Страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Найдите значение выражения:

2.5 а) $\frac{2^4}{2^6}$;$

б) $\frac{4^3}{4^2}$;$

в) $\frac{7^{12}}{7^{10}}$;$

г) $\frac{6^3}{6^2}$.$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^4}{2^6}$, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=2$, показатель числителя $m=4$, а показатель знаменателя $n=6$.
Применим правило:
$\frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2}$.
Теперь используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Для выражения $\frac{4^3}{4^2}$ используем то же свойство деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Здесь $a=4$, $m=3$, $n=2$.
Выполним вычитание показателей:
$\frac{4^3}{4^2} = 4^{3-2} = 4^1$.
Любое число в первой степени равно самому себе.
Следовательно, $4^1 = 4$.
Ответ: 4.

в) Для выражения $\frac{7^{12}}{7^{10}}$ снова применяем правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В этом примере $a=7$, $m=12$, $n=10$.
Вычитаем показатели:
$\frac{7^{12}}{7^{10}} = 7^{12-10} = 7^2$.
Теперь возводим основание в полученную степень:
$7^2 = 7 \times 7 = 49$.
Ответ: 49.

г) В выражении $\frac{6^3}{6^2}$ основание $a=6$, показатель числителя $m=3$, показатель знаменателя $n=2$. Применяем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Выполняем вычитание показателей:
$\frac{6^3}{6^2} = 6^{3-2} = 6^1$.
Любое число в первой степени равно самому себе.
Таким образом, $6^1 = 6$.
Ответ: 6.

2.6 а) $\frac{64}{4^2}$;

б) $\frac{24}{2^3}$;

в) $\frac{625}{5^5}$;

г) $\frac{3^3}{54}$.

а) Чтобы решить данный пример, представим числитель $64$ в виде степени с основанием $4$. Так как $4^2 = 16$ и $4^3 = 64$, мы можем переписать выражение следующим образом:
$\frac{64}{4^2} = \frac{4^3}{4^2}$
Далее воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, то есть $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{4^3}{4^2} = 4^{3-2} = 4^1 = 4$
Ответ: $4$

б) Сначала вычислим значение знаменателя: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{24}{2^3} = \frac{24}{8}$
Выполним деление:
$\frac{24}{8} = 3$
В качестве альтернативного решения можно разложить числитель $24$ на множители: $24 = 3 \times 8 = 3 \times 2^3$. Тогда:
$\frac{24}{2^3} = \frac{3 \times 2^3}{2^3} = 3$
Ответ: $3$

в) Чтобы решить данный пример, представим числитель $625$ в виде степени с основанием $5$. Мы знаем, что $5^2=25$, $5^3=125$ и $5^4=625$.
Перепишем исходное выражение, заменив $625$ на $5^4$:
$\frac{625}{5^5} = \frac{5^4}{5^5}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^4}{5^5} = 5^{4-5} = 5^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

г) Сначала вычислим значение числителя: $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{3^3}{54} = \frac{27}{54}$
Теперь необходимо сократить полученную дробь. Заметим, что знаменатель $54$ делится на числитель $27$, так как $54 = 2 \times 27$.
$\frac{27}{54} = \frac{27}{2 \times 27}$
Сократим дробь на общий множитель $27$:
$\frac{\cancel{27}}{2 \times \cancel{27}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2.7 Вычислите:

а) $\frac{3^3 \cdot 12^4}{3^5 \cdot 4^2}$;

б) $\frac{14^7 \cdot 28^2}{7^9 \cdot 2^4}$;

в) $\frac{625 \cdot 15^3}{5^5 \cdot 3}$;

