Номер 3, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Вспомните из курса алгебры 7-го класса определение степени с нулевым показателем.

В курсе алгебры 7-го класса определение степени с нулевым показателем вводится как логическое продолжение свойств степеней с натуральными показателями. Основная идея заключается в том, чтобы сохранить работоспособность правила деления степеней с одинаковым основанием.

Рассмотрим свойство деления степеней: для любого числа $a \neq 0$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $m > n$, справедливо равенство: $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$

Теперь предположим, что мы хотим, чтобы эта формула оставалась верной и в случае, когда $m = n$. Давайте посмотрим, к чему это приведет. Возьмем любое число $a$, не равное нулю, и любое натуральное число $n$.

С одной стороны, результат деления любого ненулевого числа на само себя всегда равен 1. Следовательно: $$ \frac{a^n}{a^n} = 1 $$

С другой стороны, если мы формально применим правило вычитания показателей к этому же выражению, мы получим: $$ \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 $$

Чтобы эти два результата не противоречили друг другу, математики договорились принять следующее определение.

Определение: Степенью числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем является число 1. $$ a^0 = 1 \quad (\text{для любого } a \neq 0) $$ Например: $7^0 = 1$; $(-25)^0 = 1$; $(\frac{3}{4})^0 = 1$.

Исключение: Выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в рамках школьной алгебры считается неопределенным. Это связано с тем, что исходное правило деления степеней требует, чтобы основание $a$ не было равно нулю (так как на ноль делить нельзя), поэтому логика, приводящая к определению $a^0=1$, неприменима для $a=0$.

Ответ: Согласно определению из курса алгебры, степенью любого числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем является единица. Это записывается формулой: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$. Выражение $0^0$ считается неопределенным (не имеет смысла).