Номер 8, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Сформулируйте алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей.

Алгоритм нахождения общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей, который также является их наименьшим общим кратным (НОК), состоит из следующих шагов:

1. Разложить на множители каждый знаменатель.
Необходимо разложить знаменатель каждой дроби на простейшие множители. Числовые коэффициенты раскладываются на простые числа, а многочлены – на неприводимые многочлены (чаще всего, на линейные двучлены вида $(ax+b)$ или квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом). Для разложения многочленов используются формулы сокращенного умножения, метод группировки или нахождение корней.

Пример: Для дробей $\frac{a}{x^2 - 4}$ и $\frac{b}{3x + 6}$ раскладываем знаменатели:
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
$3x + 6 = 3(x+2)$

2. Составить список всех уникальных множителей.
Выписать все различные множители (числовые и многочлены), которые встречаются в разложениях знаменателей, без повторений.

Продолжение примера: Уникальные множители из разложений $(x-2)(x+2)$ и $3(x+2)$ — это $3$, $(x-2)$ и $(x+2)$.

3. Определить наибольшую степень для каждого множителя.
Для каждого уникального множителя, найденного на предыдущем шаге, определить наибольшую степень (показатель), в которой он входит в разложение какого-либо из знаменателей.

Продолжение примера:
Множитель $3$ встречается в максимальной степени $1$ (в разложении $3(x+2)$).
Множитель $(x-2)$ встречается в максимальной степени $1$ (в разложении $(x-2)(x+2)$).
Множитель $(x+2)$ встречается в максимальной степени $1$ (в обоих разложениях).

4. Записать общий знаменатель.
Перемножить все уникальные множители, взяв каждый из них в наибольшей степени, определенной на шаге 3. Полученное произведение и будет наименьшим общим знаменателем.

Продолжение примера: Общий знаменатель равен произведению множителей в их наибольших степенях: $3^1 \cdot (x-2)^1 \cdot (x+2)^1 = 3(x-2)(x+2)$.

Ответ: Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей: 1. Разложить все знаменатели на простейшие множители. 2. Выписать все уникальные множители из всех разложений. 3. Для каждого уникального множителя найти наибольшую степень, в которой он встречается в каком-либо из разложений. 4. Общий знаменатель равен произведению всех уникальных множителей, возведенных в найденные для них наибольшие степени.