г) $\frac{11^5 \cdot 5^6}{25 \cdot 55^5}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{3^3 \cdot 12^4}{3^5 \cdot 4^2}$, представим число 12 в виде произведения $3 \cdot 4$.
$\frac{3^3 \cdot 12^4}{3^5 \cdot 4^2} = \frac{3^3 \cdot (3 \cdot 4)^4}{3^5 \cdot 4^2}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{3^3 \cdot 3^4 \cdot 4^4}{3^5 \cdot 4^2}$
Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{3^{3+4} \cdot 4^4}{3^5 \cdot 4^2} = \frac{3^7 \cdot 4^4}{3^5 \cdot 4^2}$
Теперь применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{7-5} \cdot 4^{4-2} = 3^2 \cdot 4^2$
Вычисляем результат:
$3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$.
Также можно использовать свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке: $3^2 \cdot 4^2 = (3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144$.
Ответ: 144.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{14^7 \cdot 28^2}{7^9 \cdot 2^4}$, разложим числа 14 и 28 на множители, используя основания 2 и 7: $14 = 2 \cdot 7$ и $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.
$\frac{(2 \cdot 7)^7 \cdot (2^2 \cdot 7)^2}{7^9 \cdot 2^4}$
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{2^7 \cdot 7^7 \cdot (2^2)^2 \cdot 7^2}{7^9 \cdot 2^4} = \frac{2^7 \cdot 7^7 \cdot 2^4 \cdot 7^2}{7^9 \cdot 2^4}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{(2^7 \cdot 2^4) \cdot (7^7 \cdot 7^2)}{7^9 \cdot 2^4} = \frac{2^{7+4} \cdot 7^{7+2}}{7^9 \cdot 2^4} = \frac{2^{11} \cdot 7^9}{7^9 \cdot 2^4}$
Теперь сократим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{11-4} \cdot 7^{9-9} = 2^7 \cdot 7^0 = 2^7 \cdot 1 = 2^7$
Вычисляем результат:
$2^7 = 128$.
Ответ: 128.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{625 \cdot 15^3}{5^5 \cdot 3}$, представим числа 625 и 15 в виде степеней простых чисел: $625 = 5^4$ и $15 = 3 \cdot 5$. Учтем, что $3 = 3^1$.
$\frac{5^4 \cdot (3 \cdot 5)^3}{5^5 \cdot 3^1}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{5^4 \cdot 3^3 \cdot 5^3}{5^5 \cdot 3^1}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:
$\frac{(5^4 \cdot 5^3) \cdot 3^3}{5^5 \cdot 3^1} = \frac{5^{4+3} \cdot 3^3}{5^5 \cdot 3^1} = \frac{5^7 \cdot 3^3}{5^5 \cdot 3^1}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$5^{7-5} \cdot 3^{3-1} = 5^2 \cdot 3^2$
Вычисляем результат:
$5^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225$.
Также можно записать как $(5 \cdot 3)^2 = 15^2 = 225$.
Ответ: 225.

г)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{11^5 \cdot 5^6}{25 \cdot 55^5}$, разложим числа 25 и 55 на простые множители: $25 = 5^2$ и $55 = 5 \cdot 11$.
$\frac{11^5 \cdot 5^6}{5^2 \cdot (5 \cdot 11)^5}$
Раскроем скобки в знаменателе:
$\frac{11^5 \cdot 5^6}{5^2 \cdot 5^5 \cdot 11^5}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:
$\frac{11^5 \cdot 5^6}{5^{2+5} \cdot 11^5} = \frac{11^5 \cdot 5^6}{5^7 \cdot 11^5}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{11^5}{11^5} \cdot \frac{5^6}{5^7} = 11^{5-5} \cdot 5^{6-7} = 11^0 \cdot 5^{-1} = 1 \cdot 5^{-1} = 5^{-1}$
Вычисляем результат, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

2.8 Приведите дробь к знаменателю 56:

а) $ \frac{5a}{7} $;

б) $ \frac{26m}{112} $;

в) $ \frac{3k}{8} $;

г) $ \frac{27t}{168} $.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо определить, во сколько раз новый знаменатель больше или меньше исходного. Затем на это число нужно умножить или разделить и числитель, и знаменатель исходной дроби.

