Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2.43 а) $ \frac{4ab}{a^2 - b^2} $, $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 - ab} $ и $ \frac{a^2 + ab + b^2}{ab + b^2} $;

б) $ \frac{c - d}{25c^2 - d^2} $, $ \frac{d + 5c}{2cd - 10c^2} $ и $ \frac{5c - d}{15cd + 3d^2} $;

в) $ \frac{6x}{x^2 - 9} $, $ \frac{x^2 - 3x + 9}{12 - 4x} $ и $ \frac{x^2 + 3x + 9}{3x + x^2} $;

г) $ \frac{p + q}{q^2 - 16p^2} $, $ \frac{q + 4p}{4p^2 - pq} $ и $ \frac{q - 4p}{2q^2 + 8pq} $.

а) Приведем дроби $ \frac{4ab}{a^2 - b^2} $, $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a^2 - ab} $ и $ \frac{a^2 + ab + b^2}{ab + b^2} $ к общему знаменателю.

Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби, используя формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $ и вынесение общего множителя за скобки:

$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $

$ a^2 - ab = a(a - b) $

$ ab + b^2 = b(a + b) $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в наивысшей встречающейся степени. В данном случае НОЗ равен $ a \cdot b \cdot (a - b) \cdot (a + b) = ab(a^2 - b^2) $.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель дроби, и умножим на них числитель и знаменатель:

1. Для дроби $ \frac{4ab}{(a - b)(a + b)} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab(a - b)(a + b)}{(a - b)(a + b)} = ab $.
$ \frac{4ab \cdot ab}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{4a^2b^2}{ab(a^2 - b^2)} $.

2. Для дроби $ \frac{a^2 - ab + b^2}{a(a - b)} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab(a - b)(a + b)}{a(a - b)} = b(a + b) $.
$ \frac{(a^2 - ab + b^2) \cdot b(a + b)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{b(a^3 + b^3)}{ab(a^2 - b^2)} $, используя формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $.

3. Для дроби $ \frac{a^2 + ab + b^2}{b(a + b)} $ дополнительный множитель: $ \frac{ab(a - b)(a + b)}{b(a + b)} = a(a - b) $.
$ \frac{(a^2 + ab + b^2) \cdot a(a - b)}{ab(a - b)(a + b)} = \frac{a(a^3 - b^3)}{ab(a^2 - b^2)} $, используя формулу разности кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Ответ: $ \frac{4a^2b^2}{ab(a^2 - b^2)} $, $ \frac{b(a^3 + b^3)}{ab(a^2 - b^2)} $, $ \frac{a(a^3 - b^3)}{ab(a^2 - b^2)} $.

б) Приведем дроби $ \frac{c - d}{25c^2 - d^2} $, $ \frac{d + 5c}{2cd - 10c^2} $ и $ \frac{5c - d}{15cd + 3d^2} $ к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители:

$ 25c^2 - d^2 = (5c - d)(5c + d) $

$ 2cd - 10c^2 = 2c(d - 5c) = -2c(5c - d) $

$ 15cd + 3d^2 = 3d(5c + d) $

Наименьший общий знаменатель: НОЗ$(1, -2, 3) \cdot c \cdot d \cdot (5c - d) \cdot (5c + d) = 6cd(5c - d)(5c + d) = 6cd(25c^2 - d^2) $.

Приведем дроби к НОЗ:

1. Для $ \frac{c - d}{(5c - d)(5c + d)} $ дополнительный множитель $ 6cd $.
$ \frac{(c - d) \cdot 6cd}{6cd(25c^2 - d^2)} = \frac{6c^2d - 6cd^2}{6cd(25c^2 - d^2)} $.

2. Для $ \frac{d + 5c}{-2c(5c - d)} $ дополнительный множитель $ -3d(5c + d) $.
$ \frac{(d + 5c) \cdot (-3d(5c + d))}{6cd(25c^2 - d^2)} = \frac{-3d(5c + d)^2}{6cd(25c^2 - d^2)} $.

3. Для $ \frac{5c - d}{3d(5c + d)} $ дополнительный множитель $ 2c(5c - d) $.
$ \frac{(5c - d) \cdot 2c(5c - d)}{6cd(25c^2 - d^2)} = \frac{2c(5c - d)^2}{6cd(25c^2 - d^2)} $.

Ответ: $ \frac{6c^2d - 6cd^2}{6cd(25c^2 - d^2)} $, $ \frac{-3d(5c + d)^2}{6cd(25c^2 - d^2)} $, $ \frac{2c(5c - d)^2}{6cd(25c^2 - d^2)} $.

