Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Упростите выражение:

8 a) $a^5 \cdot a^7;$

б) $c^3 \cdot c^4;$

в) $r^2 \cdot r^9;$

г) $p^6 \cdot p^3.$

а) Чтобы упростить выражение $a^5 \cdot a^7$, необходимо применить свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Это свойство гласит, что при умножении степеней с одинаковым основанием ($a$) их показатели ($m$ и $n$) складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном случае основание равно $a$, а показатели степеней — 5 и 7.
Применим правило: $a^5 \cdot a^7 = a^{5+7} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$

б) Для выражения $c^3 \cdot c^4$ используется то же свойство умножения степеней, так как основания одинаковы и равны $c$.
Показатели степеней — 3 и 4.
Складываем показатели: $c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^{7}$.
Ответ: $c^{7}$

в) Упростим выражение $r^2 \cdot r^9$. Основание степени — $r$, показатели — 2 и 9.
Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели:
$r^2 \cdot r^9 = r^{2+9} = r^{11}$.
Ответ: $r^{11}$

г) В выражении $p^6 \cdot p^3$ основание равно $p$, а показатели степеней — 6 и 3.
Применяем правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием:
$p^6 \cdot p^3 = p^{6+3} = p^{9}$.
Ответ: $p^{9}$

9 a) $a^3b^5 \cdot a^4b^7;$

б) $c^4d^7 \cdot c^8d^3;$

в) $m^9n^2 \cdot n^5m^3;$

г) $p^2q^7 \cdot p^3q^6.$

а) Чтобы умножить одночлены $a^3b^5$ и $a^4b^7$, необходимо перемножить степени с одинаковыми основаниями. Для этого используется свойство умножения степеней, согласно которому показатели степеней складываются, а основание остается прежним: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями $a$ и $b$:

$a^3b^5 \cdot a^4b^7 = (a^3 \cdot a^4) \cdot (b^5 \cdot b^7)$

Применяя правило, сложим показатели степеней для каждого основания:

$a^{3+4} \cdot b^{5+7} = a^7b^{12}$

Ответ: $a^7b^{12}$

б) Аналогично предыдущему пункту, умножаем степени с одинаковыми основаниями $c$ и $d$ в выражении $c^4d^7 \cdot c^8d^3$. Используем то же правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сгруппируем и перемножим степени:

$c^4d^7 \cdot c^8d^3 = (c^4 \cdot c^8) \cdot (d^7 \cdot d^3)$

Складываем показатели для каждого основания:

$c^{4+8} \cdot d^{7+3} = c^{12}d^{10}$

Ответ: $c^{12}d^{10}$

в) В выражении $m^9n^2 \cdot n^5m^3$ сначала необходимо перегруппировать множители по основаниям $m$ и $n$, используя переместительное свойство умножения (от перемены мест множителей произведение не меняется).

$m^9n^2 \cdot n^5m^3 = (m^9 \cdot m^3) \cdot (n^2 \cdot n^5)$

Теперь применим правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$m^{9+3} \cdot n^{2+5} = m^{12}n^7$

Ответ: $m^{12}n^7$

г) Упростим выражение $p^2q^7 \cdot p^3q^6$, умножая степени с одинаковыми основаниями.

Группируем степени с основаниями $p$ и $q$:

$p^2q^7 \cdot p^3q^6 = (p^2 \cdot p^3) \cdot (q^7 \cdot q^6)$

Применяем свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и складываем показатели:

$p^{2+3} \cdot q^{7+6} = p^5q^{13}$

Ответ: $p^5q^{13}$

10 a) $(z^2)^4$,

б) $(a^6)^2$,

в) $(x^5)^6$,

г) $(d^3)^3$.

Для решения данных задач используется свойство степени, которое гласит: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются. Формула этого свойства выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а)

Дано выражение $(z^2)^4$. Здесь основание равно $z$, а показатели степеней — $2$ и $4$. Чтобы упростить выражение, нужно перемножить показатели степеней.

$(z^2)^4 = z^{2 \cdot 4} = z^8$.

Ответ: $z^8$.

б)

Дано выражение $(a^6)^2$. Основание в данном случае — $a$, а показатели степеней — $6$ и $2$. Применяем правило возведения степени в степень.

$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

в)

Дано выражение $(x^5)^6$. Основание этого выражения — $x$, а показатели степеней равны $5$ и $6$. Перемножаем показатели.

$(x^5)^6 = x^{5 \cdot 6} = x^{30}$.

Ответ: $x^{30}$.

г)

Дано выражение $(d^3)^3$. Основание — $d$, а показатели степеней — $3$ и $3$. Упрощаем, перемножая показатели.

$(d^3)^3 = d^{3 \cdot 3} = d^9$.

Ответ: $d^9$.

11 а) $(a^3)^2 \cdot a^5;$

б) $(d^4)^3 \cdot d^2;$

в) $(f^6)^2 \cdot f^4;$

г) $(x^4)^4 \cdot x^3.$

а) Чтобы упростить выражение $(a^3)^2 \cdot a^5$, необходимо последовательно применить два свойства степеней.

1. Свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Применяем его к первому множителю:

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

2. Теперь исходное выражение принимает вид: $a^6 \cdot a^5$.

3. Свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Применяем его к полученному выражению:

$a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$.

б) Упростим выражение $(d^4)^3 \cdot d^2$, используя те же свойства.

1. Возводим степень в степень:

$(d^4)^3 = d^{4 \cdot 3} = d^{12}$.

2. Умножаем степени с одинаковым основанием:

$d^{12} \cdot d^2 = d^{12+2} = d^{14}$.

Ответ: $d^{14}$.

в) Упростим выражение $(f^6)^2 \cdot f^4$.

1. Применим правило возведения степени в степень:

$(f^6)^2 = f^{6 \cdot 2} = f^{12}$.

2. Затем применим правило умножения степеней:

$f^{12} \cdot f^4 = f^{12+4} = f^{16}$.

Ответ: $f^{16}$.

г) Упростим выражение $(x^4)^4 \cdot x^3$.

1. Сначала возводим степень в степень:

$(x^4)^4 = x^{4 \cdot 4} = x^{16}$.

2. Далее умножаем степени с одинаковым основанием:

$x^{16} \cdot x^3 = x^{16+3} = x^{19}$.

Ответ: $x^{19}$.

12 а) $\frac{(x^3)^2}{x^2 \cdot x^3}$;

б) $\frac{(x^4)^2 \cdot x^3}{x^5 \cdot (x^3)^2}$;

в) $\frac{(x^3)^3}{x^2 \cdot x^4}$;

г) $\frac{(x^3)^5}{(x^2)^4 \cdot x^3}$.

а)

Для упрощения выражения $\frac{(x^3)^2}{x^2 \cdot x^3}$ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Сначала упростим числитель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$

2. Затем упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$

3. Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x^1 = x$

Ответ: $x$

б)

Упростим выражение $\frac{(x^4)^2 \cdot x^3}{x^5 \cdot (x^3)^2}$, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель, последовательно применяя правила возведения степени в степень и умножения степеней:

$(x^4)^2 \cdot x^3 = x^{4 \cdot 2} \cdot x^3 = x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$

2. Аналогично упростим знаменатель:

$x^5 \cdot (x^3)^2 = x^5 \cdot x^{3 \cdot 2} = x^5 \cdot x^6 = x^{5+6} = x^{11}$

3. Выполним деление, зная, что любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно единице. Также можно применить правило деления степеней:

$\frac{x^{11}}{x^{11}} = x^{11-11} = x^0 = 1$ (при $x \neq 0$)

Ответ: $1$

в)

Упростим выражение $\frac{(x^3)^3}{x^2 \cdot x^4}$.

1. Упростим числитель по правилу возведения степени в степень:

$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$

2. Упростим знаменатель по правилу умножения степеней:

$x^2 \cdot x^4 = x^{2+4} = x^6$

3. Выполним деление по правилу деления степеней:

$\frac{x^9}{x^6} = x^{9-6} = x^3$

Ответ: $x^3$

г)

Упростим выражение $\frac{(x^3)^5}{(x^2)^4 \cdot x^3}$.

1. Упростим числитель:

$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$

2. Упростим знаменатель, сначала возведя в степень, а затем перемножив:

$(x^2)^4 \cdot x^3 = x^{2 \cdot 4} \cdot x^3 = x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11}$

3. Выполним деление степеней:

$\frac{x^{15}}{x^{11}} = x^{15-11} = x^4$

Ответ: $x^4$

13 Вычислите:

а) $\frac{13^6 \cdot 2^6}{26^5}$;

б) $\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^5}$;

в) $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^4}$;

г) $\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{13^6 \cdot 2^6}{26^5}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим свойство умножения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ к числителю:
$13^6 \cdot 2^6 = (13 \cdot 2)^6 = 26^6$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$\frac{26^6}{26^5}$.
Далее, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{26^6}{26^5} = 26^{6-5} = 26^1 = 26$.
Ответ: 26

б) Рассмотрим выражение $\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^5}$.
Для числителя применим свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$7^{11} \cdot 9^{11} = (7 \cdot 9)^{11} = 63^{11}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{63^{11}}{63^5}$.
Теперь воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{63^{11}}{63^5} = 63^{11-5} = 63^6$.
Осталось вычислить значение $63^6$:
$63^6 = 62,523,502,209$.
Ответ: 62,523,502,209

в) Вычислим значение выражения $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^4}$.
Преобразуем числитель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$2^8 \cdot 3^8 = (2 \cdot 3)^8 = 6^8$.
Выражение примет вид:
$\frac{6^8}{6^4}$.
Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$6^{8-4} = 6^4$.
Вычислим полученное значение:
$6^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 36 = 1296$.
Ответ: 1296

г) Рассмотрим выражение $\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}$.
Преобразуем знаменатель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{12^6}{12^5}$.
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$12^{6-5} = 12^1 = 12$.
Ответ: 12

14 Найдите значение выражения:

а) $\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}$;

б) $\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}$;

в) $\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}$;

г) $\frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2}$.

а) $\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}$

Для решения данного примера разложим каждое число в числителе и знаменателе на простые множители. Это позволит нам использовать свойства степеней для упрощения выражения.
$25 = 5^2$
$14 = 2 \cdot 7$
$49 = 7^2$
$10 = 2 \cdot 5$
Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6}$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{5^{2 \cdot 3} \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6} = \frac{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}$

Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{6-6} \cdot 2^{2-6} \cdot 7^{2-2} = 5^0 \cdot 2^{-4} \cdot 7^0 = 1 \cdot \frac{1}{2^4} \cdot 1 = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

б) $\frac{12^2 \cdot 35^3}{28^2 \cdot 15^4}$

Разложим числа на простые множители:
$12 = 2^2 \cdot 3$
$35 = 5 \cdot 7$
$28 = 2^2 \cdot 7$
$15 = 3 \cdot 5$
Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot (5 \cdot 7)^3}{(2^2 \cdot 7)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{(2^2)^2 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4} = \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^4 \cdot 7^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^4} \cdot \frac{3^2}{3^4} \cdot \frac{5^3}{5^4} \cdot \frac{7^3}{7^2} = 2^{4-4} \cdot 3^{2-4} \cdot 5^{3-4} \cdot 7^{3-2} = 2^0 \cdot 3^{-2} \cdot 5^{-1} \cdot 7^1 = 1 \cdot \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{5} \cdot 7 = \frac{7}{9 \cdot 5} = \frac{7}{45}$

Ответ: $\frac{7}{45}$

в) $\frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3}$

Разложим числа на простые множители:
$36 = 2^2 \cdot 3^2$
$15 = 3 \cdot 5$
$18 = 2 \cdot 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2^2 \cdot 3^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3}$

Применим свойства степеней для раскрытия скобок:

$\frac{(2^2)^3 \cdot (3^2)^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot (3^2)^4 \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3}$

Объединим степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^6 \cdot 3^{6+2} \cdot 5^2}{2^{4+3} \cdot 3^8 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3}$

Сократим дроби:

$2^{6-7} \cdot 3^{8-8} \cdot 5^{2-3} = 2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

г) $\frac{22^4 \cdot 3^3}{6^2 \cdot 121^2}$

Разложим числа на простые множители:
$22 = 2 \cdot 11$
$3$ — простое число
$6 = 2 \cdot 3$
$121 = 11^2$
Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 11)^4 \cdot 3^3}{(2 \cdot 3)^2 \cdot (11^2)^2}$

Используя свойства степеней, раскроем скобки:

$\frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^{2 \cdot 2}} = \frac{2^4 \cdot 11^4 \cdot 3^3}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^4}$

Сократим степени с одинаковыми основаниями:

$2^{4-2} \cdot 3^{3-2} \cdot 11^{4-4} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 11^0 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$

Ответ: $12$

Упростите выражение:

15 a) $12a - (b - 2a);$

б) $(2x + 3y) - (x - 2y);$

в) $5b + (-b - 5);$

г) $(3x - 5y) + (-3x + y).$

а) Чтобы упростить выражение $12a - (b - 2a)$, нужно раскрыть скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные.
$12a - (b - 2a) = 12a - b + 2a$.
Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сложим или вычтем члены с одинаковой переменной. В данном случае это $12a$ и $2a$.
$(12a + 2a) - b = 14a - b$.
Ответ: $14a - b$.

б) Чтобы упростить выражение $(2x + 3y) - (x - 2y)$, раскроем скобки. Перед первой скобкой нет знака (подразумевается плюс), поэтому мы ее просто убираем. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$(2x + 3y) - (x - 2y) = 2x + 3y - x + 2y$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно для $x$ и отдельно для $y$.
$(2x - x) + (3y + 2y) = x + 5y$.
Ответ: $x + 5y$.

в) Чтобы упростить выражение $5b + (-b - 5)$, раскроем скобки. Перед скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых внутри скобки не меняются.
$5b + (-b - 5) = 5b - b - 5$.
Приведем подобные слагаемые с переменной $b$.
$(5b - b) - 5 = 4b - 5$.
Ответ: $4b - 5$.

г) Чтобы упростить выражение $(3x - 5y) + (-3x + y)$, раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс (перед первой неявно), знаки слагаемых внутри них не меняются.
$(3x - 5y) + (-3x + y) = 3x - 5y - 3x + y$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно для $x$ и отдельно для $y$.
$(3x - 3x) + (-5y + y) = 0 - 4y = -4y$.
Ответ: $-4y$.

16 a) $3a + 2a(a - 3);$

б) $5a(a - 2b) - 2b(4a + b);$

в) $4x - 3x(x + 1);$

г) $2x^2(x + 1) + x^2(x - 3).$

а) Чтобы упростить выражение $3a + 2a(a - 3)$, сначала необходимо раскрыть скобки. Для этого умножим $2a$ на каждый член в скобках $(a - 3)$:

$2a \cdot a = 2a^2$

$2a \cdot (-3) = -6a$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$3a + 2a^2 - 6a$

Далее приведем подобные слагаемые. В данном случае это $3a$ и $-6a$:

$2a^2 + (3a - 6a) = 2a^2 - 3a$

Ответ: $2a^2 - 3a$

б) Чтобы упростить выражение $5a(a - 2b) - 2b(4a + b)$, необходимо раскрыть обе скобки.

