Номер 4, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Сформулируйте определение степени с отрицательным целым показателем.

Степенью числа a, не равного нулю, с отрицательным целым показателем -n называется число, которое является обратным степени того же числа a с противоположным (положительным) показателем n.

Это определение выражается следующей формулой:
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Данное равенство верно для любого числа $a \neq 0$ и любого натурального числа $n$.

Обоснование определения:

Определение степени с отрицательным показателем вводится таким образом, чтобы сохранить свойства степеней, справедливые для натуральных показателей. В частности, свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Например, если мы применим это правило к выражению $a^3 : a^5$, получим:
$a^3 : a^5 = a^{3-5} = a^{-2}$.
С другой стороны, выполнив деление путем сокращения дроби, имеем:
$\frac{a^3}{a^5} = \frac{a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a^2}$.
Чтобы свойство степени сохранялось, необходимо, чтобы результаты были равны, то есть $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Это и служит логической основой для определения степени с отрицательным показателем.

Примеры использования:

1. $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$

2. $(-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}$

3. $(\frac{3}{5})^{-2} = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2} = \frac{1}{\frac{9}{25}} = \frac{25}{9}$. Отсюда следует полезное свойство для дробей: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Ответ: Если $a$ — любое число, не равное нулю, и $-n$ — отрицательное целое число (где $n$ — натуральное число), то степенью $a$ с показателем $-n$ называется число $\frac{1}{a^n}$.