в) Приведем дроби $ \frac{6x}{x^2 - 9} $, $ \frac{x^2 - 3x + 9}{12 - 4x} $ и $ \frac{x^2 + 3x + 9}{3x + x^2} $ к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители:

$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $

$ 12 - 4x = 4(3 - x) = -4(x - 3) $

$ 3x + x^2 = x(3 + x) = x(x + 3) $

Наименьший общий знаменатель: $ 4x(x - 3)(x + 3) = 4x(x^2 - 9) $.

Приведем дроби к НОЗ:

1. Для $ \frac{6x}{(x - 3)(x + 3)} $ дополнительный множитель $ 4x $.
$ \frac{6x \cdot 4x}{4x(x^2 - 9)} = \frac{24x^2}{4x(x^2 - 9)} $.

2. Для $ \frac{x^2 - 3x + 9}{-4(x - 3)} $ дополнительный множитель $ -x(x + 3) $.
$ \frac{(x^2 - 3x + 9) \cdot (-x(x + 3))}{4x(x^2 - 9)} = \frac{-x(x+3)(x^2-3x+9)}{4x(x^2-9)} = \frac{-x(x^3 + 27)}{4x(x^2 - 9)} $.

3. Для $ \frac{x^2 + 3x + 9}{x(x + 3)} $ дополнительный множитель $ 4(x - 3) $.
$ \frac{(x^2 + 3x + 9) \cdot 4(x - 3)}{4x(x^2 - 9)} = \frac{4(x-3)(x^2+3x+9)}{4x(x^2 - 9)} = \frac{4(x^3 - 27)}{4x(x^2 - 9)} $.

Ответ: $ \frac{24x^2}{4x(x^2 - 9)} $, $ \frac{-x(x^3 + 27)}{4x(x^2 - 9)} $, $ \frac{4(x^3 - 27)}{4x(x^2 - 9)} $.

г) Приведем дроби $ \frac{p + q}{q^2 - 16p^2} $, $ \frac{q + 4p}{4p^2 - pq} $ и $ \frac{q - 4p}{2q^2 + 8pq} $ к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители:

$ q^2 - 16p^2 = (q - 4p)(q + 4p) $

$ 4p^2 - pq = p(4p - q) = -p(q - 4p) $

$ 2q^2 + 8pq = 2q(q + 4p) $

Наименьший общий знаменатель: $ 2pq(q - 4p)(q + 4p) = 2pq(q^2 - 16p^2) $.

Приведем дроби к НОЗ:

1. Для $ \frac{p + q}{(q - 4p)(q + 4p)} $ дополнительный множитель $ 2pq $.
$ \frac{(p + q) \cdot 2pq}{2pq(q^2 - 16p^2)} = \frac{2p^2q + 2pq^2}{2pq(q^2 - 16p^2)} $.

2. Для $ \frac{q + 4p}{-p(q - 4p)} $ дополнительный множитель $ -2q(q + 4p) $.
$ \frac{(q + 4p) \cdot (-2q(q + 4p))}{2pq(q^2 - 16p^2)} = \frac{-2q(q + 4p)^2}{2pq(q^2 - 16p^2)} $.

3. Для $ \frac{q - 4p}{2q(q + 4p)} $ дополнительный множитель $ p(q - 4p) $.
$ \frac{(q - 4p) \cdot p(q - 4p)}{2pq(q^2 - 16p^2)} = \frac{p(q - 4p)^2}{2pq(q^2 - 16p^2)} $.

Ответ: $ \frac{2p^2q + 2pq^2}{2pq(q^2 - 16p^2)} $, $ \frac{-2q(q + 4p)^2}{2pq(q^2 - 16p^2)} $, $ \frac{p(q - 4p)^2}{2pq(q^2 - 16p^2)} $.

2.44 a) $\frac{1}{(z-3)^2}$, $\frac{z^2+9}{z^2-9}$ и $\frac{1}{(z+3)^2}$;

б) $\frac{x^2+25}{25-x^2}$, $\frac{x+5}{(x-5)^2}$ и $\frac{x-5}{(x+5)^2}$;

в) $\frac{2}{(t+2)^2}$, $\frac{t}{(t-2)^2}$ и $\frac{t^2+4}{t^2-4}$;

г) $\frac{y+1}{(1-y)^2}$, $\frac{1-y}{(1+y)^2}$ и $\frac{y^2+1}{y^2-1}$.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{1}{(z-3)^2}$, $\frac{z^2+9}{z^2-9}$ и $\frac{1}{(z+3)^2}$ к общему знаменателю, выполним следующие действия.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби $(z-3)^2$ уже разложен.
Знаменатель второй дроби $z^2-9$ является разностью квадратов: $z^2-9 = (z-3)(z+3)$.
Знаменатель третьей дроби $(z+3)^2$ уже разложен.

2. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он должен содержать каждый множитель в наивысшей степени.
Множитель $(z-3)$ встречается в степени 2.
Множитель $(z+3)$ встречается в степени 2.
Следовательно, НОЗ = $(z-3)^2(z+3)^2$.

3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби и преобразуем их.
Для дроби $\frac{1}{(z-3)^2}$ дополнительный множитель: $(z+3)^2$.
$\frac{1}{(z-3)^2} = \frac{1 \cdot (z+3)^2}{(z-3)^2(z+3)^2} = \frac{z^2+6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

Для дроби $\frac{z^2+9}{z^2-9} = \frac{z^2+9}{(z-3)(z+3)}$ дополнительный множитель: $(z-3)(z+3) = z^2-9$.
$\frac{z^2+9}{(z-3)(z+3)} = \frac{(z^2+9)(z^2-9)}{(z-3)(z+3)(z-3)(z+3)} = \frac{z^4-81}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

Для дроби $\frac{1}{(z+3)^2}$ дополнительный множитель: $(z-3)^2$.
$\frac{1}{(z+3)^2} = \frac{1 \cdot (z-3)^2}{(z+3)^2(z-3)^2} = \frac{z^2-6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

Ответ: $\frac{z^2+6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$, $\frac{z^4-81}{(z-3)^2(z+3)^2}$, $\frac{z^2-6z+9}{(z-3)^2(z+3)^2}$.

б)

Приведем дроби $\frac{x^2+25}{25-x^2}$, $\frac{x+5}{(x-5)^2}$ и $\frac{x-5}{(x+5)^2}$ к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $25-x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.
Знаменатель второй дроби $(x-5)^2$ уже разложен.
Знаменатель третьей дроби $(x+5)^2$ уже разложен.

2. Найдем НОЗ. Он должен содержать множители $(x-5)$ и $(x+5)$ в наивысших степенях.
НОЗ = $(x-5)^2(x+5)^2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{x^2+25}{25-x^2} = \frac{x^2+25}{-(x-5)(x+5)}$ дополнительный множитель: $\frac{(x-5)^2(x+5)^2}{-(x-5)(x+5)} = -(x-5)(x+5) = -(x^2-25) = 25-x^2$.
$\frac{x^2+25}{25-x^2} = \frac{(x^2+25)(-(x-5)(x+5))}{(25-x^2)(-(x-5)(x+5))} = \frac{-(x^2+25)(x^2-25)}{(x-5)^2(x+5)^2} = \frac{-(x^4-625)}{(x-5)^2(x+5)^2} = \frac{625-x^4}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

Для дроби $\frac{x+5}{(x-5)^2}$ дополнительный множитель: $(x+5)^2$.
$\frac{x+5}{(x-5)^2} = \frac{(x+5)(x+5)^2}{(x-5)^2(x+5)^2} = \frac{(x+5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

Для дроби $\frac{x-5}{(x+5)^2}$ дополнительный множитель: $(x-5)^2$.
$\frac{x-5}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)(x-5)^2}{(x+5)^2(x-5)^2} = \frac{(x-5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

Ответ: $\frac{625-x^4}{(x-5)^2(x+5)^2}$, $\frac{(x+5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$, $\frac{(x-5)^3}{(x-5)^2(x+5)^2}$.

в)

Приведем дроби $\frac{2}{(t+2)^2}$, $\frac{t}{(t-2)^2}$ и $\frac{t^2+4}{t^2-4}$ к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби $(t+2)^2$ уже разложен.
Знаменатель второй дроби $(t-2)^2$ уже разложен.
Знаменатель третьей дроби $t^2-4$ разлагается как разность квадратов: $t^2-4=(t-2)(t+2)$.

2. Найдем НОЗ. Он должен содержать множители $(t-2)$ и $(t+2)$ в наивысших степенях.
НОЗ = $(t-2)^2(t+2)^2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{2}{(t+2)^2}$ дополнительный множитель: $(t-2)^2$.
$\frac{2}{(t+2)^2} = \frac{2(t-2)^2}{(t+2)^2(t-2)^2} = \frac{2(t^2-4t+4)}{(t-2)^2(t+2)^2} = \frac{2t^2-8t+8}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

Для дроби $\frac{t}{(t-2)^2}$ дополнительный множитель: $(t+2)^2$.
$\frac{t}{(t-2)^2} = \frac{t(t+2)^2}{(t-2)^2(t+2)^2} = \frac{t(t^2+4t+4)}{(t-2)^2(t+2)^2} = \frac{t^3+4t^2+4t}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

