Страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Является ли алгебраической дробью выражение:

1.1 а) $\frac{3a^2}{5b^2}$;

б) $\frac{10x^2 + 4x - 7}{8}$;

в) $\frac{c^2}{b^2}$;

г) $\frac{3}{9m - 5}$?

Алгебраическая дробь — это дробное выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены. Ключевым признаком алгебраической дроби является то, что её знаменатель $Q$ обязательно содержит переменную. Если знаменатель является числом (константой), то выражение является целым, а не дробным.

a) В выражении $\frac{3a^2}{5b^2}$ числитель $3a^2$ и знаменатель $5b^2$ являются многочленами (в данном случае одночленами). Знаменатель содержит переменную $b$. Следовательно, данное выражение является алгебраической дробью.

Ответ: да, является.

б) В выражении $\frac{10x^2 + 4x - 7}{8}$ числитель $10x^2 + 4x - 7$ является многочленом. Знаменатель равен $8$, что является числом и не содержит переменных. Такое выражение называется целым выражением, а не алгебраической дробью. Его можно представить в виде многочлена: $\frac{10}{8}x^2 + \frac{4}{8}x - \frac{7}{8}$, или, после упрощения, $\frac{5}{4}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{7}{8}$.

Ответ: нет, не является.

в) В выражении $\frac{c^2}{b^2}$ числитель $c^2$ и знаменатель $b^2$ являются одночленами. Знаменатель $b^2$ содержит переменную $b$. Таким образом, это выражение является алгебраической дробью.

Ответ: да, является.

г) В выражении $\frac{3}{9m - 5}$ числитель равен $3$ (многочлен нулевой степени), а знаменатель $9m - 5$ — это многочлен, который содержит переменную $m$. Следовательно, данное выражение является алгебраической дробью.

Ответ: да, является.

1.2 а) $ \frac{7a^2 + 4}{14}; $

б) $ \frac{2f^2 + 6f + 15}{2f} - 5f; $

в) $ 3t - \frac{p^2}{t^2}; $

г) $ \frac{6nm + 3m^2n^2}{7n - 12m} ? $

а) Чтобы упростить выражение $\frac{7a^2 + 4}{14}$, можно разделить каждый член числителя на знаменатель.
Представим дробь в виде суммы двух дробей:
$\frac{7a^2 + 4}{14} = \frac{7a^2}{14} + \frac{4}{14}$
Теперь сократим каждую дробь по отдельности:
$\frac{7a^2}{14} = \frac{7 \cdot a^2}{7 \cdot 2} = \frac{a^2}{2}$
$\frac{4}{14} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 7} = \frac{2}{7}$
Сложив полученные дроби, получаем результат:
$\frac{a^2}{2} + \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{a^2}{2} + \frac{2}{7}$

б) Чтобы выполнить вычитание $\frac{2f^2 + 6f + 15}{2f} - 5f$, нужно привести выражения к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь $2f$.
Представим $5f$ в виде дроби со знаменателем $2f$:
$5f = \frac{5f \cdot 2f}{2f} = \frac{10f^2}{2f}$
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{2f^2 + 6f + 15}{2f} - \frac{10f^2}{2f} = \frac{(2f^2 + 6f + 15) - 10f^2}{2f}$
Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые:
$2f^2 + 6f + 15 - 10f^2 = -8f^2 + 6f + 15$
В результате получаем:
$\frac{-8f^2 + 6f + 15}{2f}$
Ответ: $\frac{-8f^2 + 6f + 15}{2f}$

