Страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5. Составьте алгебраическую дробь с переменными $x, y$, у которой пара чисел $(15; -7)$ является допустимой.

Допустимыми значениями переменных для алгебраической дроби называются такие значения, при которых ее знаменатель не обращается в нуль. По условию задачи, нам нужно составить алгебраическую дробь с переменными $x$ и $y$, для которой пара чисел $(15; -7)$ является допустимой. Это означает, что если подставить $x=15$ и $y=-7$ в знаменатель этой дроби, то его значение не должно быть равно нулю.

Для этого нужно сконструировать дробь вида $\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}$, где $P(x, y)$ — это числитель, а $Q(x, y)$ — знаменатель. Главное условие, которому должен удовлетворять знаменатель: $Q(15, -7) \neq 0$. Числитель $P(x, y)$ при этом может быть любым выражением.

Существует бесконечное множество таких дробей. Приведем пример построения одной из них. Выберем в качестве числителя простое выражение, например, 1. В качестве знаменателя возьмем выражение $x-y$. Тогда наша дробь будет иметь вид $\frac{1}{x-y}$.

Теперь проверим, является ли пара чисел $(15; -7)$ допустимой для этой дроби. Для этого подставим $x=15$ и $y=-7$ в знаменатель $Q(x, y) = x-y$. Вычисление будет таким: $15 - (-7) = 15 + 7 = 22$.

Поскольку результат $22$ не равен нулю ($22 \neq 0$), знаменатель не обращается в нуль при данных значениях переменных. Следовательно, пара чисел $(15; -7)$ является допустимой для дроби $\frac{1}{x-y}$, и эта дробь удовлетворяет условию задачи.

В качестве ответа можно привести и другие дроби, например: $\frac{x}{y+10}$ (знаменатель при подстановке равен $-7+10=3 \neq 0$), $\frac{y}{x-10}$ (знаменатель равен $15-10=5 \neq 0$), или $\frac{x+y}{5}$ (знаменатель всегда равен 5).

Ответ: $\frac{1}{x-y}$

6. Составьте алгебраическую дробь с переменными $a, b,$ у которой пара чисел $(-4; 10)$ является недопустимой.

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Недопустимыми значениями переменных для такой дроби называются те значения, при которых ее знаменатель обращается в ноль. Это связано с тем, что операция деления на ноль в математике не определена.

В условии задачи требуется составить алгебраическую дробь с переменными $a$ и $b$, для которой пара чисел $(-4; 10)$ является недопустимой. Это значит, что при подстановке в знаменатель дроби значений $a = -4$ и $b = 10$, он должен стать равным нулю.

Обозначим знаменатель дроби как $D(a, b)$. Нам нужно найти такое выражение $D(a, b)$, чтобы выполнялось условие: $$D(-4, 10) = 0$$

Существует бесконечно много выражений, удовлетворяющих этому условию. Мы можем составить одно из самых простых.

Способ 1: Составим знаменатель, который зависит от обеих переменных. Возьмем выражение вида $a + b + k$, где $k$ — некоторая константа. Подставим наши значения $a$ и $b$ и найдем $k$:
$(-4) + 10 + k = 0$
$6 + k = 0$
$k = -6$
Таким образом, знаменатель может быть равен $a + b - 6$.

Способ 2: Составим знаменатель, который зависит только от одной переменной.
Например, для переменной $a$: выражение $a + 4$ обращается в ноль при $a = -4$ ($-4 + 4 = 0$).
Или для переменной $b$: выражение $b - 10$ обращается в ноль при $b = 10$ ($10 - 10 = 0$).

В качестве числителя можно взять любое число (кроме нуля) или любое другое алгебраическое выражение, которое не обращается в ноль одновременно со знаменателем. Для простоты возьмем в качестве числителя 1 или одну из переменных.

