Номер 6, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Верно ли утверждение: «Свойства степени с натуральным показателем аналогичны свойствам степени с отрицательным целым показателем»?

Да, данное утверждение абсолютно верно.

Понятие степени с отрицательным целым показателем (а также с нулевым показателем) вводится в математике как расширение понятия степени с натуральным показателем. Основная цель этого расширения — сохранить все основные свойства, которые справедливы для степеней с натуральными показателями, и распространить их на все целые числа. Таким образом, правила действий со степенями становятся универсальными для любых целых показателей.

Определение степени с отрицательным целым показателем для любого числа $a \neq 0$ и натурального числа $n$ выглядит так: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Благодаря этому определению все основные свойства степеней, справедливые для натуральных показателей, остаются верными и для любых целых (включая отрицательные) показателей. Рассмотрим эти свойства для любых целых чисел $m$ и $n$ и для любых оснований $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.
Это свойство сохраняется. Например, если один показатель натуральный, а другой — отрицательный: $a^5 \cdot a^{-2} = a^5 \cdot \frac{1}{a^2} = a^{5-2} = a^3$. По формуле: $a^{5+(-2)} = a^3$.

Деление степеней с одинаковым основанием: $a^n : a^m = a^{n-m}$.
Для натуральных показателей это свойство обычно записывалось с ограничением ($n>m$), но для целых показателей оно выполняется всегда. Например: $a^2 : a^5 = a^{2-5} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

Возведение степени в степень: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$.
Свойство также сохраняется. Например: $(a^{-2})^3 = (\frac{1}{a^2})^3 = \frac{1}{a^6} = a^{-6}$. По формуле: $a^{-2 \cdot 3} = a^{-6}$.

Возведение в степень произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Например, для отрицательного показателя: $(ab)^{-3} = \frac{1}{(ab)^3} = \frac{1}{a^3b^3} = \frac{1}{a^3} \cdot \frac{1}{b^3} = a^{-3}b^{-3}$.

Возведение в степень частного (дроби): $(a/b)^n = a^n / b^n$.
Например, для отрицательного показателя: $(a/b)^{-2} = (\frac{b}{a})^2 = \frac{b^2}{a^2}$. По формуле: $\frac{a^{-2}}{b^{-2}} = \frac{1/a^2}{1/b^2} = \frac{b^2}{a^2}$.

Таким образом, свойства степени с натуральным показателем не просто аналогичны, а полностью совпадают и обобщаются на случай степени с любым целым показателем. Это делает работу со степенями последовательной и логичной.

Ответ: Да, утверждение верно.