Для дроби $\frac{t^2+4}{t^2-4} = \frac{t^2+4}{(t-2)(t+2)}$ дополнительный множитель: $(t-2)(t+2) = t^2-4$.
$\frac{t^2+4}{(t-2)(t+2)} = \frac{(t^2+4)(t^2-4)}{(t-2)(t+2)(t-2)(t+2)} = \frac{t^4-16}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

Ответ: $\frac{2t^2-8t+8}{(t-2)^2(t+2)^2}$, $\frac{t^3+4t^2+4t}{(t-2)^2(t+2)^2}$, $\frac{t^4-16}{(t-2)^2(t+2)^2}$.

г)

Приведем дроби $\frac{y+1}{(1-y)^2}$, $\frac{1-y}{(1+y)^2}$ и $\frac{y^2+1}{y^2-1}$ к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители. Заметим, что $(1-y)^2 = (-(y-1))^2 = (y-1)^2$. Для удобства будем использовать множители $(1-y)$ и $(1+y)$.
Знаменатель первой дроби: $(1-y)^2$.
Знаменатель второй дроби: $(1+y)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $y^2-1 = (y-1)(y+1) = -(1-y)(1+y)$.

2. Найдем НОЗ. Он должен содержать множители $(1-y)$ и $(1+y)$ в наивысших степенях.
НОЗ = $(1-y)^2(1+y)^2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $\frac{y+1}{(1-y)^2}$ дополнительный множитель: $(1+y)^2$.
$\frac{y+1}{(1-y)^2} = \frac{(y+1)(1+y)^2}{(1-y)^2(1+y)^2} = \frac{(1+y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

Для дроби $\frac{1-y}{(1+y)^2}$ дополнительный множитель: $(1-y)^2$.
$\frac{1-y}{(1+y)^2} = \frac{(1-y)(1-y)^2}{(1+y)^2(1-y)^2} = \frac{(1-y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

Для дроби $\frac{y^2+1}{y^2-1} = \frac{y^2+1}{-(1-y)(1+y)}$ дополнительный множитель: $\frac{(1-y)^2(1+y)^2}{-(1-y)(1+y)} = -(1-y)(1+y) = y^2-1$.
$\frac{y^2+1}{y^2-1} = \frac{(y^2+1)(y^2-1)}{(y^2-1)(y^2-1)} = \frac{y^4-1}{(y^2-1)^2} = \frac{y^4-1}{((y-1)(y+1))^2} = \frac{y^4-1}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

Ответ: $\frac{(1+y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$, $\frac{(1-y)^3}{(1-y)^2(1+y)^2}$, $\frac{y^4-1}{(1-y)^2(1+y)^2}$.

2.45 a) $\frac{2mn}{3n^2 - 3m^2}$, $\frac{m^2}{m^2 - 2mn + n^2}$ И $\frac{n^2}{m^2 + 2mn + n^2}$;

б) $\frac{2mn}{3n^2 - 3m^2}$, $\frac{(m+n)^2}{-m^2 + 2mn - n^2}$ И $\frac{(m-n)^2}{2mn + m^2 + n^2}$;

в) $\frac{5xy}{2y^2 - 2x^2}$, $\frac{x^2}{x^2 + 2xy + y^2}$ И $\frac{3y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$;

г) $\frac{6x}{5x^2 - 45}$, $\frac{(x-3)^2}{-x^2 - 6x - 9}$ И $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 9 - 6x}$.

а) Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат разности/суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Знаменатель первой дроби: $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m)$.
Знаменатель второй дроби: $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$.
Заметим, что $(m - n)^2 = (-(n-m))^2 = (n - m)^2$.
Знаменатели в разложенном виде: $3(n - m)(n + m)$, $(n - m)^2$, $(n + m)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в их наивысших степенях: НОЗ = $3(n - m)^2(n + m)^2$.
Приведем каждую дробь к этому знаменателю, находя для каждой дополнительный множитель.
1. Для дроби $\frac{2mn}{3(n - m)(n + m)}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{3(n - m)(n + m)} = (n-m)(n+m) = n^2-m^2$.
$\frac{2mn \cdot (n - m)(n + m)}{3(n - m)(n + m) \cdot (n - m)(n + m)} = \frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
2. Для дроби $\frac{m^2}{(m - n)^2} = \frac{m^2}{(n - m)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{(n-m)^2} = 3(n + m)^2$.
$\frac{m^2 \cdot 3(n + m)^2}{(n - m)^2 \cdot 3(n + m)^2} = \frac{3m^2(n + m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
3. Для дроби $\frac{n^2}{(m + n)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{(n + m)^2} = 3(n - m)^2$.
$\frac{n^2 \cdot 3(n - m)^2}{(n + m)^2 \cdot 3(n - m)^2} = \frac{3n^2(n - m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
Ответ: $\frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{3m^2(n + m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{3n^2(n - m)^2}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.

