Номер 2, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Сформулируйте алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо выполнить следующие действия:

1. Разложить на множители знаменатель каждой дроби. Для этого используются все известные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, метод группировки и другие.

2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он является наименьшим общим кратным (НОК) всех исходных знаменателей. Для его составления нужно:

   • Взять разложение на множители одного из знаменателей (обычно первого).

   • Домножить его на те множители из разложений других знаменателей, которых нет в уже взятом произведении или которые входят в него с меньшей степенью. Если один и тот же множитель присутствует в нескольких знаменателях, его следует брать с наибольшим показателем степени.

3. Определить дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого нужно разделить наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби.

4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате этого тождественного преобразования каждая дробь будет приведена к новому виду с наименьшим общим знаменателем.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби $ \frac{5}{a^2-9} $ и $ \frac{4}{3a+9} $.

1. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $ a^2-9 = (a-3)(a+3) $.

Знаменатель второй дроби, вынося общий множитель за скобки: $ 3a+9 = 3(a+3) $.

2. Найдем наименьший общий знаменатель.

Выписываем множители первого знаменателя: $ (a-3)(a+3) $.

Сравниваем со множителями второго знаменателя $ 3(a+3) $. Множитель $ (a+3) $ уже есть, не хватает числового множителя 3.

Следовательно, НОЗ = $ 3(a-3)(a+3) $.

3. Определим дополнительные множители.

Для первой дроби $ \frac{5}{(a-3)(a+3)} $ дополнительный множитель: $ \frac{3(a-3)(a+3)}{(a-3)(a+3)} = 3 $.

Для второй дроби $ \frac{4}{3(a+3)} $ дополнительный множитель: $ \frac{3(a-3)(a+3)}{3(a+3)} = a-3 $.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Первая дробь: $ \frac{5 \cdot 3}{(a-3)(a+3) \cdot 3} = \frac{15}{3(a-3)(a+3)} $.

Вторая дробь: $ \frac{4 \cdot (a-3)}{3(a+3) \cdot (a-3)} = \frac{4a-12}{3(a-3)(a+3)} $.

Дроби приведены к общему знаменателю.

Ответ: Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю состоит из четырех шагов: 1) разложение знаменателей на множители; 2) нахождение наименьшего общего знаменателя как НОК знаменателей; 3) вычисление дополнительных множителей для каждой дроби; 4) умножение числителя и знаменателя каждой дроби на ее дополнительный множитель.