в) Для выполнения вычитания $3t - \frac{p^2}{t^2}$ приведем оба члена к общему знаменателю $t^2$.
Представим $3t$ в виде дроби со знаменателем $t^2$:
$3t = \frac{3t \cdot t^2}{t^2} = \frac{3t^3}{t^2}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{3t^3}{t^2} - \frac{p^2}{t^2} = \frac{3t^3 - p^2}{t^2}$
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{3t^3 - p^2}{t^2}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{6nm + 3m^2n^2}{7n - 12m}$. Для его упрощения попытаемся разложить на множители числитель и знаменатель.
Разложим числитель, вынеся за скобки общий множитель $3mn$:
$6nm + 3m^2n^2 = 3mn(2 + mn)$
Знаменатель $7n - 12m$ разложить на множители нельзя.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{3mn(2 + mn)}{7n - 12m}$
Поскольку у числителя и знаменателя нет общих множителей, сократить дробь нельзя. Выражение уже представлено в простейшем виде.
Ответ: $\frac{3mn(2 + mn)}{7n - 12m}$

Найдите значение алгебраической дроби:

1.3 а) $\frac{x-2}{x}$ при $x = 3$;

б) $\frac{(t-7)^2}{2s}$ при $t = 4, s = -1$;

в) $\frac{y+6}{y-2}$ при $y = 4$;

г) $\frac{x-5}{(2y+3)^2}$ при $x = 2, y = -2$.

а) Чтобы найти значение алгебраической дроби $\frac{x-2}{x}$ при $x = 3$, необходимо подставить данное значение $x$ в выражение.

Подставляем $x = 3$:

$\frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Чтобы найти значение алгебраической дроби $\frac{(t-7)^2}{2s}$ при $t = 4$ и $s = -1$, необходимо подставить данные значения $t$ и $s$ в выражение.

Подставляем $t = 4$ и $s = -1$:

$\frac{(4-7)^2}{2 \cdot (-1)} = \frac{(-3)^2}{-2} = \frac{9}{-2} = -4.5$

Ответ: $-4.5$

в) Чтобы найти значение алгебраической дроби $\frac{y+6}{y-2}$ при $y = 4$, необходимо подставить данное значение $y$ в выражение.

Подставляем $y = 4$:

$\frac{4+6}{4-2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: $5$

г) Чтобы найти значение алгебраической дроби $\frac{x-5}{(2y+3)^2}$ при $x = 2$ и $y = -2$, необходимо подставить данные значения $x$ и $y$ в выражение.

Подставляем $x = 2$ и $y = -2$:

$\frac{2-5}{(2 \cdot (-2) + 3)^2} = \frac{-3}{(-4+3)^2} = \frac{-3}{(-1)^2} = \frac{-3}{1} = -3$

Ответ: $-3$

1.4 а) $\frac{(p+8)^2}{p^2+4}$ при $p = -2$;

б) $\frac{(t+4s)^2}{2st}$ при $t = 4, s = -1$;

в) $\frac{s^2-1}{-2s}$ при $s = \frac{1}{2}$;

г) $\frac{x-5y}{x^2-y^2}$ при $x = 2, y = -2$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{(p+8)^2}{p^2+4}$ при $p = -2$, подставим это значение в выражение:

$\frac{(-2+8)^2}{(-2)^2+4} = \frac{6^2}{4+4} = \frac{36}{8} = 4,5$

Ответ: 4,5

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{(t+4s)^2}{2st}$ при $t = 4, s = -1$, подставим эти значения в выражение:

$\frac{(4+4 \cdot (-1))^2}{2 \cdot (-1) \cdot 4} = \frac{(4-4)^2}{-8} = \frac{0^2}{-8} = \frac{0}{-8} = 0$

Ответ: 0

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{s^2-1}{-2s}$ при $s = \frac{1}{2}$, подставим это значение в выражение:

$\frac{(\frac{1}{2})^2 - 1}{-2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{-1} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{4}{4}}{-1} = \frac{-\frac{3}{4}}{-1} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{x-5y}{x^2-y^2}$ при $x = 2, y = -2$, подставим эти значения в выражение:

$\frac{2 - 5 \cdot (-2)}{2^2 - (-2)^2} = \frac{2 - (-10)}{4 - 4} = \frac{2+10}{0} = \frac{12}{0}$

Знаменатель дроби равен нулю. Так как на ноль делить нельзя, то при данных значениях переменных выражение не имеет смысла.

Ответ: выражение не имеет смысла.