а) Дана дробь $\frac{5a}{7}$. Нужно привести ее к знаменателю 56.

1. Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $56 \div 7 = 8$.

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$\frac{5a \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{40a}{56}$

Ответ: $\frac{40a}{56}$

б) Дана дробь $\frac{26m}{112}$. Нужно привести ее к знаменателю 56.

1. Определим, на какое число нужно разделить исходный знаменатель, чтобы получить новый: $112 \div 56 = 2$.

2. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на это число:

$\frac{26m \div 2}{112 \div 2} = \frac{13m}{56}$

Ответ: $\frac{13m}{56}$

в) Дана дробь $\frac{3k}{8}$. Нужно привести ее к знаменателю 56.

1. Найдем дополнительный множитель: $56 \div 8 = 7$.

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$\frac{3k \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{21k}{56}$

Ответ: $\frac{21k}{56}$

г) Дана дробь $\frac{27t}{168}$. Нужно привести ее к знаменателю 56.

1. Определим, на какое число нужно разделить исходный знаменатель: $168 \div 56 = 3$.

2. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на это число:

$\frac{27t \div 3}{168 \div 3} = \frac{9t}{56}$

Ответ: $\frac{9t}{56}$

2.9 Приведите дробь к знаменателю $36a$:

a) $\frac{2b}{3a}$;

б) $\frac{5an}{36a^2}$;

в) $\frac{7s}{36}$;

г) $\frac{9d}{108ad}$.

а) Чтобы привести дробь $\frac{2b}{3a}$ к знаменателю $36a$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$36a : 3a = 12$

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот дополнительный множитель:

$\frac{2b \cdot 12}{3a \cdot 12} = \frac{24b}{36a}$

Ответ: $\frac{24b}{36a}$.

б) Чтобы привести дробь $\frac{5an}{36a^2}$ к знаменателю $36a$, нужно найти множитель, на который следует умножить или разделить исходную дробь. Разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{36a}{36a^2} = \frac{1}{a}$

Это означает, что исходный знаменатель нужно разделить на $a$. Выполним то же действие и с числителем:

$\frac{5an : a}{36a^2 : a} = \frac{5n}{36a}$

Ответ: $\frac{5n}{36a}$.

в) Чтобы привести дробь $\frac{7s}{36}$ к знаменателю $36a$, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$36a : 36 = a$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $a$:

$\frac{7s \cdot a}{36 \cdot a} = \frac{7as}{36a}$

Ответ: $\frac{7as}{36a}$.

г) Чтобы привести дробь $\frac{9d}{108ad}$ к знаменателю $36a$, сначала упростим исходную дробь, сократив ее. Общий делитель для числителя и знаменателя — $9d$:

$\frac{9d}{108ad} = \frac{9d : 9d}{108ad : 9d} = \frac{1}{12a}$

Теперь приведем полученную дробь $\frac{1}{12a}$ к знаменателю $36a$. Найдем дополнительный множитель:

$36a : 12a = 3$

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{12a}$ на 3:

$\frac{1 \cdot 3}{12a \cdot 3} = \frac{3}{36a}$

Ответ: $\frac{3}{36a}$.

2.10 Приведите дробь к знаменателю 14mn:

а) $\frac{58l}{28lmn}$;

б) $\frac{1}{2n}$;

в) $\frac{27mk}{42m^2n}$;

г) $\frac{3}{7m}$.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно определить, во сколько раз новый знаменатель отличается от старого. Этот множитель (или делитель) затем применяется к числителю исходной дроби.

а)

Дана дробь $\frac{58l}{28lmn}$. Требуемый знаменатель — $14mn$.
Чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно разделить $28lmn$ на некоторое выражение. Найдем это выражение (делитель), разделив старый знаменатель на новый: $28lmn \div 14mn = \frac{28lmn}{14mn} = 2l$.
Теперь разделим на $2l$ и числитель, и знаменатель исходной дроби, чтобы получить эквивалентную дробь: $\frac{58l}{28lmn} = \frac{58l \div 2l}{28lmn \div 2l} = \frac{29}{14mn}$.

