Номер 2, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Закончите предложение: «Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель...».

2. Закончите предложение: «Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель...».

Для того чтобы правильно закончить это предложение, необходимо рассмотреть условия, при которых дробь принимает нулевое значение.

Рассмотрим дробь в общем виде $\frac{A}{B}$, где $A$ – это числитель, а $B$ – знаменатель. Равенство $\frac{A}{B} = 0$ является верным тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два ключевых условия.

Во-первых, числитель дроби должен быть равен нулю (то есть, $A=0$). Это следует из самого определения деления: если мы делим ноль на любое число, отличное от нуля, результат всегда будет ноль.

Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю (то есть, $B \neq 0$). Это фундаментальное правило в математике, поскольку деление на ноль является неопределенной операцией. Если знаменатель равен нулю, дробь не имеет смысла (не определена), независимо от значения числителя.

Таким образом, чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы ее числитель обратился в ноль, а знаменатель при этом остался отличным от нуля.

Например, при решении уравнения $\frac{x-2}{x+1} = 0$ мы должны составить и решить систему:
$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 \\ x \neq -1 \end{cases} $
Решение $x=2$ удовлетворяет обоим условиям, поэтому оно является корнем уравнения.

Следовательно, полное и корректное завершение предложения выглядит так:

Ответ: ...равен нулю, а знаменатель не равен нулю.