Номер 4, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Что такое рациональное выражение?

Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ являются многочленами, причем многочлен $Q$ не равен нулю ($Q \neq 0$).

Проще говоря, это выражения, составленные из чисел, переменных с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в натуральную степень.

Рациональные выражения делятся на два типа:

1. Целые выражения. Это выражения, которые не содержат деления на переменную или на выражение с переменной. Любой многочлен является целым выражением.
   Примеры: $7x^2 - 2xy$; $a(a+5) - 1$; $\frac{b-c}{4}$. В последнем примере деление происходит на число, а не на переменную, поэтому выражение считается целым.

2. Дробные выражения. Это выражения, которые содержат деление на выражение с переменной.
   Примеры: $\frac{x}{x-8}$; $\frac{a^2+b^2}{a-b}$; $y + \frac{1}{y}$.

Для дробных рациональных выражений крайне важно понятие Области допустимых значений (ОДЗ). Поскольку на ноль делить нельзя, из ОДЗ исключаются все значения переменных, которые обращают знаменатель дроби в ноль.

Например, для выражения $\frac{12}{a-3}$ знаменатель $a-3$ не может быть равен нулю.
$a - 3 \neq 0$
$a \neq 3$
Таким образом, ОДЗ данного выражения — это все числа, кроме $3$.

Ответ: Рациональное выражение — это алгебраическая дробь вида $\frac{P}{Q}$, где числитель $P$ и знаменатель $Q$ являются многочленами, причем $Q \neq 0$. Они бывают целыми (не содержат деления на переменную) и дробными (содержат деление на переменную). Для дробных выражений нужно определять область допустимых значений — множество значений переменных, при которых знаменатель не обращается в ноль.