Номер 4, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Какие значения переменных называют допустимыми для алгебраической дроби?

Алгебраическая дробь представляет собой выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — это многочлены. Ключевым свойством любой дроби, в том числе и алгебраической, является то, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль в математике не определена.

Исходя из этого, допустимыми значениями переменных для алгебраической дроби называют все те значения входящих в нее переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Совокупность всех допустимых значений переменных также называют Областью Допустимых Значений (ОДЗ) выражения.

Чтобы найти область допустимых значений для алгебраической дроби, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выписать знаменатель дроби.
2. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.
3. Найденные корни уравнения — это и есть недопустимые значения переменных.
4. Допустимыми значениями будут все остальные значения переменных, кроме найденных.

Пример 1: Найти допустимые значения для дроби $\frac{7x}{x-5}$.

Знаменатель дроби равен $x-5$. Найдем значение $x$, при котором он равен нулю: $x-5=0$ $x=5$

Таким образом, $x=5$ является недопустимым значением. Допустимыми значениями являются все действительные числа, кроме 5. Это записывается как $x \neq 5$.

Пример 2: Найти допустимые значения для дроби $\frac{y+2}{y^2-9}$.

Знаменатель дроби равен $y^2-9$. Приравняем его к нулю: $y^2-9=0$ $(y-3)(y+3)=0$

Это уравнение имеет два корня: $y_1=3$ и $y_2=-3$.

Следовательно, недопустимыми значениями являются $y=3$ и $y=-3$. Допустимые значения — это все действительные числа, кроме 3 и -3.

Ответ: Допустимыми значениями переменных для алгебраической дроби называют все значения этих переменных, при подстановке которых в выражение знаменатель дроби не становится равным нулю.