б) Разложим знаменатели дробей на множители.
Знаменатель первой дроби: $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n - m)(n + m)$.
Знаменатель второй дроби: $-m^2 + 2mn - n^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) = -(m - n)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $2mn + m^2 + n^2 = (m + n)^2$.
Знаменатели: $3(n - m)(n + m)$, $-(m - n)^2 = -(n-m)^2$, $(m + n)^2 = (n+m)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $3(n - m)^2(n + m)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю.
1. Для дроби $\frac{2mn}{3(n - m)(n + m)}$ дополнительный множитель: $(n - m)(n + m) = n^2 - m^2$.
$\frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
2. Для дроби $\frac{(m + n)^2}{-(m - n)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3(n - m)^2(n + m)^2}{-(m - n)^2} = -3(n+m)^2$.
$\frac{(m + n)^2 \cdot (-3(n + m)^2)}{-(m - n)^2 \cdot (-3(n + m)^2)} = \frac{-3(m + n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
3. Для дроби $\frac{(m - n)^2}{(m + n)^2}$ дополнительный множитель: $3(m - n)^2$.
$\frac{(m - n)^2 \cdot 3(m - n)^2}{(m + n)^2 \cdot 3(m - n)^2} = \frac{3(m - n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.
Ответ: $\frac{2mn(n^2 - m^2)}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{-3(m + n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$, $\frac{3(m - n)^4}{3(n - m)^2(n + m)^2}$.

в) Разложим знаменатели дробей на множители.
Знаменатель первой дроби: $2y^2 - 2x^2 = 2(y^2 - x^2) = 2(y - x)(y + x) = -2(x - y)(x + y)$.
Знаменатель второй дроби: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $2(x - y)^2(x + y)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю.
1. Для дроби $\frac{5xy}{-2(x - y)(x + y)}$ дополнительный множитель: $\frac{2(x - y)^2(x + y)^2}{-2(x - y)(x + y)} = -(x-y)(x+y) = y^2-x^2$.
$\frac{5xy \cdot (-(x - y)(x + y))}{-2(x - y)(x + y) \cdot (-(x - y)(x + y))} = \frac{-5xy(x^2 - y^2)}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.
2. Для дроби $\frac{x^2}{(x + y)^2}$ дополнительный множитель: $2(x - y)^2$.
$\frac{x^2 \cdot 2(x - y)^2}{(x + y)^2 \cdot 2(x - y)^2} = \frac{2x^2(x - y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.
3. Для дроби $\frac{3y^2}{(x - y)^2}$ дополнительный множитель: $2(x + y)^2$.
$\frac{3y^2 \cdot 2(x + y)^2}{(x - y)^2 \cdot 2(x + y)^2} = \frac{6y^2(x + y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.
Ответ: $\frac{-5xy(x^2 - y^2)}{2(x - y)^2(x + y)^2}$, $\frac{2x^2(x - y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$, $\frac{6y^2(x + y)^2}{2(x - y)^2(x + y)^2}$.

г) Разложим числители и знаменатели дробей на множители.
Первая дробь: $\frac{6x}{5x^2 - 45} = \frac{6x}{5(x^2 - 9)} = \frac{6x}{5(x - 3)(x + 3)}$.
Вторая дробь: $\frac{(x - 3)^2}{-x^2 - 6x - 9} = \frac{(x - 3)^2}{-(x^2 + 6x + 9)} = \frac{(x - 3)^2}{-(x + 3)^2}$.
Третья дробь: $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 9 - 6x} = \frac{(x + 3)^2}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2}$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $5(x - 3)(x + 3)$, $-(x + 3)^2$ и $(x - 3)^2$ равен $5(x - 3)^2(x + 3)^2$.
Приведем дроби к НОЗ.
1. Для дроби $\frac{6x}{5(x - 3)(x + 3)}$ дополнительный множитель: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$.
$\frac{6x \cdot (x^2 - 9)}{5(x - 3)(x + 3) \cdot (x^2 - 9)} = \frac{6x(x^2 - 9)}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.
2. Для дроби $\frac{(x - 3)^2}{-(x + 3)^2}$ дополнительный множитель: $-5(x - 3)^2$.
$\frac{(x - 3)^2 \cdot (-5(x - 3)^2)}{-(x + 3)^2 \cdot (-5(x - 3)^2)} = \frac{-5(x - 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.
3. Для дроби $\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)^2}$ дополнительный множитель: $5(x + 3)^2$.
$\frac{(x + 3)^2 \cdot 5(x + 3)^2}{(x - 3)^2 \cdot 5(x + 3)^2} = \frac{5(x + 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.
Ответ: $\frac{6x(x^2 - 9)}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$, $\frac{-5(x - 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$, $\frac{5(x + 3)^4}{5(x - 3)^2(x + 3)^2}$.

