Номер 2, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Сформулируйте основное свойство алгебраической дроби.

Основное свойство алгебраической дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Это свойство можно выразить в виде формулы. Пусть дана алгебраическая дробь $ \frac{A}{B} $, где $A$ и $B$ — многочлены, и знаменатель $B$ не равен нулю для рассматриваемых значений переменных.

Тогда для любого многочлена $C$, который не равен нулю для тех же значений переменных, справедливо тождество:
$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $

Это свойство лежит в основе двух ключевых преобразований алгебраических дробей:

1. Сокращение дроби. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно (и нужно) сократить, то есть разделить на этот общий множитель.
Пример: Сократить дробь $ \frac{5x+10y}{x^2-4y^2} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$ 5x+10y = 5(x+2y) $
$ x^2-4y^2 = (x-2y)(x+2y) $
Дробь примет вид: $ \frac{5(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)} $.
Общий множитель — это $ (x+2y) $. Сокращаем на него (при условии, что $ x+2y \neq 0 $):
$ \frac{5(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{5}{x-2y} $

2. Приведение дроби к новому знаменателю. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить ее числитель и знаменатель на так называемый дополнительный множитель. Это действие необходимо, например, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
Пример: Привести дробь $ \frac{a}{a-b} $ к знаменателю $ a^2-b^2 $.
Знаменатель $ a^2-b^2 $ можно разложить как $ (a-b)(a+b) $.
Чтобы получить новый знаменатель, исходный знаменатель $ (a-b) $ нужно умножить на $ (a+b) $. Этот множитель и является дополнительным. Умножаем на него и числитель, и знаменатель:
$ \frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot (a+b)}{(a-b) \cdot (a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2} $

Ответ: Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. Формульно это записывается как $ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $ при условии, что многочлены $B$ и $C$ не равны нулю.