Совмещая полученные знаменатели с простыми числителями, мы можем составить несколько примеров дробей:

• Используя знаменатель $a+b-6$ и числитель 1: $\frac{1}{a+b-6}$
• Используя знаменатель $a+4$ и числитель $b$: $\frac{b}{a+4}$
• Используя знаменатель $b-10$ и числитель $a$: $\frac{a}{b-10}$

Все эти дроби удовлетворяют условию задачи. Выберем одну из них в качестве ответа.

Ответ: $\frac{1}{a+b-6}$. При $a=-4$ и $b=10$ знаменатель этой дроби $-4+10-6=0$, что делает данную пару чисел недопустимой.

56 а) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

б) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

в) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2);$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

а) Раскроем скобки в уравнении $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$. Для этого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для выражения $(3x - 2)^2$:
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$.
Раскроем скобки, помня, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$.
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$(9x^2 - 9x^2) + 12x + (-1 - 4) = 0$
$0 + 12x - 5 = 0$
$12x - 5 = 0$.
Перенесем свободный член (-5) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$12x = 5$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12:
$x = \frac{5}{12}$.
Ответ: $x = \frac{5}{12}$.

б) Рассмотрим уравнение $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$.
Сначала раскроем квадрат разности $(2x-3)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
Затем раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-2x$ на каждый член в скобках (дистрибутивный закон):
$-2x(4 + 2x) = (-2x) \cdot 4 + (-2x) \cdot 2x = -8x - 4x^2$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(4x^2 - 12x + 9) + (-8x - 4x^2) = 11$
$4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$
$0 - 20x + 9 = 11$
$-20x + 9 = 11$.
Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком:
$-20x = 11 - 9$
$-20x = 2$.
Найдем $x$, разделив обе части на -20:
$x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10} = -0.1$.
Ответ: $x = -0.1$.

в) Решим уравнение $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(5x + 2)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 + 20x + 4$.
Раскроем скобки в правой части уравнения, используя дистрибутивный закон:
$25(1 + x^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2 = 25 + 25x^2$.
Подставим раскрытые выражения в уравнение:
$x + (25x^2 + 20x + 4) = 25 + 25x^2$
$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$.
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:
$25x^2 + (x + 20x) + 4 = 25 + 25x^2$
$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$.
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую. Член $25x^2$ присутствует в обеих частях, поэтому его можно сократить (или вычесть $25x^2$ из обеих частей):
$21x + 4 = 25$.
Перенесем 4 в правую часть:
$21x = 25 - 4$
$21x = 21$.
Найдем $x$, разделив обе части на 21:
$x = \frac{21}{21} = 1$.
Ответ: $x = 1$.

г) Решим уравнение $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$.
Первый член $(4x - 3)(3 + 4x)$ можно переписать как $(4x - 3)(4x + 3)$. Это произведение разности и суммы двух выражений, которое раскрывается по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=4x$ и $b=3$:
$(4x - 3)(4x + 3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$.
Раскроем скобки во втором члене, умножив $-2x$ на $8x$ и на $-1$:
$-2x(8x - 1) = (-2x) \cdot 8x - (-2x) \cdot 1 = -16x^2 + 2x$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(16x^2 - 9) + (-16x^2 + 2x) = 0$
$16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$
$0 + 2x - 9 = 0$
$2x - 9 = 0$.
Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:
$2x = 9$.
Найдем $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: $x = 4.5$.

57 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = 3x - 2, \\ y = -x + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = x - 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x - 3, \\ y = -2x + 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 3x + 1, \\ y = -x + 5. \end{cases}$

а)

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной и той же системе координат. Решением системы будет точка (или точки) пересечения этих графиков. Оба уравнения в системе являются линейными функциями вида $y = kx + b$, графиком которых является прямая.

1. Построим график функции $y = 3x - 2$. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек:

• при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку (0; -2).
• при $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4$. Получаем точку (2; 4).

2. Построим график функции $y = -x + 6$. Также найдем координаты двух точек:

• при $x = 0$, $y = -0 + 6 = 6$. Получаем точку (0; 6).
• при $x = 6$, $y = -6 + 6 = 0$. Получаем точку (6; 0).

