Равенство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ является верным. Это свойство возведения произведения в степень. Оно гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований с тем же показателем. Например, если $a=2, b=3, n=2$, то $a^n \cdot b^n = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$, и $(ab)^n = (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$.
Ответ: верно.

и) Равенство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ является верным. Это свойство возведения частного (дроби) в степень. Оно гласит, что степень частного равна частному от деления степеней делимого и делителя с тем же показателем. Например, если $a=4, b=2, n=3$, то $(\frac{a}{b})^n = (\frac{4}{2})^3 = 2^3 = 8$, и $\frac{a^n}{b^n} = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8$.
Ответ: верно.

к) Равенство $\frac{a^n}{b^m} = (\frac{a}{b})^{n-m}$ является неверным. В левой части стоит частное степеней с разными основаниями ($a$ и $b$) и, в общем случае, разными показателями ($n$ и $m$). Для такого выражения нет общего правила упрощения. Контрпример: пусть $a=4, b=2, n=3, m=2$. Левая часть: $\frac{a^n}{b^m} = \frac{4^3}{2^2} = \frac{64}{4} = 16$. Правая часть: $(\frac{a}{b})^{n-m} = (\frac{4}{2})^{3-2} = 2^1 = 2$. Так как $16 \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: неверно.