Номер 4, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Решите уравнение:

а) $\frac{x-5}{x+1} = 0;$

б) $\frac{3+2x}{x-1} = 2;$

в) $\frac{(3x-1)(x+2)}{2x^2+5x+2} = 0.$

а) $\frac{x-5}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 5 = 0, \\ x + 1 \neq 0; \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

Проверяем условие для знаменателя:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Найденный корень $x=5$ удовлетворяет условию $x \neq -1$. Следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $5$

б) $\frac{3+2x}{x-1} = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Теперь решим уравнение, умножив обе его части на знаменатель $(x-1)$, так как мы учли, что он не равен нулю:

$3 + 2x = 2(x - 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$3 + 2x = 2x - 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$2x - 2x = -2 - 3$

$0 \cdot x = -5$

Получено неверное равенство $0 = -5$. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: нет корней

в) $\frac{(3x-1)(x+2)}{2x^2+5x+2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Составим систему:

$\begin{cases} (3x - 1)(x + 2) = 0, \\ 2x^2 + 5x + 2 \neq 0; \end{cases}$

1. Решим уравнение из числителя:

$(3x - 1)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Мы получили два потенциальных корня: $\frac{1}{3}$ и $-2$.

2. Проверим условие для знаменателя. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Найдем корни квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$

$x_{знам.1} = \frac{-5-3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_{знам.2} = \frac{-5+3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \neq -2$ и $x \neq -\frac{1}{2}$.

3. Сопоставим потенциальные корни с ОДЗ.

Корень $x_1 = \frac{1}{3}$ не совпадает ни с одним из запрещенных значений, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ совпадает с одним из значений, при которых знаменатель равен нулю. Следовательно, $x = -2$ — это посторонний корень, и его нужно исключить.

В итоге у уравнения остается только один корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$