Страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Сформулируйте алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо выполнить следующие действия:

1. Разложить на множители знаменатель каждой дроби. Для этого используются все известные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, метод группировки и другие.

2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он является наименьшим общим кратным (НОК) всех исходных знаменателей. Для его составления нужно:

   • Взять разложение на множители одного из знаменателей (обычно первого).

   • Домножить его на те множители из разложений других знаменателей, которых нет в уже взятом произведении или которые входят в него с меньшей степенью. Если один и тот же множитель присутствует в нескольких знаменателях, его следует брать с наибольшим показателем степени.

3. Определить дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого нужно разделить наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби.

4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате этого тождественного преобразования каждая дробь будет приведена к новому виду с наименьшим общим знаменателем.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби $ \frac{5}{a^2-9} $ и $ \frac{4}{3a+9} $.

1. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $ a^2-9 = (a-3)(a+3) $.

Знаменатель второй дроби, вынося общий множитель за скобки: $ 3a+9 = 3(a+3) $.

2. Найдем наименьший общий знаменатель.

Выписываем множители первого знаменателя: $ (a-3)(a+3) $.

Сравниваем со множителями второго знаменателя $ 3(a+3) $. Множитель $ (a+3) $ уже есть, не хватает числового множителя 3.

Следовательно, НОЗ = $ 3(a-3)(a+3) $.

3. Определим дополнительные множители.

Для первой дроби $ \frac{5}{(a-3)(a+3)} $ дополнительный множитель: $ \frac{3(a-3)(a+3)}{(a-3)(a+3)} = 3 $.

Для второй дроби $ \frac{4}{3(a+3)} $ дополнительный множитель: $ \frac{3(a-3)(a+3)}{3(a+3)} = a-3 $.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Первая дробь: $ \frac{5 \cdot 3}{(a-3)(a+3) \cdot 3} = \frac{15}{3(a-3)(a+3)} $.

Вторая дробь: $ \frac{4 \cdot (a-3)}{3(a+3) \cdot (a-3)} = \frac{4a-12}{3(a-3)(a+3)} $.

Дроби приведены к общему знаменателю.

Ответ: Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю состоит из четырех шагов: 1) разложение знаменателей на множители; 2) нахождение наименьшего общего знаменателя как НОК знаменателей; 3) вычисление дополнительных множителей для каждой дроби; 4) умножение числителя и знаменателя каждой дроби на ее дополнительный множитель.

1. Сформулируйте алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Для сложения или вычитания алгебраических дробей используется алгоритм, который зависит от того, одинаковы или различны их знаменатели.

Сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями

Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы выполнить сложение или вычитание, достаточно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений. Правило в общем виде:

$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$

где $A$, $B$ и $C$ — многочлены, причём $C \neq 0$.

Сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями

Если знаменатели дробей разные, то для их сложения или вычитания необходимо следовать общему алгоритму:

1. Разложить знаменатели на множители. Если знаменатели являются многочленами, их необходимо представить в виде произведения более простых (неприводимых) множителей.
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ представляет собой произведение всех уникальных множителей, которые встречаются в разложениях знаменателей. Каждый такой множитель берется с наибольшим показателем степени, с которым он входит в какой-либо из знаменателей.
3. Найти дополнительные множители. Для каждой дроби определяется дополнительный множитель. Он равен результату деления наименьшего общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
4. Привести дроби к общему знаменателю. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаются на соответствующий ей дополнительный множитель. Это преобразование приводит все дроби к единому знаменателю, не изменяя их значения.
5. Выполнить сложение или вычитание. Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, нужно сложить (или вычесть) их новые числители, а результат записать над общим знаменателем.
6. Упростить полученную дробь. В числителе итоговой дроби следует раскрыть скобки, привести подобные слагаемые. Если после этого числитель можно разложить на множители, необходимо проверить, есть ли общие множители со знаменателем, и сократить дробь.

Ответ: Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей состоит из следующих шагов: 1) разложить знаменатели на множители; 2) найти наименьший общий знаменатель (НОЗ); 3) найти для каждой дроби дополнительный множитель; 4) привести дроби к НОЗ, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель; 5) сложить (вычесть) полученные числители, записав результат над общим знаменателем; 6) упростить и, по возможности, сократить итоговую дробь.

