Страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.20 Определите знаки дробей $\frac{x}{y}$, $\frac{x^2}{y}$, $\frac{x}{y^2}$, если известно, что:

а) $x > 0, y > 0;$

б) $x > 0, y < 0;$

в) $x < 0, y > 0;$

г) $x < 0, y < 0.$

Для определения знаков дробей воспользуемся следующими правилами:
1. Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. То есть, если $x \ne 0$, то $x^2 > 0$, и если $y \ne 0$, то $y^2 > 0$.
2. Знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя:
- если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), дробь положительна.
- если числитель и знаменатель имеют разные знаки (один положителен, другой отрицателен), дробь отрицательна.

а) Дано, что $x > 0$ и $y > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат положительного числа), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x^2}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат положительного числа). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y^2} > 0$.
Ответ: все три дроби положительны.

б) Дано, что $x > 0$ и $y < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат положительного числа), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x^2}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x > 0$ (положительный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y^2} > 0$.
Ответ: дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{x^2}{y}$ отрицательны, дробь $\frac{x}{y^2}$ положительна.

в) Дано, что $x < 0$ и $y > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа), знаменатель $y > 0$ (положительный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x^2}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат положительного числа). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y^2} < 0$.
Ответ: дроби $\frac{x}{y}$ и $\frac{x}{y^2}$ отрицательны, дробь $\frac{x^2}{y}$ положительна.

г) Дано, что $x < 0$ и $y < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки одинаковые, значит, дробь положительна: $\frac{x}{y} > 0$.
- Дробь $\frac{x^2}{y}$: числитель $x^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа), знаменатель $y < 0$ (отрицательный). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x^2}{y} < 0$.
- Дробь $\frac{x}{y^2}$: числитель $x < 0$ (отрицательный), знаменатель $y^2 > 0$ (квадрат отрицательного числа). Знаки разные, значит, дробь отрицательна: $\frac{x}{y^2} < 0$.
Ответ: дробь $\frac{x}{y}$ положительна, дроби $\frac{x^2}{y}$ и $\frac{x}{y^2}$ отрицательны.

1.21 Докажите, что при любых значениях переменной:

а) значение дроби $ \frac{5}{a^2 + 7} $ положительно;

б) значение дроби $ \frac{-3}{b^2 + 4} $ отрицательно;

в) значение дроби $ \frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8} $ неотрицательно;

г) значение дроби $ \frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3} $ неположительно.

а) значение дроби $\frac{5}{a^2 + 7}$ положительно;

Чтобы доказать, что значение дроби $\frac{5}{a^2 + 7}$ всегда положительно, проанализируем её числитель и знаменатель.
Числитель дроби равен 5. Это число положительное: $5 > 0$.
Знаменатель дроби равен $a^2 + 7$. Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 7, результат будет строго положительным: $a^2 + 7 \ge 0 + 7$, следовательно, $a^2 + 7 \ge 7$. Таким образом, знаменатель всегда положителен.
Частное от деления положительного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является положительным числом. Следовательно, значение дроби $\frac{5}{a^2 + 7}$ всегда положительно.
Ответ: Доказано, что значение дроби положительно при любых значениях $a$.

б) значение дроби $\frac{-3}{b^2 + 4}$ отрицательно;

Рассмотрим дробь $\frac{-3}{b^2 + 4}$.
Числитель дроби равен -3. Это число отрицательное: $-3 < 0$.
Знаменатель дроби равен $b^2 + 4$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то сумма $b^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4: $b^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что знаменатель всегда строго положителен.
Частное от деления отрицательного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является отрицательным числом. Следовательно, значение дроби $\frac{-3}{b^2 + 4}$ всегда отрицательно.
Ответ: Доказано, что значение дроби отрицательно при любых значениях $b$.

в) значение дроби $\frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8}$ неотрицательно;

Рассмотрим дробь $\frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8}$. "Неотрицательно" означает "больше или равно нулю" ($ \ge 0 $).
Числитель дроби равен $(x - 3)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Поэтому при любом значении $x$ выражение $(x - 3)^2 \ge 0$.
Знаменатель дроби равен $a^2 + 8$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то сумма $a^2 + 8$ всегда будет больше или равна 8: $a^2 + 8 \ge 8$. Таким образом, знаменатель всегда строго положителен.
Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является неотрицательным числом. Оно равно нулю, если числитель равен нулю (при $x = 3$), и положительно во всех остальных случаях. Следовательно, значение дроби $\frac{(x - 3)^2}{a^2 + 8}$ всегда неотрицательно.
Ответ: Доказано, что значение дроби неотрицательно при любых значениях $x$ и $a$.