2.46 а) $\frac{c + 6b}{ac + 2bc - 6ab - 3a^2}$, $\frac{2b}{a + 2b}$ и $\frac{c}{c - 3a}$;

б) $\frac{3a - b}{4a + 2c}$, $\frac{2a + c}{6a + 2b}$ и $\frac{6a^2}{6a^2 + 2ab + 3ac + bc}$;

в) $\frac{1}{y - 5z}$, $\frac{z}{x + 2y}$ и $\frac{2x + z}{xy - 10yz - 5xz + 2y^2}$;

г) $\frac{a - 1}{a^2 - ab + bc - ac}$, $\frac{a + c}{2b - 2a}$ и $\frac{a - b}{3a - 3c}$;

Для решения данных задач будем исходить из предположения, что для каждой группы из трёх дробей необходимо доказать тождество вида $A \pm B = C$, где $A, B, C$ — данные дроби. В некоторых случаях в условии могут содержаться опечатки, которые мы выявим в процессе решения.

а)

Даны три дроби:$A = \frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2}$, $B = \frac{2b}{a+2b}$, $C = \frac{c}{c-3a}$.

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:$ac + 2bc - 6ab - 3a^2 = c(a+2b) - 3a(2b+a) = (a+2b)(c-3a)$.

Знаменатель первой дроби является произведением знаменателей двух других дробей. Это указывает на то, что первая дробь может быть результатом сложения или вычитания двух других. Проверим это.Рассмотрим разность дробей $C$ и $B$:

$\frac{c}{c-3a} - \frac{2b}{a+2b} = \frac{c(a+2b)}{(c-3a)(a+2b)} - \frac{2b(c-3a)}{(a+2b)(c-3a)}$

Приводим к общему знаменателю $(a+2b)(c-3a)$:

$\frac{c(a+2b) - 2b(c-3a)}{(a+2b)(c-3a)} = \frac{ac + 2bc - 2bc + 6ab}{(a+2b)(c-3a)} = \frac{ac + 6ab}{(a+2b)(c-3a)}$

Раскроем скобки в числителе, вынеся общий множитель $a$:

$\frac{a(c+6b)}{(a+2b)(c-3a)}$

Сравним полученный результат с первой дробью $A = \frac{c+6b}{(a+2b)(c-3a)}$.

Результат отличается от первой дроби на множитель $a$ в числителе. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в числителе первой дроби. Предполагая, что в числителе первой дроби должен быть $a(c+6b)$, докажем тождество:$\frac{a(c+6b)}{ac+2bc-6ab-3a^2} = \frac{c}{c-3a} - \frac{2b}{a+2b}$.

Мы уже преобразовали правую часть и получили выражение, равное левой части (с исправленной опечаткой). Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Вероятно, в условии опечатка. Правильное тождество: $\frac{a(c+6b)}{ac+2bc-6ab-3a^2} = \frac{c}{c-3a} - \frac{2b}{a+2b}$.

б)

Даны три дроби:$A = \frac{3a-b}{4a+2c}$, $B = \frac{2a+c}{6a+2b}$, $C = \frac{6a^2}{6a^2+2ab+3ac+bc}$.

Разложим знаменатели на множители:

$D_A = 4a+2c = 2(2a+c)$

$D_B = 6a+2b = 2(3a+b)$

$D_C = 6a^2+2ab+3ac+bc = 2a(3a+b)+c(3a+b) = (3a+b)(2a+c)$

Общий знаменатель для всех трёх дробей равен $2(2a+c)(3a+b)$. Попробуем найти линейную зависимость между дробями. Проверим, выполняется ли тождество $A \pm B = C$ или другие комбинации.

Рассмотрим разность $A - B$:

$\frac{3a-b}{2(2a+c)} - \frac{2a+c}{2(3a+b)} = \frac{(3a-b)(3a+b) - (2a+c)^2}{2(2a+c)(3a+b)}$

$= \frac{(9a^2-b^2) - (4a^2+4ac+c^2)}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{5a^2-b^2-4ac-c^2}{2(2a+c)(3a+b)}$

Чтобы это выражение было равно дроби $C$, его числитель должен быть равен числителю дроби $C$, приведённой к тому же знаменателю: $C = \frac{6a^2 \cdot 2}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{12a^2}{2(2a+c)(3a+b)}$.Так как $5a^2-b^2-4ac-c^2 \neq 12a^2$, тождество $A-B=C$ неверно.

