Номер 1, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение рационального уравнения.

1. Рациональным уравнением называется уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причем $Q(x)$ — ненулевой многочлен. Рациональные выражения строятся из переменных и чисел с помощью арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Любое рациональное уравнение можно путем тождественных преобразований привести к стандартному виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$.

В зависимости от вида знаменателя $Q(x)$ рациональные уравнения делятся на два типа:

Целые рациональные уравнения: это уравнения, в которых знаменатель $Q(x)$ не содержит переменной (является константой, отличной от нуля). Фактически, это уравнения, в которых обе части являются целыми выражениями (многочленами).
Пример: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Дробно-рациональные уравнения: это уравнения, в которых знаменатель $Q(x)$ содержит переменную. Такие уравнения также называют дробными. При их решении ключевым шагом является нахождение области допустимых значений (ОДЗ), то есть тех значений переменной, при которых знаменатель не обращается в ноль.
Пример: $\frac{3}{x-1} + 2 = \frac{x}{x-1}$.

Решение уравнения $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ эквивалентно решению системы:
$ \begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases} $
Это означает, что нужно найти корни числителя и проверить, не обращают ли они знаменатель в ноль.

Ответ: Рациональное уравнение — это уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Общий вид такого уравнения после преобразований — $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Если знаменатель $Q(x)$ не содержит переменной, уравнение является целым, в противном случае — дробно-рациональным.