г) значение дроби $\frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3}$ неположительно.

Рассмотрим дробь $\frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3}$. "Неположительно" означает "меньше или равно нулю" ($ \le 0 $).
Числитель дроби равен $(y - 6)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $(y - 6)^2 \ge 0$ при любом значении $y$.
Знаменатель дроби равен $-y^2 - 3$. Преобразуем его: $-y^2 - 3 = -(y^2 + 3)$. Выражение $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), поэтому $y^2 + 3$ всегда положительно ($y^2 + 3 \ge 3$). Следовательно, выражение $-(y^2 + 3)$ всегда отрицательно.
Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на отрицательное число (знаменатель) всегда является неположительным числом. Оно равно нулю, если числитель равен нулю (при $y = 6$), и отрицательно во всех остальных случаях. Следовательно, значение дроби $\frac{(y - 6)^2}{-y^2 - 3}$ всегда неположительно.
Ответ: Доказано, что значение дроби неположительно при любых значениях $y$.

Найдите значение алгебраической дроби:

1.22 a) $\frac{(3a - b)^2}{a + b}$ при $a = 4, b = -2;

в) $\frac{(x - y)^4}{x^2 + y^2}$ при $x = 3, y = 4;

б) $\frac{c^6 - 1}{d^4 + 2}$ при $c = -2, d = 1;

г) $\frac{2mn}{m^3 + n^3}$ при $m = 2, n = -1.

а) Для нахождения значения дроби $\frac{(3a - b)^2}{a + b}$ при $a = 4$ и $b = -2$, подставим данные значения переменных в выражение.

Сначала выполним подстановку и вычислим значение в числителе: $(3a - b)^2 = (3 \cdot 4 - (-2))^2 = (12 + 2)^2 = 14^2 = 196$.

Затем выполним подстановку и вычислим значение в знаменателе: $a + b = 4 + (-2) = 4 - 2 = 2$.

Теперь найдем значение всей дроби, разделив результат числителя на результат знаменателя: $\frac{196}{2} = 98$.

Ответ: 98

б) Для нахождения значения дроби $\frac{c^6 - 1}{d^4 + 2}$ при $c = -2$ и $d = 1$, подставим данные значения переменных в выражение.

Вычислим значение числителя: $c^6 - 1 = (-2)^6 - 1$. Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат: $(-2)^6 = 64$. Тогда $64 - 1 = 63$.

Вычислим значение знаменателя: $d^4 + 2 = 1^4 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Найдем значение дроби: $\frac{63}{3} = 21$.

Ответ: 21

в) Для нахождения значения дроби $\frac{(x - y)^4}{x^2 + y^2}$ при $x = 3$ и $y = 4$, подставим данные значения переменных в выражение.

Вычислим значение числителя: $(x - y)^4 = (3 - 4)^4 = (-1)^4$. Возведение -1 в четную степень дает 1. Таким образом, $(-1)^4 = 1$.

Вычислим значение знаменателя: $x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Найдем значение дроби: $\frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$

г) Для нахождения значения дроби $\frac{2mn}{m^3 + n^3}$ при $m = 2$ и $n = -1$, подставим данные значения переменных в выражение.

Вычислим значение числителя: $2mn = 2 \cdot 2 \cdot (-1) = -4$.

Вычислим значение знаменателя: $m^3 + n^3 = 2^3 + (-1)^3$. Возведение -1 в нечетную степень дает -1. Таким образом, $2^3 + (-1)^3 = 8 + (-1) = 8 - 1 = 7$.

Найдем значение дроби: $\frac{-4}{7} = -\frac{4}{7}$.

Ответ: $-\frac{4}{7}$

1.23 а) $ \frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2} $ при $ a = 4, b = -2; $

б) $ \frac{c^3 + dc}{c^2d + d^2} $ при $ c = -2, d = 10; $

в) $ \frac{x^2 + y^2}{x^4 - y^4} $ при $ x = 13, y = 12; $

г) $ \frac{m^4 - n^4}{m^3n - mn^3} $ при $ m = 2, n = -1. $

а) Сначала упростим данное выражение. Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Знаменатель представляет собой квадрат суммы $(a + b)^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$\frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)(a + b)}$

При условии, что $a + b \neq 0$, можно сократить дробь на $(a + b)$:

$\frac{a - b}{a + b}$

Подставим заданные значения $a = 4$ и $b = -2$ в упрощенное выражение. Сначала проверим условие $a + b \neq 0$: $4 + (-2) = 2 \neq 0$.