2.14 a) $ \frac{2ab}{a+b} $ и $ (a+b) $;

б) $ \frac{x-y}{x+y} $ и $ x^2 - xy + y^2 $;

в) $ (a-b) $ и $ \frac{a^2b}{a-b} $;

г) $ \frac{x+2}{x-2} $ и $ x^2 + 2x + 4 $.

Чтобы найти произведение дроби $\frac{2ab}{a+b}$ и выражения $(a+b)$, необходимо умножить числитель дроби на это выражение. Представим выражение $(a+b)$ в виде дроби $\frac{a+b}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{2ab}{a+b} \cdot (a+b) = \frac{2ab}{a+b} \cdot \frac{a+b}{1} = \frac{2ab \cdot (a+b)}{a+b}$

Сократим общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{2ab \cdot \cancel{(a+b)}}{\cancel{a+b}} = 2ab$

Ответ: $2ab$

Чтобы найти произведение дроби $\frac{x-y}{x+y}$ и многочлена $x^2 - xy + y^2$, необходимо умножить числитель дроби на этот многочлен:

$\frac{x-y}{x+y} \cdot (x^2 - xy + y^2) = \frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y}$

Выражение $x^2 - xy + y^2$ является неполным квадратом разности. Это один из множителей в формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Поскольку в числителе нет множителя $(x+y)$, который мог бы сократиться со знаменателем, дальнейшее упрощение выражения невозможно. Ответ следует оставить в виде дроби.

Ответ: $\frac{(x-y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y}$

Чтобы найти произведение выражения $(a-b)$ и дроби $\frac{a^2b}{a-b}$, необходимо умножить это выражение на числитель дроби. Представим выражение $(a-b)$ в виде дроби $\frac{a-b}{1}$ и выполним умножение:

$(a-b) \cdot \frac{a^2b}{a-b} = \frac{a-b}{1} \cdot \frac{a^2b}{a-b} = \frac{(a-b) \cdot a^2b}{a-b}$

Сократим общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a-b \neq 0$):

$\frac{\cancel{(a-b)} \cdot a^2b}{\cancel{a-b}} = a^2b$

Ответ: $a^2b$

Чтобы найти произведение дроби $\frac{x+2}{x-2}$ и многочлена $x^2 + 2x + 4$, необходимо умножить числитель дроби на этот многочлен:

$\frac{x+2}{x-2} \cdot (x^2 + 2x + 4) = \frac{(x+2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2}$

Выражение $x^2 + 2x + 4$ является неполным квадратом суммы. Это один из множителей в формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Для сокращения дроби в числителе должен быть множитель $(x-2)$, но вместо него там $(x+2)$. Следовательно, дальнейшее упрощение невозможно. Ответ следует оставить в виде дроби.

Ответ: $\frac{(x+2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2}$

Приведите данные алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю:

2.15 a) $ \frac{5a}{6} $ и $ \frac{7b}{12} $;

б) $ \frac{3a^2}{8} $ и $ \frac{5ab}{12} $;

в) $ \frac{7d}{16} $ и $ \frac{43c}{48} $;

г) $ \frac{8t^2}{35} $ и $ \frac{7x^2}{50} $.

а) Даны дроби $\frac{5a}{6}$ и $\frac{7b}{12}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей 6 и 12. Поскольку 12 делится на 6, НОК(6, 12) = 12. Это и будет наименьший общий знаменатель.

Найдем дополнительный множитель для первой дроби, разделив новый знаменатель на старый: $12 \div 6 = 2$.
Знаменатель второй дроби уже равен 12, поэтому она не изменяется (или ее дополнительный множитель равен 1).

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{5a}{6} = \frac{5a \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10a}{12}$

Вторая дробь остается $\frac{7b}{12}$.

Ответ: $\frac{10a}{12}$ и $\frac{7b}{12}$.

б) Даны дроби $\frac{3a^2}{8}$ и $\frac{5ab}{12}$.

Найдем НОК знаменателей 8 и 12. Для этого разложим их на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
НОК(8, 12) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$. НОЗ равен 24.

Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 8 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $24 \div 12 = 2$.

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{3a^2}{8} = \frac{3a^2 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9a^2}{24}$

$\frac{5ab}{12} = \frac{5ab \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10ab}{24}$

Ответ: $\frac{9a^2}{24}$ и $\frac{10ab}{24}$.

в) Даны дроби $\frac{7d}{16}$ и $\frac{43c}{48}$.

Найдем НОК знаменателей 16 и 48. Так как 48 делится на 16 ($48 \div 16 = 3$), то НОК(16, 48) = 48. НОЗ равен 48.

Дополнительный множитель для первой дроби: $48 \div 16 = 3$.
Вторая дробь $\frac{43c}{48}$ уже имеет нужный знаменатель.

Приводим первую дробь к знаменателю 48:

$\frac{7d}{16} = \frac{7d \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{21d}{48}$

Ответ: $\frac{21d}{48}$ и $\frac{43c}{48}$.

г) Даны дроби $\frac{8t^2}{35}$ и $\frac{7x^2}{50}$.

Найдем НОК знаменателей 35 и 50. Разложим их на простые множители:
$35 = 5 \cdot 7$
$50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$
НОК(35, 50) = $2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 2 \cdot 25 \cdot 7 = 350$. НОЗ равен 350.

Дополнительный множитель для первой дроби: $350 \div 35 = 10$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $350 \div 50 = 7$.

Приводим дроби к общему знаменателю 350:

$\frac{8t^2}{35} = \frac{8t^2 \cdot 10}{35 \cdot 10} = \frac{80t^2}{350}$

$\frac{7x^2}{50} = \frac{7x^2 \cdot 7}{50 \cdot 7} = \frac{49x^2}{350}$

Ответ: $\frac{80t^2}{350}$ и $\frac{49x^2}{350}$.

2.16 а) $ \frac{b}{3a} $ и $ \frac{3}{a} $;

б) $ \frac{7}{12c} $ и $ \frac{11}{8c} $;

в) $ \frac{5}{2b} $ и $ \frac{2}{5b} $;

г) $ \frac{13a}{48d} $ и $ \frac{5a}{54d} $.

а) Чтобы привести дроби $ \frac{b}{3a} $ и $ \frac{3}{a} $ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $3a$ и $a$.

Наименьший общий знаменатель для данных дробей — это $3a$.

Первая дробь $ \frac{b}{3a} $ уже имеет этот знаменатель.

Для второй дроби $ \frac{3}{a} $ найдем дополнительный множитель. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель второй дроби: $ \frac{3a}{a} = 3 $.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:

$ \frac{3}{a} = \frac{3 \cdot 3}{a \cdot 3} = \frac{9}{3a} $.

В результате получаем дроби $ \frac{b}{3a} $ и $ \frac{9}{3a} $.

Ответ: $ \frac{b}{3a} $ и $ \frac{9}{3a} $.

б) Даны дроби $ \frac{7}{12c} $ и $ \frac{11}{8c} $. Их знаменатели — $12c$ и $8c$.

Найдем наименьший общий знаменатель. Сначала найдем НОК для числовых коэффициентов 12 и 8.

Разложим их на простые множители: $ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $; $ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 $.

НОК(12, 8) = $ 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 $.

Таким образом, наименьший общий знаменатель дробей — $24c$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{24c}{12c} = 2 $. Умножаем числитель и знаменатель: $ \frac{7 \cdot 2}{12c \cdot 2} = \frac{14}{24c} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{24c}{8c} = 3 $. Умножаем числитель и знаменатель: $ \frac{11 \cdot 3}{8c \cdot 3} = \frac{33}{24c} $.

Ответ: $ \frac{14}{24c} $ и $ \frac{33}{24c} $.

в) Даны дроби $ \frac{5}{2b} $ и $ \frac{2}{5b} $. Их знаменатели — $2b$ и $5b$.

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК для числовых коэффициентов 2 и 5 равно $ 2 \cdot 5 = 10 $.

Наименьший общий знаменатель дробей — $10b$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{10b}{2b} = 5 $. Умножаем: $ \frac{5 \cdot 5}{2b \cdot 5} = \frac{25}{10b} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{10b}{5b} = 2 $. Умножаем: $ \frac{2 \cdot 2}{5b \cdot 2} = \frac{4}{10b} $.

Ответ: $ \frac{25}{10b} $ и $ \frac{4}{10b} $.

г) Даны дроби $ \frac{13a}{48d} $ и $ \frac{5a}{54d} $. Их знаменатели — $48d$ и $54d$.

Найдем наименьший общий знаменатель. Сначала найдем НОК для числовых коэффициентов 48 и 54.

Разложим их на простые множители: $ 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 $; $ 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3 $.

НОК(48, 54) = $ 2^4 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432 $.

Наименьший общий знаменатель дробей — $432d$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{432d}{48d} = 9 $. Умножаем: $ \frac{13a \cdot 9}{48d \cdot 9} = \frac{117a}{432d} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{432d}{54d} = 8 $. Умножаем: $ \frac{5a \cdot 8}{54d \cdot 8} = \frac{40a}{432d} $.

Ответ: $ \frac{117a}{432d} $ и $ \frac{40a}{432d} $.

2.17 а) $ \frac{y}{x} $ и $ \frac{x}{y} $;

б) $ \frac{a}{2b^2} $ и $ \frac{b}{2a^2} $;

в) $ \frac{n}{m^2} $ и $ \frac{m}{n^2} $;

г) $ \frac{3c^2}{5t} $ и $ \frac{t^2}{5c} $.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это будет их наименьший общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

а)

Даны дроби $\frac{y}{x}$ и $\frac{x}{y}$.
Знаменатели этих дробей — $x$ и $y$.
Наименьший общий знаменатель для них — это их произведение, то есть $xy$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для дроби $\frac{y}{x}$ дополнительный множитель: $xy \div x = y$.
Для дроби $\frac{x}{y}$ дополнительный множитель: $xy \div y = x$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{y}{x} = \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{y^2}{xy}$
$\frac{x}{y} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} = \frac{x^2}{xy}$
Ответ: $\frac{y^2}{xy}$ и $\frac{x^2}{xy}$.

б)

Даны дроби $\frac{a}{2b^2}$ и $\frac{b}{2a^2}$.
Знаменатели дробей: $2b^2$ и $2a^2$.
Наименьший общий знаменатель состоит из НОК числовых коэффициентов и НОК буквенных выражений. НОК для $2$ и $2$ равно $2$. НОК для $b^2$ и $a^2$ равно $a^2b^2$. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $2a^2b^2$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{a}{2b^2}$ равен $2a^2b^2 \div 2b^2 = a^2$.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{b}{2a^2}$ равен $2a^2b^2 \div 2a^2 = b^2$.
Выполним умножение:
$\frac{a}{2b^2} = \frac{a \cdot a^2}{2b^2 \cdot a^2} = \frac{a^3}{2a^2b^2}$
$\frac{b}{2a^2} = \frac{b \cdot b^2}{2a^2 \cdot b^2} = \frac{b^3}{2a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^3}{2a^2b^2}$ и $\frac{b^3}{2a^2b^2}$.

в)

Даны дроби $\frac{n}{m^2}$ и $\frac{m}{n^2}$.
Знаменатели дробей: $m^2$ и $n^2$.
Наименьший общий знаменатель для них — $m^2n^2$.
Найдем дополнительные множители:
Для дроби $\frac{n}{m^2}$: $m^2n^2 \div m^2 = n^2$.
Для дроби $\frac{m}{n^2}$: $m^2n^2 \div n^2 = m^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{n}{m^2} = \frac{n \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} = \frac{n^3}{m^2n^2}$
$\frac{m}{n^2} = \frac{m \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} = \frac{m^3}{m^2n^2}$
Ответ: $\frac{n^3}{m^2n^2}$ и $\frac{m^3}{m^2n^2}$.

г)

Даны дроби $\frac{3c^2}{5t}$ и $\frac{t^2}{5c}$.
Знаменатели дробей: $5t$ и $5c$.
Наименьший общий знаменатель для $5t$ и $5c$ равен $5ct$.
Найдем дополнительные множители:
Для дроби $\frac{3c^2}{5t}$: $5ct \div 5t = c$.
Для дроби $\frac{t^2}{5c}$: $5ct \div 5c = t$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3c^2}{5t} = \frac{3c^2 \cdot c}{5t \cdot c} = \frac{3c^3}{5ct}$
$\frac{t^2}{5c} = \frac{t^2 \cdot t}{5c \cdot t} = \frac{t^3}{5ct}$
Ответ: $\frac{3c^3}{5ct}$ и $\frac{t^3}{5ct}$.

2.18 а) $ \frac{a+b}{5a} $ и $ \frac{a-b}{10b} $;

б) $ \frac{7d^3}{60c} $ и $ \frac{5c^3}{36d} $;

в) $ \frac{3-x}{12y} $ и $ \frac{y+2}{4x} $;

г) $ \frac{2n^3}{27m^2} $ и $ \frac{7m^2}{30n} $.

а) Чтобы привести дроби $\frac{a+b}{5a}$ и $\frac{a-b}{10b}$ к общему знаменателю, нужно найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Знаменатели дробей: $5a$ и $10b$.
Наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 5 и 10 равно 10. Для переменных $a$ и $b$ общим знаменателем будет их произведение $ab$.
Таким образом, НОЗ равен $10ab$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $\frac{10ab}{5a} = 2b$. Для второй дроби: $\frac{10ab}{10b} = a$.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{a+b}{5a} = \frac{(a+b) \cdot 2b}{5a \cdot 2b} = \frac{2ab + 2b^2}{10ab}$
$\frac{a-b}{10b} = \frac{(a-b) \cdot a}{10b \cdot a} = \frac{a^2 - ab}{10ab}$
Ответ: $\frac{2ab + 2b^2}{10ab}$ и $\frac{a^2 - ab}{10ab}$.

б) Даны дроби $\frac{7d^3}{60c}$ и $\frac{5c^3}{36d}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для $60c$ и $36d$.
Сначала найдем НОК для чисел 60 и 36. Разложим их на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$; $36 = 2^2 \cdot 3^2$.
НОК(60, 36) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Общий знаменатель для переменных $c$ и $d$ равен $cd$.
Следовательно, НОЗ равен $180cd$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{180cd}{60c} = 3d$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{180cd}{36d} = 5c$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{7d^3}{60c} = \frac{7d^3 \cdot 3d}{60c \cdot 3d} = \frac{21d^4}{180cd}$
$\frac{5c^3}{36d} = \frac{5c^3 \cdot 5c}{36d \cdot 5c} = \frac{25c^4}{180cd}$
Ответ: $\frac{21d^4}{180cd}$ и $\frac{25c^4}{180cd}$.

в) Даны дроби $\frac{3-x}{12y}$ и $\frac{y+2}{4x}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для $12y$ и $4x$.
НОК для чисел 12 и 4 равно 12. Общий знаменатель для переменных $y$ и $x$ равен $xy$.
Значит, НОЗ равен $12xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{12xy}{12y} = x$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{12xy}{4x} = 3y$.
Умножим числители и знаменатели на их дополнительные множители:
$\frac{3-x}{12y} = \frac{(3-x) \cdot x}{12y \cdot x} = \frac{3x - x^2}{12xy}$
$\frac{y+2}{4x} = \frac{(y+2) \cdot 3y}{4x \cdot 3y} = \frac{3y^2 + 6y}{12xy}$
Ответ: $\frac{3x - x^2}{12xy}$ и $\frac{3y^2 + 6y}{12xy}$.

г) Даны дроби $\frac{2n^3}{27m^2}$ и $\frac{7m^2}{30n}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для $27m^2$ и $30n$.
Сначала найдем НОК для чисел 27 и 30. Разложим их на простые множители: $27 = 3^3$; $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
НОК(27, 30) = $2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$.
Общий знаменатель для переменных $m^2$ и $n$ равен $m^2n$.
Следовательно, НОЗ равен $270m^2n$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{270m^2n}{27m^2} = 10n$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{270m^2n}{30n} = 9m^2$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{2n^3}{27m^2} = \frac{2n^3 \cdot 10n}{27m^2 \cdot 10n} = \frac{20n^4}{270m^2n}$
$\frac{7m^2}{30n} = \frac{7m^2 \cdot 9m^2}{30n \cdot 9m^2} = \frac{63m^4}{270m^2n}$
Ответ: $\frac{20n^4}{270m^2n}$ и $\frac{63m^4}{270m^2n}$.

2.19 а) $\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{2ab}$;

б) $\frac{5+p}{b^3}$ и $\frac{4p}{b^2}$;

в) $\frac{m}{3n}$ и $\frac{5}{6mn}$;

г) $\frac{m+n}{n^3}$ и $\frac{m^2}{n^2}$.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{2ab}$ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели дробей: $a$ и $2ab$. НОК для $a$ и $2ab$ является $2ab$. Это будет нашим общим знаменателем.
Для первой дроби $\frac{b}{a}$ найдем дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на ее знаменатель: $\frac{2ab}{a} = 2b$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот дополнительный множитель: $\frac{b \cdot 2b}{a \cdot 2b} = \frac{2b^2}{2ab}$.
Вторая дробь $\frac{c}{2ab}$ уже имеет нужный знаменатель, поэтому она остается без изменений.
Ответ: $\frac{2b^2}{2ab}$ и $\frac{c}{2ab}$.

б) Даны дроби $\frac{5+p}{b^3}$ и $\frac{4p}{b^2}$. Знаменатели: $b^3$ и $b^2$. Наименьший общий знаменатель — это $b^3$, так как это наибольшая степень переменной $b$ в знаменателях.
Первая дробь $\frac{5+p}{b^3}$ уже имеет общий знаменатель.
Для второй дроби $\frac{4p}{b^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{b^3}{b^2} = b$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $b$: $\frac{4p \cdot b}{b^2 \cdot b} = \frac{4pb}{b^3}$.
Ответ: $\frac{5+p}{b^3}$ и $\frac{4pb}{b^3}$.

в) Рассмотрим дроби $\frac{m}{3n}$ и $\frac{5}{6mn}$. Знаменатели: $3n$ и $6mn$. Найдем НОК для числовых коэффициентов (3 и 6) и для переменных ($n$ и $mn$). НОК(3, 6) = 6. НОК($n, mn$) = $mn$. Таким образом, общий знаменатель равен $6mn$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{m}{3n}$: $\frac{6mn}{3n} = 2m$.
Умножим первую дробь на $2m$: $\frac{m \cdot 2m}{3n \cdot 2m} = \frac{2m^2}{6mn}$.
Вторая дробь $\frac{5}{6mn}$ уже имеет общий знаменатель.
Ответ: $\frac{2m^2}{6mn}$ и $\frac{5}{6mn}$.

г) Даны дроби $\frac{m+n}{n^3}$ и $\frac{m^2}{n^2}$. Знаменатели: $n^3$ и $n^2$. Наименьший общий знаменатель — это $n^3$ (наибольшая степень переменной $n$).
Первая дробь $\frac{m+n}{n^3}$ уже приведена к общему знаменателю.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{m^2}{n^2}$: $\frac{n^3}{n^2} = n$.
Умножим вторую дробь на $n$: $\frac{m^2 \cdot n}{n^2 \cdot n} = \frac{m^2n}{n^3}$.
Ответ: $\frac{m+n}{n^3}$ и $\frac{m^2n}{n^3}$.

2.20 а) $ \frac{x^2}{5y} $ и $ \frac{z-3}{y^2} $;

б) $ \frac{1}{15xy} $ и $ \frac{1}{5x^2y^2} $;

в) $ \frac{3c}{2d^2} $ и $ \frac{c+d}{6ad} $;

г) $ \frac{3t}{4x^2y} $ и $ \frac{2t}{5xy^2} $.

а)

Чтобы привести дроби $ \frac{x^2}{5y} $ и $ \frac{z-3}{y^2} $ к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей $ 5y $ и $ y^2 $.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 5 и 1. НОК(5, 1) = 5.

2. Находим НОК для переменных. Для $ y $ и $ y^2 $ выбираем переменную с наибольшим показателем степени, то есть $ y^2 $.

Таким образом, общий знаменатель равен $ 5y^2 $.

3. Находим дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{5y^2}{5y} = y $. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $ y $:

$ \frac{x^2 \cdot y}{5y \cdot y} = \frac{x^2y}{5y^2} $

4. Находим дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{5y^2}{y^2} = 5 $. Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на 5:

$ \frac{(z-3) \cdot 5}{y^2 \cdot 5} = \frac{5(z-3)}{5y^2} = \frac{5z - 15}{5y^2} $

Ответ: $ \frac{x^2y}{5y^2} $ и $ \frac{5z - 15}{5y^2} $.

б)

Приводим к общему знаменателю дроби $ \frac{1}{15xy} $ и $ \frac{1}{5x^2y^2} $. Знаменатели: $ 15xy $ и $ 5x^2y^2 $.

1. НОК для коэффициентов 15 и 5 равно 15.

2. НОК для переменных $ x $ и $ x^2 $ это $ x^2 $. НОК для $ y $ и $ y^2 $ это $ y^2 $.

Общий знаменатель: $ 15x^2y^2 $.

3. Дополнительный множитель для $ \frac{1}{15xy} $: $ \frac{15x^2y^2}{15xy} = xy $.

$ \frac{1 \cdot xy}{15xy \cdot xy} = \frac{xy}{15x^2y^2} $

4. Дополнительный множитель для $ \frac{1}{5x^2y^2} $: $ \frac{15x^2y^2}{5x^2y^2} = 3 $.

$ \frac{1 \cdot 3}{5x^2y^2 \cdot 3} = \frac{3}{15x^2y^2} $

Ответ: $ \frac{xy}{15x^2y^2} $ и $ \frac{3}{15x^2y^2} $.

в)

Приводим к общему знаменателю дроби $ \frac{3c}{2d^2} $ и $ \frac{c+d}{6ad} $. Знаменатели: $ 2d^2 $ и $ 6ad $.

1. НОК для коэффициентов 2 и 6 равно 6.

2. НОК для переменных. Для переменной $ a $ берем $ a $. Для переменной $ d $ (в степенях $ d^2 $ и $ d $) берем $ d^2 $.

Общий знаменатель: $ 6ad^2 $.

3. Дополнительный множитель для $ \frac{3c}{2d^2} $: $ \frac{6ad^2}{2d^2} = 3a $.

$ \frac{3c \cdot 3a}{2d^2 \cdot 3a} = \frac{9ac}{6ad^2} $

4. Дополнительный множитель для $ \frac{c+d}{6ad} $: $ \frac{6ad^2}{6ad} = d $.

$ \frac{(c+d) \cdot d}{6ad \cdot d} = \frac{d(c+d)}{6ad^2} = \frac{cd + d^2}{6ad^2} $

Ответ: $ \frac{9ac}{6ad^2} $ и $ \frac{cd + d^2}{6ad^2} $.

г)

Приводим к общему знаменателю дроби $ \frac{3t}{4x^2y} $ и $ \frac{2t}{5xy^2} $. Знаменатели: $ 4x^2y $ и $ 5xy^2 $.

1. НОК для коэффициентов 4 и 5 равно 20.

2. НОК для переменных $ x^2y $ и $ xy^2 $ это $ x^2y^2 $.

Общий знаменатель: $ 20x^2y^2 $.

3. Дополнительный множитель для $ \frac{3t}{4x^2y} $: $ \frac{20x^2y^2}{4x^2y} = 5y $.

$ \frac{3t \cdot 5y}{4x^2y \cdot 5y} = \frac{15ty}{20x^2y^2} $

4. Дополнительный множитель для $ \frac{2t}{5xy^2} $: $ \frac{20x^2y^2}{5xy^2} = 4x $.

$ \frac{2t \cdot 4x}{5xy^2 \cdot 4x} = \frac{8tx}{20x^2y^2} $

Ответ: $ \frac{15ty}{20x^2y^2} $ и $ \frac{8tx}{20x^2y^2} $.

2.21 a) $ \frac{8}{15a^2b^3} $ И $ \frac{3}{10a^3b^2}; $

б) $ \frac{7n+m}{63m^2n^4} $ И $ \frac{n-4m}{36m^3n^3}; $

в) $ \frac{11c}{28p^3q^{31}} $ И $ \frac{4c}{35p^8q}; $

г) $ \frac{2y^2-x}{24x^2y^3} $ И $ \frac{8y+5x^2}{60x^4y}. $

а) Исходные дроби: $ \frac{8}{15a^2b^3} $ и $ \frac{3}{10a^3b^2} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей $ 15a^2b^3 $ и $ 10a^3b^2 $.
1. Найдем НОК числовых коэффициентов 15 и 10. Разложим их на простые множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $; $ 10 = 2 \cdot 5 $. НОК(15, 10) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $.
2. Для переменных в знаменателе выберем каждую переменную с наибольшим показателем степени. Для переменной $ a $ это $ a^3 $, для переменной $ b $ это $ b^3 $.
3. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $ 30a^3b^3 $.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{30a^3b^3}{15a^2b^3} = 2a $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{30a^3b^3}{10a^3b^2} = 3b $.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:
$ \frac{8}{15a^2b^3} = \frac{8 \cdot 2a}{15a^2b^3 \cdot 2a} = \frac{16a}{30a^3b^3} $.
$ \frac{3}{10a^3b^2} = \frac{3 \cdot 3b}{10a^3b^2 \cdot 3b} = \frac{9b}{30a^3b^3} $.
Ответ: $ \frac{16a}{30a^3b^3} $ и $ \frac{9b}{30a^3b^3} $.

