Номер 1, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Вспомните основное свойство обыкновенных дробей, которое вы изучали в курсе математики 5–6-го классов.

Основное свойство обыкновенной дроби, которое изучают в курсе математики 5-6-го классов, заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (или любое другое число, не равное нулю), то получится равная ей дробь.

В общем виде это свойство можно записать с помощью формул. Для дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ a $ — числитель, $ b $ — знаменатель, и $ b \neq 0 $) и любого числа $ c \neq 0 $ справедливы равенства:
Умножение: $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $
Деление: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $ (при условии, что $ a $ и $ b $ делятся на $ c $ без остатка).

Это свойство лежит в основе двух ключевых практических действий с дробями:

1. Приведение дроби к новому знаменателю. Эта операция необходима для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения. Числитель и знаменатель умножаются на так называемый дополнительный множитель.
Например, чтобы привести дробь $ \frac{4}{7} $ к знаменателю 21, нужно сначала найти дополнительный множитель: $ 21 \div 7 = 3 $. Затем умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби: $ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21} $. Дроби $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{12}{21} $ являются равными по величине.

2. Сокращение дроби. Эта операция используется для упрощения дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1. Наиболее полное упрощение достигается при делении на наибольший общий делитель (НОД).
Например, сократим дробь $ \frac{20}{35} $. Наибольшим общим делителем для 20 и 35 является число 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{20}{35} = \frac{20 \div 5}{35 \div 5} = \frac{4}{7} $. Дробь $ \frac{4}{7} $ называется несократимой, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Таким образом, основное свойство дроби — это фундаментальный принцип, позволяющий изменять внешний вид дроби (ее числитель и знаменатель), не изменяя при этом ее величину.

Ответ: Основное свойство обыкновенной дроби заключается в том, что если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.