Проверка других комбинаций ($A+B=C$, $B-A=C$ и т.д.) также не приводит к тождеству. Например, для $B-A=C$ числитель был бы $-(5a^2-b^2-4ac-c^2)$, что также не равно $12a^2$.Проверим $A+C=B$:$\frac{3a-b}{2(2a+c)} + \frac{6a^2}{(2a+c)(3a+b)} = \frac{(3a-b)(3a+b) + 2(6a^2)}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{9a^2-b^2+12a^2}{2(2a+c)(3a+b)} = \frac{21a^2-b^2}{2(2a+c)(3a+b)}$.Числитель дроби $B$, приведённой к общему знаменателю: $(2a+c)^2 = 4a^2+4ac+c^2$. Равенство не выполняется.По-видимому, в условии этого пункта также содержится ошибка, которая не позволяет установить простое тождество.

Ответ: Среди данных дробей не удаётся установить простое тождество вида $A \pm B = C$. Вероятно, в условии задачи имеется ошибка.

в)

Даны три дроби:$A = \frac{1}{y-5z}$, $B = \frac{z}{x+2y}$, $C = \frac{2x+z}{xy-10yz-5xz+2y^2}$.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби:

$xy-10yz-5xz+2y^2 = (xy+2y^2) - (5xz+10yz) = y(x+2y) - 5z(x+2y) = (x+2y)(y-5z)$.

Как и в пункте а), знаменатель дроби $C$ является произведением знаменателей дробей $A$ и $B$. Проверим, является ли $C$ суммой или разностью $A$ и $B$.

Рассмотрим сумму $A+B$:

$\frac{1}{y-5z} + \frac{z}{x+2y} = \frac{1(x+2y) + z(y-5z)}{(y-5z)(x+2y)} = \frac{x+2y+zy-5z^2}{(x+2y)(y-5z)}$.

Сравнивая числитель $x+2y+zy-5z^2$ с числителем дроби $C$, который равен $2x+z$, мы видим, что они не равны.Рассмотрим разность $A-B$:

$\frac{1}{y-5z} - \frac{z}{x+2y} = \frac{1(x+2y) - z(y-5z)}{(y-5z)(x+2y)} = \frac{x+2y-zy+5z^2}{(y-5z)(x+2y)}$.

Этот числитель также не равен $2x+z$. Проверка других комбинаций ($C-A=B$ и т.д.) также не приводит к тождеству. Например, $C-A = \frac{2x+z-(x+2y)}{(x+2y)(y-5z)} = \frac{x-2y+z}{(x+2y)(y-5z)}$, что не равно $B$.Следовательно, как и в предыдущем пункте, установить простое тождество не удаётся.

Ответ: Среди данных дробей не удаётся установить простое тождество вида $A \pm B = C$. Вероятно, в условии задачи имеется ошибка.

г)

Даны три дроби:$A = \frac{a-1}{a^2-ab+bc-ac}$, $B = \frac{a+c}{2b-2a}$, $C = \frac{a-b}{3a-3c}$.

Разложим знаменатели на множители:

$D_A = a^2-ab-ac+bc = a(a-b)-c(a-b) = (a-b)(a-c)$.

$D_B = 2b-2a = -2(a-b)$.

$D_C = 3a-3c = 3(a-c)$.

Знаменатели всех трёх дробей содержат множители $(a-b)$ и $(a-c)$. Попробуем установить между дробями тождественную связь. Общий знаменатель $6(a-b)(a-c)$.

Проверим комбинацию $A \pm B = C$. Например, $A-B$:

$\frac{a-1}{(a-b)(a-c)} - \frac{a+c}{-2(a-b)} = \frac{a-1}{(a-b)(a-c)} + \frac{a+c}{2(a-b)}$

Приводим к общему знаменателю $2(a-b)(a-c)$:

$\frac{2(a-1) + (a+c)(a-c)}{2(a-b)(a-c)} = \frac{2a-2+a^2-c^2}{2(a-b)(a-c)} = \frac{a^2+2a-2-c^2}{2(a-b)(a-c)}$.