Теперь построим прямые на координатной плоскости, используя найденные точки. Прямые пересекаются в точке, координаты которой и являются решением системы. Визуально определив координаты точки пересечения, получаем (2; 4).

Для проверки подставим найденные значения в оба уравнения системы:
$4 = 3 \cdot 2 - 2 \implies 4 = 6 - 2 \implies 4 = 4$ (истина).
$4 = -2 + 6 \implies 4 = 4$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (2; 4).

б)

Построим графики для уравнений $y = 2x - 1$ и $y = x - 4$.

1. Для прямой $y = 2x - 1$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка (0; -1).
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Точка (2; 3).

2. Для прямой $y = x - 4$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0 - 4 = -4$. Точка (0; -4).
• при $x = 4$, $y = 4 - 4 = 0$. Точка (4; 0).

Построив прямые по этим точкам, найдем их точку пересечения на графике. Координаты точки пересечения – (-3; -7).

Проверка:
$-7 = 2 \cdot (-3) - 1 \implies -7 = -6 - 1 \implies -7 = -7$ (истина).
$-7 = -3 - 4 \implies -7 = -7$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (-3; -7).

в)

Построим графики для уравнений $y = x - 3$ и $y = -2x + 3$.

1. Для прямой $y = x - 3$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
• при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3; 0).

2. Для прямой $y = -2x + 3$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка (0; 3).
• при $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка (2; -1).

Построив прямые на координатной плоскости, находим их точку пересечения. Координаты этой точки – (2; -1).

Проверка:
$-1 = 2 - 3 \implies -1 = -1$ (истина).
$-1 = -2 \cdot 2 + 3 \implies -1 = -4 + 3 \implies -1 = -1$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (2; -1).

г)

Построим графики для уравнений $y = 3x + 1$ и $y = -x + 5$.

1. Для прямой $y = 3x + 1$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка (0; 1).
• при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 + 1 = 4$. Точка (1; 4).

2. Для прямой $y = -x + 5$ найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -0 + 5 = 5$. Точка (0; 5).
• при $x = 5$, $y = -5 + 5 = 0$. Точка (5; 0).

Построим прямые по найденным точкам. Точка их пересечения на графике имеет координаты (1; 4).

Проверка:
$4 = 3 \cdot 1 + 1 \implies 4 = 3 + 1 \implies 4 = 4$ (истина).
$4 = -1 + 5 \implies 4 = 4$ (истина).
Решение найдено верно.

Ответ: (1; 4).

Решите систему уравнений:

58 а) $ \begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ x + 2y = -4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x - y = 4, \\ 2x + 3y = 10; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4x + 3y = 10, \\ x - 2y = -3; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x - y = 3, \\ 3x - 4y = 7. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ x + 2y = -4 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны ($-2$ и $2$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x - 2y) + (x + 2y) = 12 + (-4)$
$3x + x - 2y + 2y = 8$
$4x = 8$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{8}{4} = 2$
Теперь подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2 + 2y = -4$
$2y = -4 - 2$
$2y = -6$
$y = \frac{-6}{2} = -3$
Таким образом, решение системы: $x=2, y=-3$.
Ответ: $(2; -3)$

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = 4, \\ 2x + 3y = 10 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 3x - 4$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x + 3(3x - 4) = 10$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$2x + 9x - 12 = 10$
$11x = 10 + 12$
$11x = 22$
$x = \frac{22}{11} = 2$
Теперь найдем значение $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = 3x - 4$:
$y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$
Таким образом, решение системы: $x=2, y=2$.
Ответ: $(2; 2)$

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x + 3y = 10, \\ x - 2y = -3 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения легко выразить $x$:
$x = 2y - 3$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$4(2y - 3) + 3y = 10$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$8y - 12 + 3y = 10$
$11y = 10 + 12$
$11y = 22$
$y = \frac{22}{11} = 2$
Теперь найдем значение $x$, подставив $y=2$ в выражение $x = 2y - 3$:
$x = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$
Таким образом, решение системы: $x=1, y=2$.
Ответ: $(1; 2)$

