Номер 3, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Что нужно обязательно сделать при решении рационального уравнения после нахождения корней?

При решении рационального уравнения после нахождения корней обязательно нужно выполнить проверку. Эта проверка заключается в том, чтобы убедиться, что найденные корни принадлежат области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Почему это необходимо?

Рациональное уравнение содержит переменные в знаменателях дробей. Основное правило для дробей гласит, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией. Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл (т.е. все знаменатели не равны нулю).

Часто при решении рациональных уравнений мы избавляемся от знаменателей, умножая обе части уравнения на общий знаменатель. Это превращает рациональное уравнение в целое (чаще всего полиномиальное) уравнение. Однако такое преобразование не всегда является равносильным. В результате могут появиться так называемые посторонние корни — числа, которые являются корнями полученного целого уравнения, но не являются корнями исходного рационального уравнения, так как при их подстановке один из знаменателей обращается в ноль.

Поэтому после нахождения всех потенциальных корней необходимо выполнить один из двух шагов (или оба):

1. Сравнить каждый найденный корень с предварительно найденной областью допустимых значений (ОДЗ). Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и его нужно исключить из ответа.
2. Выполнить прямую подстановку каждого найденного корня в исходное рациональное уравнение. Если при подстановке хотя бы один знаменатель обращается в ноль, то этот корень является посторонним.

Пример:

Рассмотрим уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$.

Шаг 1. Находим ОДЗ.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Шаг 2. Решаем уравнение.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Шаг 3. Проверяем корни.

Сравниваем найденные корни с ОДЗ ($x \neq -3$).

• Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ОДЗ.
• Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при $x = -3$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x = -3$ — это посторонний корень.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: 3

Ответ: После нахождения корней рационального уравнения необходимо обязательно проверить, принадлежат ли они области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения, то есть не обращают ли они в ноль какой-либо из знаменателей. Корни, которые не удовлетворяют этому условию (посторонние корни), нужно исключить из итогового ответа.