$\frac{4 - (-2)}{4 + (-2)} = \frac{4 + 2}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3

б) Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе. В числителе $c^3 + dc$ вынесем за скобки $c$: $c(c^2 + d)$. В знаменателе $c^2d + d^2$ вынесем за скобки $d$: $d(c^2 + d)$.

Получаем дробь:

$\frac{c(c^2 + d)}{d(c^2 + d)}$

При условии, что $c^2 + d \neq 0$, можно сократить дробь на $(c^2 + d)$, получив $\frac{c}{d}$. Проверим условие для заданных значений $c = -2$ и $d = 10$: $(-2)^2 + 10 = 4 + 10 = 14 \neq 0$.

Подставим значения в упрощенное выражение:

$\frac{-2}{10} = -0,2$

Ответ: -0,2

в) Сначала упростим данное выражение. Знаменатель $x^4 - y^4$ можно представить как разность квадратов $(x^2)^2 - (y^2)^2$. Используя формулу разности квадратов, раскладываем знаменатель на множители:

$x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{x^2 + y^2}{x^4 - y^4} = \frac{x^2 + y^2}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}$

При условии, что $x^2 + y^2 \neq 0$, можно сократить дробь на $(x^2 + y^2)$: $\frac{1}{x^2 - y^2}$. Проверим условие для заданных значений $x = 13$ и $y = 12$: $13^2 + 12^2 = 169 + 144 = 313 \neq 0$.

Подставим значения в упрощенное выражение. Знаменатель $13^2 - 12^2$ также является разностью квадратов:

$\frac{1}{13^2 - 12^2} = \frac{1}{(13 - 12)(13 + 12)} = \frac{1}{1 \cdot 25} = \frac{1}{25}$

Ответ: $\frac{1}{25}$

г) Упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель. Числитель $m^4 - n^4$ — это разность квадратов: $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m - n)(m + n)(m^2 + n^2)$. В знаменателе $m^3n - mn^3$ вынесем за скобки общий множитель $mn$: $mn(m^2 - n^2) = mn(m - n)(m + n)$.

Подставим разложенные части в исходную дробь:

$\frac{(m - n)(m + n)(m^2 + n^2)}{mn(m - n)(m + n)}$

При условии, что $m, n, (m-n), (m+n)$ не равны нулю, можно сократить дробь на $(m - n)(m + n)$: $\frac{m^2 + n^2}{mn}$. Проверим условия для $m = 2$ и $n = -1$: $2\neq0$, $-1\neq0$, $2-(-1)=3\neq0$, $2+(-1)=1\neq0$. Все условия выполнены.

Подставим значения в упрощенное выражение:

$\frac{2^2 + (-1)^2}{2 \cdot (-1)} = \frac{4 + 1}{-2} = \frac{5}{-2} = -2,5$

Ответ: -2,5

Установите, при каких значениях переменной алгебраическая дробь имеет смысл:

1.24 a) $\frac{3x^2}{x^2 + 3}$

б) $\frac{15b + 1}{b^2(b^2 + 1)}$

в) $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}$

г) $\frac{8m - 3}{m^2(m^2 + 4)}$

Алгебраическая дробь имеет смысл (определена) тогда и только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Чтобы найти значения переменной, при которых дробь имеет смысл, необходимо найти значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

а) $\frac{3x^2}{x^2 + 3}$

Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель $x^2 + 3$ равен нулю.

$x^2 + 3 = 0$

$x^2 = -3$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \geq 0$). Следовательно, выражение $x^2 + 3$ всегда положительно (а именно, $x^2 + 3 \geq 3$). Знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: дробь имеет смысл при любых значениях $x$.

б) $\frac{15b + 1}{b^2(b^2 + 1)}$

Найдем значения переменной $b$, при которых знаменатель $b^2(b^2 + 1)$ равен нулю.

$b^2(b^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $b^2 = 0 \Rightarrow b = 0$.

2) $b^2 + 1 = 0 \Rightarrow b^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $b^2 \geq 0$.

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $b = 0$.

Ответ: при всех значениях $b$, кроме $b=0$.

в) $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}$

Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель $x^2 + 5$ равен нулю.

$x^2 + 5 = 0$

$x^2 = -5$

Уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, $x^2 + 5 \geq 5$, и знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: дробь имеет смысл при любых значениях $x$.

г) $\frac{8m - 3}{m^2(m^2 + 4)}$

Найдем значения переменной $m$, при которых знаменатель $m^2(m^2 + 4)$ равен нулю.

$m^2(m^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$.

2) $m^2 + 4 = 0 \Rightarrow m^2 = -4$. Уравнение не имеет действительных корней, так как $m^2 \geq 0$.