Это выражение должно быть равно дроби $C = \frac{a-b}{3(a-c)}$. Очевидно, что это не так.Проверим другую комбинацию. Например, $\frac{1}{3}C - \frac{1}{2}B$:$\frac{1}{3} \cdot \frac{a-b}{3(a-c)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{-2(a-b)}$ ... это усложнение.Попробуем найти такую комбинацию, которая могла бы привести к $A$.Рассмотрим выражение $-\frac{1}{2}B - \frac{1}{3}C$:$-\frac{1}{2} \cdot \frac{a+c}{-2(a-b)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{a-b}{3(a-c)} = \frac{a+c}{4(a-b)} - \frac{a-b}{9(a-c)}$. Это не приводит к простому результату.Как и в предыдущих пунктах, простое тождество вида $A \pm B = C$ не выполняется. Вероятно, в условии задачи также имеется ошибка.

Ответ: Среди данных дробей не удаётся установить простое тождество вида $A \pm B = C$. Вероятно, в условии задачи имеется ошибка.

2.47 Докажите, что если в дроби $ \frac{a^3 - 2b^3}{3a^3 - a^2b - 4ab^2} $ переменные $a$ и $b$ заменить соответственно на $pa$ и $pb$, то получим дробь, тождественно равную данной.

Используя доказанное тождество, найдите значение заданной дроби при:

a) $a = \frac{5}{113}$, $b = \frac{4}{113}$;

б) $a = 65$, $b = 52$.

Доказательство тождества:

Обозначим исходную дробь как $ D $.

$ D = \frac{a^3 - 2b^3}{3a^3 - a^2b - 4ab^2} $

Теперь заменим в этой дроби переменные $ a $ на $ pa $ и $ b $ на $ pb $, где $ p $ — некоторое число, не равное нулю. Получим новую дробь $ D' $:

$ D' = \frac{(pa)^3 - 2(pb)^3}{3(pa)^3 - (pa)^2(pb) - 4(pa)(pb)^2} $

Упростим числитель и знаменатель полученной дроби, раскрыв скобки:

Числитель: $ (pa)^3 - 2(pb)^3 = p^3a^3 - 2p^3b^3 = p^3(a^3 - 2b^3) $

Знаменатель: $ 3(pa)^3 - (pa)^2(pb) - 4(pa)(pb)^2 = 3p^3a^3 - p^2a^2pb - 4pap^2b^2 = 3p^3a^3 - p^3a^2b - 4p^3ab^2 = p^3(3a^3 - a^2b - 4ab^2) $

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь $ D' $:

$ D' = \frac{p^3(a^3 - 2b^3)}{p^3(3a^3 - a^2b - 4ab^2)} $

Поскольку $ p \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ p^3 $:

$ D' = \frac{a^3 - 2b^3}{3a^3 - a^2b - 4ab^2} $

Таким образом, $ D' = D $, что и требовалось доказать. Значение дроби не меняется, если ее переменные умножить на одно и то же число, не равное нулю. Это означает, что значение дроби зависит только от отношения $ \frac{a}{b} $.

Использование тождества для нахождения значения дроби:

а) при $ a = \frac{5}{113} $, $ b = \frac{4}{113} $

Заметим, что данные значения $ a $ и $ b $ можно представить в виде $ a = 5 \cdot \frac{1}{113} $ и $ b = 4 \cdot \frac{1}{113} $. Согласно доказанному тождеству, мы можем взять $ p = \frac{1}{113} $ и вычислить значение дроби для более простых значений $ a' = 5 $ и $ b' = 4 $. Результат будет тем же.

Подставим $ a = 5 $ и $ b = 4 $ в исходное выражение:

$ \frac{5^3 - 2 \cdot 4^3}{3 \cdot 5^3 - 5^2 \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot 4^2} = \frac{125 - 2 \cdot 64}{3 \cdot 125 - 25 \cdot 4 - 20 \cdot 16} = \frac{125 - 128}{375 - 100 - 320} = \frac{-3}{275 - 320} = \frac{-3}{-45} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $

б) при $ a = 65 $, $ b = 52 $

Найдем наибольший общий делитель для чисел 65 и 52.

$ 65 = 5 \cdot 13 $

$ 52 = 4 \cdot 13 $

Общий множитель равен 13. Мы можем представить $ a $ и $ b $ как $ a = 5 \cdot 13 $ и $ b = 4 \cdot 13 $. Согласно доказанному тождеству, мы можем взять $ p = 13 $ и вычислить значение дроби для значений $ a' = 5 $ и $ b' = 4 $.

Эти значения совпадают со значениями из пункта а), следовательно, вычисления и результат будут идентичными.

$ \frac{5^3 - 2 \cdot 4^3}{3 \cdot 5^3 - 5^2 \cdot 4 - 4 \cdot 5 \cdot 4^2} = \frac{-3}{-45} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $