Страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Вспомните основное свойство обыкновенных дробей, которое вы изучали в курсе математики 5–6-го классов.

Основное свойство обыкновенной дроби, которое изучают в курсе математики 5-6-го классов, заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (или любое другое число, не равное нулю), то получится равная ей дробь.

В общем виде это свойство можно записать с помощью формул. Для дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ a $ — числитель, $ b $ — знаменатель, и $ b \neq 0 $) и любого числа $ c \neq 0 $ справедливы равенства:
Умножение: $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $
Деление: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} $ (при условии, что $ a $ и $ b $ делятся на $ c $ без остатка).

Это свойство лежит в основе двух ключевых практических действий с дробями:

1. Приведение дроби к новому знаменателю. Эта операция необходима для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также для их сравнения. Числитель и знаменатель умножаются на так называемый дополнительный множитель.
Например, чтобы привести дробь $ \frac{4}{7} $ к знаменателю 21, нужно сначала найти дополнительный множитель: $ 21 \div 7 = 3 $. Затем умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби: $ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21} $. Дроби $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{12}{21} $ являются равными по величине.

2. Сокращение дроби. Эта операция используется для упрощения дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1. Наиболее полное упрощение достигается при делении на наибольший общий делитель (НОД).
Например, сократим дробь $ \frac{20}{35} $. Наибольшим общим делителем для 20 и 35 является число 5. Разделим числитель и знаменатель на 5: $ \frac{20}{35} = \frac{20 \div 5}{35 \div 5} = \frac{4}{7} $. Дробь $ \frac{4}{7} $ называется несократимой, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Таким образом, основное свойство дроби — это фундаментальный принцип, позволяющий изменять внешний вид дроби (ее числитель и знаменатель), не изменяя при этом ее величину.

Ответ: Основное свойство обыкновенной дроби заключается в том, что если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.

3. Запишите основное свойство дроби на математическом языке.

Основное свойство дроби формулируется следующим образом: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится.

Для записи этого свойства на математическом языке введем обозначения. Пусть дана дробь вида $\frac{a}{b}$, где $a$ является числителем, а $b$ – знаменателем. Важным условием существования дроби является то, что ее знаменатель не может быть равен нулю, то есть $b \ne 0$.

Тогда, для любого числа $c$, которое также не равно нулю ($c \ne 0$), основное свойство дроби можно записать в виде равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Это равенство показывает, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число $c$ приводит к дроби, равной исходной. Этот процесс называется приведением дроби к новому знаменателю.

Аналогично, свойство справедливо и для операции деления:

$\frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c}$

В этом случае, помимо условий $b \ne 0$ и $c \ne 0$, число $c$ должно быть общим делителем для числителя $a$ и знаменателя $b$. Этот процесс называется сокращением дроби.

Ответ: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$, где $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

5. Что нужно сделать, чтобы поменять знаки в числителе или знаменателе дроби?

Для изменения знаков в числителе или знаменателе дроби используется основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число. В данном случае мы используем число -1. Существует три варианта этого преобразования.

1. Чтобы поменять знаки в числителе дроби

Необходимо изменить знаки у всех слагаемых в числителе и одновременно поменять знак перед всей дробью на противоположный. Это действие сохраняет значение дроби, так как по сути мы дважды умножаем ее на -1 (один раз в числителе, второй раз перед дробью), что эквивалентно умножению на 1.

Общая формула: $ \frac{a}{b} = - \frac{-a}{b} $

Пример:

$ \frac{x-2}{y+3} = - \frac{-(x-2)}{y+3} = - \frac{-x+2}{y+3} = - \frac{2-x}{y+3} $

Ответ: Необходимо поменять знак перед дробью на противоположный.

2. Чтобы поменять знаки в знаменателе дроби

Необходимо изменить знаки у всех слагаемых в знаменателе и одновременно поменять знак перед всей дробью на противоположный. Логика та же, что и в предыдущем пункте.

Общая формула: $ \frac{a}{b} = - \frac{a}{-b} $

Пример:

$ \frac{5}{c-d} = - \frac{5}{-(c-d)} = - \frac{5}{-c+d} = - \frac{5}{d-c} $

Ответ: Необходимо поменять знак перед дробью на противоположный.

3. Чтобы поменять знаки одновременно и в числителе, и в знаменателе дроби

Необходимо изменить знаки у всех слагаемых и в числителе, и в знаменателе. При этом знак перед дробью менять не нужно. Это следует из основного свойства дроби, так как мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число (-1), что не меняет значения дроби.

Общая формула: $ \frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} $

Пример:

$ \frac{k-m}{p-q} = \frac{-(k-m)}{-(p-q)} = \frac{-k+m}{-p+q} = \frac{m-k}{q-p} $

Ответ: Знак перед дробью менять не нужно.

7. Вспомните из курса математики 5–6-го классов правило приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю.

Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю — это преобразование дробей, при котором их знаменатели становятся одинаковыми. Это необходимо для выполнения операций сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) состоит из следующих шагов:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это число и будет их наименьшим общим знаменателем.
2. Определить для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого нужно разделить наименьший общий знаменатель (найденный в шаге 1) на знаменатель каждой исходной дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. Это действие основано на основном свойстве дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь $(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k})$.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере. Приведем дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{18}$ к общему знаменателю.

1. Находим наименьший общий знаменатель.
Знаменатели дробей — это числа $12$ и $18$. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого разложим числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
Чтобы найти НОК, берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях: $2^2$ и $3^2$.
$НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Следовательно, наименьший общий знаменатель равен $36$.

2. Находим дополнительные множители.
Для первой дроби ($\frac{7}{12}$): делим общий знаменатель на её знаменатель. $36 \div 12 = 3$. Дополнительный множитель равен $3$.
Для второй дроби ($\frac{5}{18}$): делим общий знаменатель на её знаменатель. $36 \div 18 = 2$. Дополнительный множитель равен $2$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Для первой дроби: $\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$.
Для второй дроби: $\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{10}{36}$.
В результате мы привели дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{18}$ к общему знаменателю $36$, получив дроби $\frac{21}{36}$ и $\frac{10}{36}$.

Ответ: Чтобы привести обыкновенные дроби к общему знаменателю, необходимо: 1) найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, которое и будет общим знаменателем; 2) для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий ей дополнительный множитель.

2. Сформулируйте основное свойство алгебраической дроби.

Основное свойство алгебраической дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Это свойство можно выразить в виде формулы. Пусть дана алгебраическая дробь $ \frac{A}{B} $, где $A$ и $B$ — многочлены, и знаменатель $B$ не равен нулю для рассматриваемых значений переменных.

Тогда для любого многочлена $C$, который не равен нулю для тех же значений переменных, справедливо тождество:
$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $

Это свойство лежит в основе двух ключевых преобразований алгебраических дробей:

1. Сокращение дроби. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно (и нужно) сократить, то есть разделить на этот общий множитель.
Пример: Сократить дробь $ \frac{5x+10y}{x^2-4y^2} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$ 5x+10y = 5(x+2y) $
$ x^2-4y^2 = (x-2y)(x+2y) $
Дробь примет вид: $ \frac{5(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)} $.
Общий множитель — это $ (x+2y) $. Сокращаем на него (при условии, что $ x+2y \neq 0 $):
$ \frac{5(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{5}{x-2y} $

2. Приведение дроби к новому знаменателю. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить ее числитель и знаменатель на так называемый дополнительный множитель. Это действие необходимо, например, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.
Пример: Привести дробь $ \frac{a}{a-b} $ к знаменателю $ a^2-b^2 $.
Знаменатель $ a^2-b^2 $ можно разложить как $ (a-b)(a+b) $.
Чтобы получить новый знаменатель, исходный знаменатель $ (a-b) $ нужно умножить на $ (a+b) $. Этот множитель и является дополнительным. Умножаем на него и числитель, и знаменатель:
$ \frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot (a+b)}{(a-b) \cdot (a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2} $

Ответ: Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. Формульно это записывается как $ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $ при условии, что многочлены $B$ и $C$ не равны нулю.

4 Используя переменные $p$ и $q$, составьте алгебраическую дробь, которая при сокращении даёт результат $-1$.

Чтобы алгебраическая дробь при сокращении давала результат $-1$, её числитель должен быть противоположным выражением по отношению к знаменателю. Это означает, что если знаменатель дроби равен некоторому выражению $A$, то её числитель должен быть равен $-A$. В этом случае дробь будет иметь вид $\frac{-A}{A}$, и при условии, что $A \neq 0$, её значение после сокращения будет равно $-1$.

Для составления такой дроби с переменными $p$ и $q$, выберем простое выражение для знаменателя, например, $p - q$.

Пусть знаменатель нашей дроби $A = p - q$.

Тогда числитель должен быть равен $-A = -(p - q)$. Раскроем скобки в выражении для числителя:

$-(p - q) = -p + q = q - p$.

Таким образом, искомая алгебраическая дробь имеет вид:

$\frac{q - p}{p - q}$

Теперь выполним проверку. Для сокращения дроби вынесем множитель $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{q - p}{p - q} = \frac{-1 \cdot (-q + p)}{p - q} = \frac{-1 \cdot (p - q)}{p - q}$

При условии, что знаменатель не равен нулю (то есть $p \neq q$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(p - q)$:

$\frac{-1 \cdot (p - q)}{p - q} = -1$

Что и требовалось доказать. Существует бесконечное множество подобных дробей, например: $\frac{p+q}{-(p+q)}$, $\frac{p^2-q^2}{q^2-p^2}$ и так далее.

Ответ: $\frac{q-p}{p-q}$

6. Вспомните из курса математики 5–6-го классов определение наименьшего общего кратного.

Для того чтобы дать определение наименьшего общего кратного (НОК), необходимо последовательно рассмотреть понятия «кратное», «общее кратное» и, наконец, «наименьшее общее кратное».

Кратным натурального числа $a$ называется натуральное число, которое делится на $a$ без остатка. Например, кратными для числа 7 являются числа 7, 14, 21, 28 и так далее. У любого натурального числа существует бесконечно много кратных.

Общим кратным для двух или нескольких натуральных чисел называется натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, для чисел 4 и 6 общими кратными будут 12 (так как $12 \div 4 = 3$ и $12 \div 6 = 2$), 24, 36 и так далее. Общих кратных также бесконечно много.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких натуральных чисел — это самое маленькое натуральное число, которое является их общим кратным, то есть делится на каждое из этих чисел без остатка.

Для нахождения НОК, например, для чисел 12 и 18, можно воспользоваться методом разложения на простые множители. Сначала разложим оба числа на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$; $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$. Затем для составления НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях. В нашем случае это $2^2$ (из разложения числа 12) и $3^2$ (из разложения числа 18). Наконец, перемножим эти множители: НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Число 36 является наименьшим натуральным числом, которое делится и на 12, и на 18.

Ответ: Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

8. Сформулируйте алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей.

Алгоритм нахождения общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей, который также является их наименьшим общим кратным (НОК), состоит из следующих шагов:

1. Разложить на множители каждый знаменатель.
Необходимо разложить знаменатель каждой дроби на простейшие множители. Числовые коэффициенты раскладываются на простые числа, а многочлены – на неприводимые многочлены (чаще всего, на линейные двучлены вида $(ax+b)$ или квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом). Для разложения многочленов используются формулы сокращенного умножения, метод группировки или нахождение корней.

Пример: Для дробей $\frac{a}{x^2 - 4}$ и $\frac{b}{3x + 6}$ раскладываем знаменатели:
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
$3x + 6 = 3(x+2)$

2. Составить список всех уникальных множителей.
Выписать все различные множители (числовые и многочлены), которые встречаются в разложениях знаменателей, без повторений.

Продолжение примера: Уникальные множители из разложений $(x-2)(x+2)$ и $3(x+2)$ — это $3$, $(x-2)$ и $(x+2)$.

3. Определить наибольшую степень для каждого множителя.
Для каждого уникального множителя, найденного на предыдущем шаге, определить наибольшую степень (показатель), в которой он входит в разложение какого-либо из знаменателей.

Продолжение примера:
Множитель $3$ встречается в максимальной степени $1$ (в разложении $3(x+2)$).
Множитель $(x-2)$ встречается в максимальной степени $1$ (в разложении $(x-2)(x+2)$).
Множитель $(x+2)$ встречается в максимальной степени $1$ (в обоих разложениях).

4. Записать общий знаменатель.
Перемножить все уникальные множители, взяв каждый из них в наибольшей степени, определенной на шаге 3. Полученное произведение и будет наименьшим общим знаменателем.

Продолжение примера: Общий знаменатель равен произведению множителей в их наибольших степенях: $3^1 \cdot (x-2)^1 \cdot (x+2)^1 = 3(x-2)(x+2)$.

Ответ: Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей: 1. Разложить все знаменатели на простейшие множители. 2. Выписать все уникальные множители из всех разложений. 3. Для каждого уникального множителя найти наибольшую степень, в которой он встречается в каком-либо из разложений. 4. Общий знаменатель равен произведению всех уникальных множителей, возведенных в найденные для них наибольшие степени.

1.12 Зная, что $a - 2b = 3$, найдите значение выражения:

а) $2b - a$;

б) $2a - 4b$;

в) $\frac{4b - 2a}{3}$;

г) $\frac{6}{2a - 4b}$.

Нам дано равенство $a - 2b = 3$. Используя это равенство, мы найдем значения для каждого из предложенных выражений.

а) $2b - a$

Заметим, что выражение $2b - a$ является противоположным по знаку выражению $a - 2b$. Мы можем вынести знак минус за скобки:

$2b - a = -(a - 2b)$

Так как из условия задачи известно, что $a - 2b = 3$, мы можем подставить это значение в наше выражение:

$2b - a = -(3) = -3$

Ответ: -3

б) $2a - 4b$

В этом выражении мы можем вынести общий множитель 2 за скобки:

$2a - 4b = 2(a - 2b)$

Теперь подставим известное значение $a - 2b = 3$:

$2(a - 2b) = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

в) $\frac{4b - 2a}{3}$

Сначала преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель за скобки. Общий множитель для $4b$ и $-2a$ равен 2. Также можно вынести -2 для удобства:

$4b - 2a = -2(a - 2b)$

Подставим известное значение $a - 2b = 3$:

$4b - 2a = -2 \cdot 3 = -6$

Теперь подставим полученное значение числителя обратно в дробь:

$\frac{-6}{3} = -2$

Ответ: -2

г) $\frac{6}{2a - 4b}$

Рассмотрим знаменатель дроби $2a - 4b$. Мы уже нашли значение этого выражения в пункте б). Напомним, как мы это сделали:

$2a - 4b = 2(a - 2b)$

Подставляя $a - 2b = 3$, получаем:

$2a - 4b = 2 \cdot 3 = 6$

Теперь подставим это значение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{6}{6} = 1$

Ответ: 1

Составьте математическую модель ситуации, описанной в условии задачи:

1.13 Туристы прошли 6 км по лесной тропе, а затем 10 км по шоссе, увеличив при этом свою скорость на 1 км/ч. На весь путь они затратили 3,5 ч.

1.13 Для того чтобы составить математическую модель данной ситуации, необходимо выразить зависимость между величинами, описанными в задаче, с помощью уравнения или системы уравнений.

1. Выбор переменной. В качестве неизвестной величины выберем скорость туристов на первом участке пути. Пусть $x$ км/ч — скорость туристов на лесной тропе. Так как скорость является величиной положительной, то $x > 0$.

2. Выражение других величин через переменную. Согласно условию, на шоссе туристы увеличили свою скорость на 1 км/ч. Следовательно, их скорость на шоссе составляла $(x + 1)$ км/ч.

3. Составление выражений для времени. Время движения на каждом участке пути можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

• Время, затраченное на прохождение 6 км по лесной тропе: $t_1 = \frac{6}{x}$ ч.
• Время, затраченное на прохождение 10 км по шоссе: $t_2 = \frac{10}{x+1}$ ч.

4. Составление уравнения. Общее время, затраченное на весь путь, равно сумме времени на каждом из участков и по условию составляет 3,5 ч. Таким образом, получаем уравнение:

$t_1 + t_2 = 3,5$

$\frac{6}{x} + \frac{10}{x+1} = 3,5$

Полученное уравнение и является математической моделью описанной ситуации. Оно связывает скорость туристов с пройденным расстоянием и временем.

Ответ: Математическая модель ситуации имеет вид: $\frac{6}{x} + \frac{10}{x+1} = 3,5$, где $x$ — скорость туристов на лесной тропе в км/ч.

1.14 Прогулочный катер двигался по реке, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 18 км, а против течения 14 км, затратив на весь путь 1 ч 20 мин.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч. Поскольку скорость течения реки равна 2 км/ч, то скорость катера по течению составит $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(x - 2)$ км/ч. Важным условием является то, что катер может двигаться против течения, следовательно, его собственная скорость должна быть больше скорости течения: $x > 2$.

Общее время, затраченное на весь путь, указано как 1 час 20 минут. Для удобства вычислений переведем это время полностью в часы:

$1 \text{ час } 20 \text{ минут } = 1 + \frac{20}{60} \text{ часа } = 1 + \frac{1}{3} \text{ часа } = \frac{4}{3}$ часа.

Время движения по течению можно найти, разделив расстояние на скорость по течению: $t_1 = \frac{18}{x + 2}$ ч. Аналогично, время движения против течения равно $t_2 = \frac{14}{x - 2}$ ч. Сумма этих двух отрезков времени равна общему времени в пути, что позволяет составить уравнение:

$\frac{18}{x + 2} + \frac{14}{x - 2} = \frac{4}{3}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$\frac{18(x - 2) + 14(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{4}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18x - 36 + 14x + 28}{x^2 - 4} = \frac{4}{3}$

$\frac{32x - 8}{x^2 - 4} = \frac{4}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$3(32x - 8) = 4(x^2 - 4)$

$96x - 24 = 4x^2 - 16$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 96x - 16 + 24 = 0$

$4x^2 - 96x + 8 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 4:

$x^2 - 24x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 576 - 8 = 568$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{24 \pm \sqrt{568}}{2}$

Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{568} = \sqrt{4 \cdot 142} = 2\sqrt{142}$.

$x = \frac{24 \pm 2\sqrt{142}}{2} = 12 \pm \sqrt{142}$

Мы получили два корня:

$x_1 = 12 + \sqrt{142}$

$x_2 = 12 - \sqrt{142}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли корни условию $x > 2$.

Корень $x_1 = 12 + \sqrt{142}$ очевидно больше 12, так как $\sqrt{142} > 0$. Следовательно, $x_1 > 2$ и этот корень является решением задачи.

Для корня $x_2 = 12 - \sqrt{142}$ оценим значение $\sqrt{142}$. Поскольку $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$, то $11 < \sqrt{142} < 12$. Следовательно, значение $x_2 = 12 - \sqrt{142}$ находится между $12-12=0$ и $12-11=1$. Так как $x_2 < 2$, этот корень не удовлетворяет условию задачи, так как при такой скорости катер не смог бы двигаться против течения.

Таким образом, единственным решением является $x = 12 + \sqrt{142}$.

Ответ: собственная скорость катера равна $(12 + \sqrt{142})$ км/ч.

1.15 Из пункта $A$ в пункт $B$, находящийся на расстоянии $120 \text{ км}$ от пункта $A$, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного из них на $20 \text{ км/ч}$ больше скорости другого, поэтому он приехал в пункт $B$ на $1 \text{ ч}$ раньше.

1.15

Обозначим скорость одного (более медленного) автомобиля как $x$ км/ч. Согласно условию, скорость второго автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 20)$ км/ч. Оба автомобиля должны проехать расстояние $S = 120$ км.

Время, которое затрачивает на путь первый (медленный) автомобиль, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно $t_1 = \frac{120}{x}$ часов.

Время, которое затрачивает на путь второй (быстрый) автомобиль, равно $t_2 = \frac{120}{x+20}$ часов.

Из условия известно, что быстрый автомобиль прибыл в пункт В на 1 час раньше. Это означает, что время в пути у медленного автомобиля на 1 час больше, чем у быстрого. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 - t_2 = 1$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+20} = 1$

Для решения данного дробно-рационального уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x+20)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$. Так как $x$ обозначает скорость, она является положительной величиной ($x > 0$), поэтому эти условия выполняются.

$120(x+20) - 120x = x(x+20)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$120x + 2400 - 120x = x^2 + 20x$

$2400 = x^2 + 20x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 20x - 2400 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-20 + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-20 - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Таким образом, скорость медленного автомобиля составляет $x = 40$ км/ч.

Скорость быстрого автомобиля равна $x + 20 = 40 + 20 = 60$ км/ч.

Выполним проверку: время медленного автомобиля $120/40 = 3$ часа. Время быстрого автомобиля $120/60 = 2$ часа. Разница во времени $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного автомобиля 40 км/ч, скорость другого — 60 км/ч.

1.16 Из города в посёлок, находящийся на расстоянии 40 км от города, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. В посёлок они прибыли одновременно.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_г$ — скорость грузовика в км/ч, а $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч.

По условию, расстояние от города до посёлка составляет $S = 40$ км. Скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузовика, что можно записать в виде уравнения:

$v_л = v_г + 20$

Грузовик выехал на 10 минут раньше легкового автомобиля. Переведем 10 минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Время, которое затратил на путь грузовик, вычисляется по формуле $t = S/v$ и равно $t_г = \frac{40}{v_г}$.

Время, которое затратил на путь легковой автомобиль, равно $t_л = \frac{40}{v_л}$.

Так как грузовик был в пути на $\frac{1}{6}$ часа дольше и они прибыли в посёлок одновременно, мы можем составить уравнение, связывающее их время в пути:

$t_г = t_л + \frac{1}{6}$

Подставим в это уравнение выражения для времени через скорость:

$\frac{40}{v_г} = \frac{40}{v_л} + \frac{1}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_л = v_г + 20 \\ \frac{40}{v_г} = \frac{40}{v_л} + \frac{1}{6} \end{cases}$

Подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе. Для удобства вычислений временно обозначим $v_г$ как $x$:

$\frac{40}{x} = \frac{40}{x + 20} + \frac{1}{6}$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть уравнения, чтобы решить его:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 20} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$:

$\frac{40(x + 20) - 40x}{x(x + 20)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{40x + 800 - 40x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

$\frac{800}{x^2 + 20x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$x^2 + 20x = 800 \cdot 6$

$x^2 + 20x = 4800$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость ($x = v_г$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не соответствует условию задачи. Таким образом, скорость грузовика равна 60 км/ч.

$v_г = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость легкового автомобиля, используя первое уравнение системы:

$v_л = v_г + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость грузовика — 60 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.

1.17 С двух турбаз одновременно вышли две группы туристов, которые должны были встретиться на берегу реки. До этого места первой группе нужно идти 12 км, а второй — 10 км. Известно, что скорость первой группы была на 1 км/ч меньше скорости второй и что она прибыла на берег реки на 1 ч позже второй группы.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость второй группы туристов равна $x$ км/ч.Поскольку скорость первой группы была на 1 км/ч меньше скорости второй, то скорость первой группы составляет $(x - 1)$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x-1 > 0$, что означает $x > 1$.

Время, которое первая группа затратила на путь в 12 км, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{12}{x-1}$ ч.

Время, которое вторая группа затратила на путь в 10 км, составляет $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{10}{x}$ ч.

По условию задачи, первая группа прибыла на 1 час позже второй. Это означает, что время первой группы на 1 час больше времени второй: $t_1 = t_2 + 1$.

Подставим выражения для времени в это равенство и получим уравнение:

$\frac{12}{x-1} = \frac{10}{x} + 1$

Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{12}{x-1} - \frac{10}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{12x - 10(x-1)}{x(x-1)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{12x - 10x + 10}{x^2 - x} = 1$

$\frac{2x + 10}{x^2 - x} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - x$, учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$ (что следует из условия $x > 1$):

$2x + 10 = x^2 - x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2x - 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как $x$ представляет собой скорость, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость второй группы туристов равна $x = 5$ км/ч.

