Номер 5, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Сформулируйте свойства степени с отрицательным целым показателем. Запишите их на математическом языке.

Степень с отрицательным целым показателем определяется следующим образом: для любого числа $a$, не равного нулю, и любого натурального числа $n$, степень $a$ с показателем $-n$ равна дроби, числитель которой равен 1, а знаменатель — степени $a$ с показателем $n$.

На математическом языке это записывается так: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \neq 0$ и $n$ — натуральное число.

Свойства степени с отрицательным целым показателем такие же, как и для степени с натуральным показателем. Для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливы следующие равенства:

1. Произведение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют тем же, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

$a^m : a^n = a^{m-n}$

Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень, основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

4. Степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить.

$(ab)^n = a^n b^n$

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

5. Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное (дробь), нужно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель), а затем первый результат разделить на второй.

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$