б) Исходные дроби: $ \frac{7n+m}{63m^2n^4} $ и $ \frac{n-4m}{36m^3n^3} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ 63m^2n^4 $ и $ 36m^3n^3 $.
1. Найдем НОК коэффициентов 63 и 36. Разложим на простые множители: $ 63 = 3^2 \cdot 7 $; $ 36 = 2^2 \cdot 3^2 $. НОК(63, 36) = $ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252 $.
2. Выберем переменные с наибольшими показателями степени: для $ m $ это $ m^3 $, для $ n $ это $ n^4 $.
3. НОЗ равен $ 252m^3n^4 $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ \frac{252m^3n^4}{63m^2n^4} = 4m $.
Для второй дроби: $ \frac{252m^3n^4}{36m^3n^3} = 7n $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{7n+m}{63m^2n^4} = \frac{(7n+m) \cdot 4m}{63m^2n^4 \cdot 4m} = \frac{28mn + 4m^2}{252m^3n^4} $.
$ \frac{n-4m}{36m^3n^3} = \frac{(n-4m) \cdot 7n}{36m^3n^3 \cdot 7n} = \frac{7n^2 - 28mn}{252m^3n^4} $.
Ответ: $ \frac{4m^2 + 28mn}{252m^3n^4} $ и $ \frac{7n^2 - 28mn}{252m^3n^4} $.

в) Исходные дроби: $ \frac{11c}{28p^3q^{31}} $ и $ \frac{4c}{35p^8q} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ 28p^3q^{31} $ и $ 35p^8q $.
1. Найдем НОК коэффициентов 28 и 35. Разложим на простые множители: $ 28 = 2^2 \cdot 7 $; $ 35 = 5 \cdot 7 $. НОК(28, 35) = $ 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 $.
2. Выберем переменные с наибольшими показателями степени: для $ p $ это $ p^8 $, для $ q $ это $ q^{31} $.
3. НОЗ равен $ 140p^8q^{31} $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ \frac{140p^8q^{31}}{28p^3q^{31}} = 5p^5 $.
Для второй дроби: $ \frac{140p^8q^{31}}{35p^8q} = 4q^{30} $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{11c}{28p^3q^{31}} = \frac{11c \cdot 5p^5}{28p^3q^{31} \cdot 5p^5} = \frac{55cp^5}{140p^8q^{31}} $.
$ \frac{4c}{35p^8q} = \frac{4c \cdot 4q^{30}}{35p^8q \cdot 4q^{30}} = \frac{16cq^{30}}{140p^8q^{31}} $.
Ответ: $ \frac{55cp^5}{140p^8q^{31}} $ и $ \frac{16cq^{30}}{140p^8q^{31}} $.

г) Исходные дроби: $ \frac{2y^2-x}{24x^2y^3} $ и $ \frac{8y+5x^2}{60x^4y} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ 24x^2y^3 $ и $ 60x^4y $.
1. Найдем НОК коэффициентов 24 и 60. Разложим на простые множители: $ 24 = 2^3 \cdot 3 $; $ 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $. НОК(24, 60) = $ 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $.
2. Выберем переменные с наибольшими показателями степени: для $ x $ это $ x^4 $, для $ y $ это $ y^3 $.
3. НОЗ равен $ 120x^4y^3 $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ \frac{120x^4y^3}{24x^2y^3} = 5x^2 $.
Для второй дроби: $ \frac{120x^4y^3}{60x^4y} = 2y^2 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2y^2-x}{24x^2y^3} = \frac{(2y^2-x) \cdot 5x^2}{24x^2y^3 \cdot 5x^2} = \frac{10x^2y^2 - 5x^3}{120x^4y^3} $.
$ \frac{8y+5x^2}{60x^4y} = \frac{(8y+5x^2) \cdot 2y^2}{60x^4y \cdot 2y^2} = \frac{16y^3 + 10x^2y^2}{120x^4y^3} $.
Ответ: $ \frac{10x^2y^2 - 5x^3}{120x^4y^3} $ и $ \frac{10x^2y^2 + 16y^3}{120x^4y^3} $.