Раскроем первую скобку, умножив $5a$ на $(a - 2b)$:

$5a \cdot a - 5a \cdot 2b = 5a^2 - 10ab$

Раскроем вторую скобку, умножив $-2b$ на $(4a + b)$:

$-2b \cdot 4a - 2b \cdot b = -8ab - 2b^2$

Теперь объединим результаты:

$5a^2 - 10ab - 8ab - 2b^2$

Приведем подобные слагаемые ($-10ab$ и $-8ab$):

$5a^2 - (10ab + 8ab) - 2b^2 = 5a^2 - 18ab - 2b^2$

Ответ: $5a^2 - 18ab - 2b^2$

в) Чтобы упростить выражение $4x - 3x(x + 1)$, раскроем скобки, умножив $-3x$ на каждый член в скобках $(x + 1)$:

$-3x \cdot x - 3x \cdot 1 = -3x^2 - 3x$

Подставим результат в исходное выражение:

$4x - 3x^2 - 3x$

Приведем подобные слагаемые ($4x$ и $-3x$), переставив члены для удобства:

$-3x^2 + 4x - 3x = -3x^2 + x$

Ответ: $-3x^2 + x$

г) Чтобы упростить выражение $2x^2(x + 1) + x^2(x - 3)$, раскроем обе скобки.

Раскроем первую скобку, умножив $2x^2$ на $(x + 1)$:

$2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot 1 = 2x^3 + 2x^2$

Раскроем вторую скобку, умножив $x^2$ на $(x - 3)$:

$x^2 \cdot x - x^2 \cdot 3 = x^3 - 3x^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$2x^3 + 2x^2 + x^3 - 3x^2$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковой степенью $x$:

$(2x^3 + x^3) + (2x^2 - 3x^2) = 3x^3 - x^2$

Ответ: $3x^3 - x^2$

17 a) $(x - 4)(x + 5);$

б) $(x - 1)(2x + 3);$

в) $(x + 4)(-x + 2);$

г) $(3x - 2)(x - 1).$

а) Чтобы перемножить двучлены $(x - 4)$ и $(x + 5)$, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения.
$(x - 4)(x + 5) = x \cdot x + x \cdot 5 - 4 \cdot x - 4 \cdot 5 = x^2 + 5x - 4x - 20$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ в первой степени):
$x^2 + (5x - 4x) - 20 = x^2 + x - 20$.
Ответ: $x^2 + x - 20$

б) Раскроем скобки в выражении $(x - 1)(2x + 3)$ по тому же правилу:
$(x - 1)(2x + 3) = x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = 2x^2 + 3x - 2x - 3$.
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + (3x - 2x) - 3 = 2x^2 + x - 3$.
Ответ: $2x^2 + x - 3$

в) Перемножим двучлены $(x + 4)$ и $(-x + 2)$:
$(x + 4)(-x + 2) = x \cdot (-x) + x \cdot 2 + 4 \cdot (-x) + 4 \cdot 2 = -x^2 + 2x - 4x + 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + (2x - 4x) + 8 = -x^2 - 2x + 8$.
Ответ: $-x^2 - 2x + 8$

г) Раскроем скобки в выражении $(3x - 2)(x - 1)$:
$(3x - 2)(x - 1) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-1) - 2 \cdot x - 2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3x - 2x + 2$.
Приведем подобные слагаемые, обращая внимание на знаки:
$3x^2 + (-3x - 2x) + 2 = 3x^2 - 5x + 2$.
Ответ: $3x^2 - 5x + 2$

18 Укажите выражения, которые являются тождеством:

а) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(7 + a)$

б) $(a - 3)(a - 7) = (3 - a)(7 - a)$

в) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(-7 - a)$

г) $(a - 3)(a - 7) = -(a + 3)(-7 + a).$

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы проверить, является ли равенство тождеством, нужно преобразовать одну или обе его части и убедиться, что они идентичны.

а) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(7 + a)$

Преобразуем правую часть равенства. В выражении $(3 - a)$ вынесем $-1$ за скобки:

$(3 - a) = -(a - 3)$

Тогда правая часть примет вид:

$(3 - a)(7 + a) = -(a - 3)(a + 7)$

В результате получаем равенство:

$(a - 3)(a + 7) = -(a - 3)(a + 7)$

Это равенство выполняется только в том случае, если $(a - 3)(a + 7) = 0$, то есть при $a = 3$ или $a = -7$. Оно не является верным для всех значений переменной $a$. Следовательно, данное выражение не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

б) $(a - 3)(a - 7) = (3 - a)(7 - a)$

Преобразуем правую часть равенства. Вынесем $-1$ за скобки в каждом из множителей:

$(3 - a) = -(a - 3)$

$(7 - a) = -(a - 7)$

Подставим преобразованные выражения в правую часть:

$(3 - a)(7 - a) = (-(a - 3)) \cdot (-(a - 7)) = (-1) \cdot (a - 3) \cdot (-1) \cdot (a - 7) = (a - 3)(a - 7)$

Левая и правая части равенства полностью совпадают: $(a - 3)(a - 7) = (a - 3)(a - 7)$. Это равенство верно при любых значениях $a$. Следовательно, данное выражение является тождеством.

Ответ: является тождеством.

в) $(a - 3)(a + 7) = (3 - a)(-7 - a)$

Преобразуем правую часть равенства. Вынесем $-1$ за скобки в каждом из множителей:

$(3 - a) = -(a - 3)$

$(-7 - a) = -(7 + a) = -(a + 7)$

Подставим преобразованные выражения в правую часть:

$(3 - a)(-7 - a) = (-(a - 3)) \cdot (-(a + 7)) = (-1) \cdot (a - 3) \cdot (-1) \cdot (a + 7) = (a - 3)(a + 7)$

Левая и правая части равенства полностью совпадают: $(a - 3)(a + 7) = (a - 3)(a + 7)$. Это равенство верно при любых значениях $a$. Следовательно, данное выражение является тождеством.

Ответ: является тождеством.

г) $(a - 3)(a - 7) = -(a + 3)(-7 + a)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства для их сравнения.

Левая часть:

$(a - 3)(a - 7) = a^2 - 7a - 3a + 21 = a^2 - 10a + 21$

Правая часть:

$-(a + 3)(-7 + a) = -(a + 3)(a - 7) = -(a^2 - 7a + 3a - 21) = -(a^2 - 4a - 21) = -a^2 + 4a + 21$

Сравниваем полученные выражения:

$a^2 - 10a + 21$ и $-a^2 + 4a + 21$

Эти выражения не равны друг другу для всех значений $a$. Например, при $a=1$: левая часть равна $1 - 10 + 21 = 12$, а правая $-1 + 4 + 21 = 24$. Следовательно, данное выражение не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

Преобразуйте выражение, используя формулы сокращённого умножения:

19 а) $(a - b)(a + b);$

б) $(a - 2)(a + 2);$

в) $(1 - b)(1 + b);$

г) $(3a - b)(3a + b).$

Для преобразования данных выражений используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

а) $(a - b)(a + b)$
В этом выражении мы имеем классический вид формулы разности квадратов, где в роли первого слагаемого выступает $a$, а в роли второго — $b$.
Применяя формулу, получаем:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Ответ: $a^2 - b^2$

б) $(a - 2)(a + 2)$
Здесь первое слагаемое — это $a$, а второе — это $2$.
Подставляем эти значения в формулу разности квадратов:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$
Ответ: $a^2 - 4$

в) $(1 - b)(1 + b)$
В данном случае первое слагаемое равно $1$, а второе — $b$.
Применяем формулу:
$(1 - b)(1 + b) = 1^2 - b^2 = 1 - b^2$
Ответ: $1 - b^2$

г) $(3a - b)(3a + b)$
В этом выражении первое слагаемое представлено как $3a$, а второе — как $b$.
Возводим каждое слагаемое в квадрат в соответствии с формулой:
$(3a - b)(3a + b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$
Ответ: $9a^2 - b^2$