Номер 3, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Укажите выражение, которое по форме является алгебраической дробью, а по содержанию – нет.

Для ответа на этот вопрос необходимо понять разницу между формой и содержанием алгебраической дроби.

По форме алгебраической дробью является любое выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — это многочлены, и знаменатель $Q$ содержит переменную. То есть, внешне это выглядит как дробь с переменной в знаменателе.

По содержанию выражение является алгебраической дробью (или, точнее, дробно-рациональным выражением), если его нельзя упростить до целого выражения (многочлена). Иными словами, если после всех тождественных преобразований переменная в знаменателе все равно остается.

Таким образом, искомое выражение должно выглядеть как дробь с переменной в знаменателе, но при этом его числитель должен делиться на знаменатель без остатка. В результате такого деления (сокращения) дробь превратится в многочлен.

Рассмотрим в качестве примера следующее выражение: $$ \frac{a^2 - 9}{a + 3} $$

Анализ формы. Данное выражение записано в виде дроби. В числителе стоит многочлен $a^2 - 9$, в знаменателе — многочлен $a + 3$. Так как знаменатель содержит переменную $a$, по форме это выражение является алгебраической дробью.

Анализ содержания. Теперь проанализируем его содержание, выполнив упрощение. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя: $$ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) $$ Подставим это в нашу дробь: $$ \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} $$ Данное выражение определено для всех $a$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль, то есть при $a + 3 \neq 0 \implies a \neq -3$. На этой области определения мы можем сократить дробь на общий множитель $(a + 3)$: $$ \frac{(a - 3)\cancel{(a + 3)}}{\cancel{a + 3}} = a - 3 $$ Результатом упрощения является многочлен $a - 3$. В нем нет операции деления на переменную. Таким образом, по своему содержанию исходное выражение является не дробным, а целым, так как оно тождественно равно многочлену $a - 3$ (при $a \neq -3$).

Вывод: выражение $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$ по форме является алгебраической дробью, но по содержанию — нет, так как оно представляет собой "замаскированный" многочлен.

Ответ: $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$