Номер 6, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Тождество — это равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы доказать тождество, то есть установить, что равенство действительно является тождественным, используют несколько основных методов.

1. Преобразование одной части равенства в другую

Это самый распространенный способ. Суть его в том, что одну из частей тождества (как правило, более сложную) с помощью тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул и т.д.) приводят к виду другой части. То есть, для доказательства тождества $A = B$ показывают цепочку равенств $A = A_1 = A_2 = \dots = B$.

Пример: Доказать тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Решение: Преобразуем левую часть равенства, перемножив скобки:

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$.

В результате преобразований левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Способ заключается в последовательном преобразовании выражения в одной части равенства до тех пор, пока оно не станет идентичным выражению в другой части.

2. Преобразование обеих частей равенства к одному и тому же выражению

Этот метод применяется, когда преобразовать одну часть в другую напрямую сложно или громоздко. В этом случае преобразуют (упрощают) и левую, и правую части тождества по отдельности, стремясь привести их к одинаковому, более простому виду. Если $A = C$ и $B = C$, то из этого следует, что $A = B$.

Пример: Доказать тождество $\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \sec^2 \alpha \cdot \csc^2 \alpha$.

Решение: Преобразуем обе части, выразив секанс и косеканс через синус и косинус.

Левая часть (ЛЧ):

$\sec^2 \alpha + \csc^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$.

Правая часть (ПЧ):

$\sec^2 \alpha \cdot \csc^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}$.

Поскольку ЛЧ и ПЧ равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Способ заключается в независимом преобразовании обеих частей равенства до тех пор, пока они не примут одинаковый вид.

3. Доказательство того, что разность левой и правой частей равна нулю

Чтобы доказать тождество $A = B$, можно составить их разность $A - B$ и доказать, что она равна нулю для всех допустимых значений переменных. Если $A - B = 0$, то очевидно, что $A = B$.

Пример: Доказать тождество $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Решение: Составим разность правой и левой частей и упростим ее:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a^3 + b^3) = (a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3) - (a^3 + b^3)$

$= (a^3 + b^3) - (a^3 + b^3) = 0$.

Так как разность равна нулю, исходное равенство является тождеством.

Ответ: Способ заключается в составлении разности между левой и правой частями равенства и ее тождественном преобразовании к нулю.

4. Метод математической индукции

Этот метод используется для доказательства тождеств, зависящих от натурального числа $n$. Доказательство строится в три этапа:

1. База индукции: Проверяется верность тождества для начального значения $n$ (обычно $n = 1$).
2. Индукционное предположение: Предполагается, что тождество верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$.
3. Индукционный шаг: На основе предположения доказывается, что тождество верно и для следующего числа, $n = k + 1$.

Пример: Доказать, что для любого натурального $n$ верно равенство $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Решение:

1. База индукции: при $n = 1$ левая часть равна $1$, правая часть равна $\frac{1(1+1)}{2} = 1$. Равенство верно.

2. Индукционное предположение: пусть равенство верно для $n = k$, то есть $1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

3. Индукционный шаг: докажем верность для $n = k+1$.

$1 + 2 + \dots + k + (k+1) = (1 + 2 + \dots + k) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Мы получили правую часть исходной формулы для $n=k+1$. Тождество доказано методом математической индукции.

Ответ: Способ применяется для тождеств с натуральным параметром $n$ и состоит в проверке "базы индукции" и доказательстве "индукционного шага".

5. Другие (специфические) методы

В некоторых случаях применяются и другие подходы:

• Геометрический метод: Некоторые тождества, особенно тригонометрические, можно доказать с помощью геометрических построений. Классический пример — доказательство основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ с помощью прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора.
• Методы математического анализа: Для доказательства некоторых тождеств можно использовать производные или интегралы. Например, если доказать, что производные левой и правой частей равны, то сами части отличаются на константу. Если затем показать, что части равны хотя бы в одной точке, тождество будет доказано.
• Доказательство от противного: Иногда можно предположить, что тождество неверно, и прийти к логическому противоречию, что докажет истинность исходного утверждения.

Ответ: К более редким способам относятся доказательство с использованием геометрических построений, методов математического анализа (производные, интегралы) и доказательство от противного.