Значит, знаменатель равен нулю только при $m = 0$.

Ответ: при всех значениях $m$, кроме $m=0$.

1.25 a) $\frac{3x^2 + 2x + 5}{(3x - 1)(2x + 5)};$

б) $\frac{9y^2 - 5y + 4}{(5y - 3)(31 + 93y)};$

в) $\frac{17s^2 + 24s + 1}{(44s + 1)(32s - 3)};$

г) $\frac{52r^2 + 13r - 5}{(5r - 15)(9r - 25)}.$

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{3x^2 + 2x + 5}{(3x - 1)(2x + 5)}$, необходимо проверить, имеют ли числитель и знаменатель общие множители. Знаменатель уже разложен на множители $(3x - 1)$ и $(2x + 5)$.

Проанализируем числитель $3x^2 + 2x + 5$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен $3x^2 + 2x + 5$ не имеет действительных корней и не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами. Следовательно, числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Таким образом, данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{3x^2 + 2x + 5}{(3x - 1)(2x + 5)}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{9y^2 - 5y + 4}{(5y - 3)(31 + 93y)}$.

Сначала упростим знаменатель, вынеся общий множитель $31$ из второй скобки:

$(5y - 3)(31 + 93y) = (5y - 3) \cdot 31(1 + 3y) = 31(5y - 3)(3y + 1)$.

Теперь проанализируем числитель $9y^2 - 5y + 4$. Найдем его дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 25 - 144 = -119$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), числитель не имеет действительных корней и не разлагается на линейные множители. Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих множителей.

Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{9y^2 - 5y + 4}{(5y - 3)(31 + 93y)}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{17s^2 + 24s + 1}{(44s + 1)(32s - 3)}$.

Знаменатель разложен на множители $(44s + 1)$ и $(32s - 3)$. Дробь можно сократить, если числитель $P(s) = 17s^2 + 24s + 1$ делится на один из этих множителей. Это означает, что один из корней знаменателя, $s_1 = -\frac{1}{44}$ или $s_2 = \frac{3}{32}$, также является корнем числителя.

Проверим корень $s_1 = -\frac{1}{44}$, подставив его в числитель:

$17(-\frac{1}{44})^2 + 24(-\frac{1}{44}) + 1 = 17(\frac{1}{1936}) - \frac{24}{44} + 1 = \frac{17}{1936} - \frac{6}{11} + 1 = \frac{17 - 6 \cdot 176 + 1936}{1936} = \frac{17 - 1056 + 1936}{1936} = \frac{897}{1936} \neq 0$.

Проверим корень $s_2 = \frac{3}{32}$:

$17(\frac{3}{32})^2 + 24(\frac{3}{32}) + 1 = 17(\frac{9}{1024}) + \frac{72}{32} + 1 = \frac{153}{1024} + \frac{9}{4} + 1 = \frac{153 + 9 \cdot 256 + 1024}{1024} = \frac{153 + 2304 + 1024}{1024} = \frac{3481}{1024} \neq 0$.

Поскольку ни один из корней знаменателя не обращает числитель в ноль, общих множителей нет. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{17s^2 + 24s + 1}{(44s + 1)(32s - 3)}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{52r^2 + 13r - 5}{(5r - 15)(9r - 25)}$.

Упростим знаменатель, вынеся общий множитель $5$ из первой скобки:

$(5r - 15)(9r - 25) = 5(r - 3)(9r - 25)$.

Множители знаменателя: $5$, $(r - 3)$ и $(9r - 25)$. Корни, при которых знаменатель равен нулю: $r_1=3$ и $r_2=\frac{25}{9}$. Проверим, являются ли эти значения корнями числителя $P(r) = 52r^2 + 13r - 5$.

Подставим $r_1 = 3$ в числитель:

$52(3)^2 + 13(3) - 5 = 52 \cdot 9 + 39 - 5 = 468 + 34 = 502 \neq 0$.

Подставим $r_2 = \frac{25}{9}$ в числитель:

$52(\frac{25}{9})^2 + 13(\frac{25}{9}) - 5 = 52(\frac{625}{81}) + \frac{325}{9} - 5 = \frac{32500}{81} + \frac{325 \cdot 9}{81} - \frac{5 \cdot 81}{81} = \frac{32500 + 2925 - 405}{81} = \frac{35020}{81} \neq 0$.

Так как числитель не обращается в ноль при корнях знаменателя, у них нет общих множителей. Дробь несократима.

Ответ: $\frac{52r^2 + 13r - 5}{(5r - 15)(9r - 25)}$