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 3, \\ 3x - 4y = 7 \end{cases} $
Применим метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 3$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$3(y + 3) - 4y = 7$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$3y + 9 - 4y = 7$
$-y = 7 - 9$
$-y = -2$
$y = 2$
Теперь найдем значение $x$, подставив $y=2$ в выражение $x = y + 3$:
$x = 2 + 3 = 5$
Таким образом, решение системы: $x=5, y=2$.
Ответ: $(5; 2)$

59 a) $$\begin{cases} 3x + 4y = 55, \\ 7x - y = 56; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 9x + 8y = 21, \\ 6x + 4y = 13; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} 3x - 5y = 14, \\ x + 2y = 1; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} 3x - 2y = -12, \\ 5x + 4y = -4; \end{cases}$$

а)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3x + 4y = 55 \\ 7x - y = 56 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 7x - 56$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$3x + 4(7x - 56) = 55$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3x + 28x - 224 = 55$

$31x = 55 + 224$

$31x = 279$

$x = 9$

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение для y:

$y = 7(9) - 56 = 63 - 56 = 7$

Ответ: $(9; 7)$

б)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 9x + 8y = 21 \\ 6x + 4y = 13 \end{cases}$

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y в обоих уравнениях были одинаковыми:

$2 \cdot (6x + 4y) = 2 \cdot 13 \implies 12x + 8y = 26$

Теперь вычтем первое уравнение из полученного нового уравнения:

$(12x + 8y) - (9x + 8y) = 26 - 21$

$3x = 5$

$x = 5/3$

Подставим найденное значение x во второе исходное уравнение:

$6(5/3) + 4y = 13$

$10 + 4y = 13$

$4y = 3$

$y = 3/4$

Ответ: $(5/3; 3/4)$

в)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3x - 5y = 14 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим x:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(1 - 2y) - 5y = 14$

Решим полученное уравнение:

$3 - 6y - 5y = 14$

$3 - 11y = 14$

$-11y = 11$

$y = -1$

Теперь найдем x:

$x = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

Ответ: $(3; -1)$

г)

Решим систему уравнений: $\begin{cases} 3x - 2y = -12 \\ 5x + 4y = -4 \end{cases}$

Применим метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot (-12) \implies 6x - 4y = -24$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(6x - 4y) + (5x + 4y) = -24 + (-4)$

$11x = -28$

$x = -28/11$

Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение, чтобы найти y:

$3(-28/11) - 2y = -12$

$-84/11 - 2y = -12$

$-2y = -12 + 84/11$

$-2y = -132/11 + 84/11$

$-2y = -48/11$

$y = \frac{-48/11}{-2} = 24/11$

Ответ: $(-28/11; 24/11)$

60 Из городов $А$ и $В$, расстояние между которыми $350$ км, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через $3$ ч после начала движения им осталось пройти до встречи $20$ км. Найдите скорости мотоциклистов, если скорость одного из них на $10$ км/ч меньше скорости другого.

1. Найдем расстояние, которое мотоциклисты проехали вместе за 3 часа. Изначально расстояние между ними было 350 км, а через 3 часа им осталось проехать 20 км. Следовательно, суммарное расстояние, которое они преодолели, составляет:
$S_{пройд} = 350 \text{ км} - 20 \text{ км} = 330 \text{ км}$.

2. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость называется скоростью сближения. Она равна сумме их индивидуальных скоростей. Зная, что мотоциклисты вместе проехали 330 км за 3 часа, мы можем вычислить их скорость сближения:
$v_{сбл} = \frac{S_{пройд}}{t} = \frac{330}{3} = 110$ км/ч.

3. Обозначим скорость одного мотоциклиста как $v_1$, а другого — $v_2$. Мы знаем, что их сумма равна скорости сближения:
$v_1 + v_2 = 110$.