Скорость первой группы туристов равна $x - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч.

Проверка: время первой группы $t_1 = 12/4 = 3$ ч. Время второй группы $t_2 = 10/5 = 2$ ч. Разница во времени $3 - 2 = 1$ ч, что соответствует условию.

Ответ: скорость первой группы туристов — 4 км/ч, скорость второй группы — 5 км/ч.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

1.18 Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения?

1-й этап: Составление математической модели

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Это искомая величина. По условию, собственная скорость моторной лодки равна 30 км/ч.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (30 + x)$ км/ч. Скорость лодки при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (30 - x)$ км/ч.

Лодка прошла по течению расстояние 48 км. Время, затраченное на этот путь, определяется по формуле $t = S/v$: $t_{по} = \frac{48}{30 + x}$ ч.

Против течения лодка прошла расстояние 42 км. Время, затраченное на этот путь: $t_{против} = \frac{42}{30 - x}$ ч.

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь по течению и против течения, одинаково. Следовательно, мы можем составить уравнение: $\frac{48}{30 + x} = \frac{42}{30 - x}$

Физический смысл величин накладывает ограничения: скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки (иначе лодка не сможет двигаться против течения). Таким образом, $0 < x < 30$.

2-й этап: Работа с составленной моделью

Решим полученное рациональное уравнение: $\frac{48}{30 + x} = \frac{42}{30 - x}$

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Это возможно, так как знаменатели не равны нулю в силу ограничения $0 < x < 30$. $48(30 - x) = 42(30 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $48 \cdot 30 - 48x = 42 \cdot 30 + 42x$ $1440 - 48x = 1260 + 42x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой: $1440 - 1260 = 42x + 48x$ $180 = 90x$

Найдем значение $x$: $x = \frac{180}{90}$ $x = 2$

3-й этап: Ответ на вопрос задачи

Найденное значение $x=2$ является корнем уравнения. Проверим, соответствует ли оно наложенным ограничениям $0 < x < 30$. Так как $0 < 2 < 30$, корень подходит по смыслу задачи.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Выполним проверку: Время движения по течению: $t_{по} = \frac{48}{30 + 2} = \frac{48}{32} = 1,5$ ч. Время движения против течения: $t_{против} = \frac{42}{30 - 2} = \frac{42}{28} = 1,5$ ч. Время совпадает, $t_{по} = t_{против}$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 2 км/ч.

1.19 Автобус проходит расстояние 160 км за время, которое автомобиль тратит на прохождение 280 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 30 км/ч меньше скорости автомобиля.

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость автобуса на 30 км/ч меньше скорости автомобиля, следовательно, скорость автомобиля равна $(x + 30)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — это скорость.

Время, которое автобус тратит на прохождение расстояния 160 км, составляет $t_{автобуса} = \frac{160}{x}$ часов.

Время, которое автомобиль тратит на прохождение расстояния 280 км, составляет $t_{автомобиля} = \frac{280}{x + 30}$ часов.

По условию, время в пути у автобуса и автомобиля одинаковое, то есть $t_{автобуса} = t_{автомобиля}$. На основании этого составим и решим уравнение:

$\frac{160}{x} = \frac{280}{x + 30}$

Это рациональное уравнение. Чтобы его решить, воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), при условии, что $x > 0$ и $x + 30 \neq 0$:

$160 \cdot (x + 30) = 280 \cdot x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$160x + 160 \cdot 30 = 280x$

$160x + 4800 = 280x$

Перенесем слагаемые, содержащие неизвестную $x$, в одну часть уравнения:

$4800 = 280x - 160x$

$4800 = 120x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{4800}{120}$

$x = 40$

Таким образом, скорость автобуса составляет 40 км/ч. Скорость автомобиля в этом случае будет $40 + 30 = 70$ км/ч. Проверим: время автобуса $\frac{160}{40} = 4$ часа, время автомобиля $\frac{280}{70} = 4$ часа. Времена равны, значит, задача решена верно.

Ответ: 40 км/ч.