4. Также по условию задачи известно, что скорость одного из них на 10 км/ч меньше скорости другого. Запишем это в виде второго уравнения. Предположим, что $v_1$ — это скорость более быстрого мотоциклиста:
$v_1 - v_2 = 10$.

5. Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 110 \\ v_1 - v_2 = 10 \end{cases}$

6. Решим эту систему методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 110 + 10$
$2v_1 = 120$
$v_1 = \frac{120}{2} = 60$ км/ч.

7. Теперь найдем скорость второго мотоциклиста, подставив найденное значение $v_1$ в первое уравнение системы:
$60 + v_2 = 110$
$v_2 = 110 - 60 = 50$ км/ч.

Таким образом, скорость одного мотоциклиста равна 60 км/ч, а другого — 50 км/ч.

Ответ: скорости мотоциклистов 60 км/ч и 50 км/ч.

61 Один кусок электропровода на 54 м длиннее второго. Когда от каждого куска отрезали по 12 м, второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Сколько метров провода было в каждом куске?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим первоначальную длину первого куска провода как $L_1$ метров, а первоначальную длину второго куска — как $L_2$ метров.

Из условия известно, что один кусок на 54 м длиннее второго. Это можно записать в виде уравнения:
$L_1 = L_2 + 54$

Далее, от каждого куска отрезали по 12 м. Новые длины кусков стали:
Новая длина первого куска: $L_1' = L_1 - 12$
Новая длина второго куска: $L_2' = L_2 - 12$

После этого второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Это значит, что новая длина первого куска в 4 раза больше новой длины второго:
$L_1' = 4 \cdot L_2'$

Подставим выражения для новых длин в это уравнение:
$(L_1 - 12) = 4 \cdot (L_2 - 12)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $L_1 = L_2 + 54$
2) $L_1 - 12 = 4(L_2 - 12)$

Подставим выражение для $L_1$ из первого уравнения во второе:
$(L_2 + 54) - 12 = 4(L_2 - 12)$

Решим полученное уравнение относительно $L_2$:
$L_2 + 42 = 4L_2 - 48$
Перенесем все слагаемые с $L_2$ в правую часть, а числа — в левую:
$42 + 48 = 4L_2 - L_2$
$90 = 3L_2$
$L_2 = \frac{90}{3}$
$L_2 = 30$

Таким образом, первоначальная длина второго куска провода составляет 30 метров.

Теперь найдем первоначальную длину первого куска, используя первое уравнение:
$L_1 = L_2 + 54 = 30 + 54 = 84$

Итак, первоначальная длина первого куска провода — 84 метра.

Ответ: первоначальная длина первого куска провода составляла 84 метра, а второго — 30 метров.

62 В универмаг привезли 150 ковров; 20 % всех ковров были ручной работы, а остальные — фабричной. Сколько ковров фабричной работы привезли в универмаг?

Для того чтобы найти количество ковров фабричной работы, необходимо сначала определить, какую часть от общего количества они составляют. Всего в универмаг привезли 150 ковров, что составляет 100%.

Известно, что ковры ручной работы составляют 20% от всех ковров. Следовательно, оставшиеся ковры — фабричной работы. Найдем их долю в процентах:

$100\% - 20\% = 80\%$

Таким образом, 80% всех ковров — фабричной работы.

Теперь вычислим, сколько именно ковров составляют эти 80%. Для этого нужно общее количество ковров (150) умножить на долю, соответствующую 80%. Представим проценты в виде десятичной дроби:

$80\% = \frac{80}{100} = 0.8$

Теперь выполним умножение:

$150 \cdot 0.8 = 120$ (ковров)

Эту же задачу можно решить и другим способом. Сначала найти количество ковров ручной работы, составляющих 20% от 150:

$150 \cdot \frac{20}{100} = 150 \cdot 0.2 = 30$ (ковров ручной работы)

Затем вычесть это количество из общего числа ковров, чтобы найти количество ковров фабричной работы:

$150 - 30 = 120$ (ковров фабричной работы)

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 120 ковров фабричной работы.