Ответ: $\frac{29}{14mn}$.

б)

Дана дробь $\frac{1}{2n}$. Требуемый знаменатель — $14mn$.
Чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно умножить $2n$ на некоторое выражение. Найдем это выражение (дополнительный множитель), разделив новый знаменатель на старый: $14mn \div 2n = \frac{14mn}{2n} = 7m$.
Теперь умножим на $7m$ и числитель, и знаменатель исходной дроби: $\frac{1}{2n} = \frac{1 \cdot 7m}{2n \cdot 7m} = \frac{7m}{14mn}$.

Ответ: $\frac{7m}{14mn}$.

в)

Дана дробь $\frac{27mk}{42m^2n}$. Требуемый знаменатель — $14mn$.
Чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно разделить $42m^2n$ на некоторое выражение. Найдем этот делитель, разделив старый знаменатель на новый: $42m^2n \div 14mn = \frac{42m^2n}{14mn} = 3m$.
Теперь разделим на $3m$ и числитель, и знаменатель исходной дроби: $\frac{27mk}{42m^2n} = \frac{27mk \div 3m}{42m^2n \div 3m} = \frac{9k}{14mn}$.

Ответ: $\frac{9k}{14mn}$.

г)

Дана дробь $\frac{3}{7m}$. Требуемый знаменатель — $14mn$.
Чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно умножить $7m$ на некоторое выражение. Найдем этот дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $14mn \div 7m = \frac{14mn}{7m} = 2n$.
Теперь умножим на $2n$ и числитель, и знаменатель исходной дроби: $\frac{3}{7m} = \frac{3 \cdot 2n}{7m \cdot 2n} = \frac{6n}{14mn}$.

Ответ: $\frac{6n}{14mn}$.

2.11 Приведите дробь к знаменателю $24x^2y$:

а) $ \frac{1}{8xy} $;

б) $ \frac{15xz}{120x^3y} $;

в) $ \frac{2x}{3y} $;

г) $ \frac{22a^2y^2}{48x^2y^3} $.

а) Чтобы привести дробь $\frac{1}{8xy}$ к знаменателю $24x^2y$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{24x^2y}{8xy} = 3x$

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель $3x$:

$\frac{1 \cdot 3x}{8xy \cdot 3x} = \frac{3x}{24x^2y}$

Ответ: $\frac{3x}{24x^2y}$.

б) Сначала упростим дробь $\frac{15xz}{120x^3y}$, сократив ее на общие множители:

$\frac{15xz}{120x^3y} = \frac{15 \cdot x \cdot z}{120 \cdot x^3 \cdot y} = \frac{z}{8x^2y}$

Теперь приведем полученную дробь $\frac{z}{8x^2y}$ к знаменателю $24x^2y$. Найдем дополнительный множитель:

$\frac{24x^2y}{8x^2y} = 3$

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{z}{8x^2y}$ на 3:

$\frac{z \cdot 3}{8x^2y \cdot 3} = \frac{3z}{24x^2y}$

Ответ: $\frac{3z}{24x^2y}$.

в) Чтобы привести дробь $\frac{2x}{3y}$ к знаменателю $24x^2y$, найдем дополнительный множитель:

$\frac{24x^2y}{3y} = 8x^2$

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $8x^2$:

$\frac{2x \cdot 8x^2}{3y \cdot 8x^2} = \frac{16x^3}{24x^2y}$

Ответ: $\frac{16x^3}{24x^2y}$.

г) В этом случае знаменатель исходной дроби $\frac{22a^2y^2}{48x^2y^3}$ больше требуемого знаменателя $24x^2y$. Это означает, что дробь нужно сократить. Найдем множитель, на который нужно сократить дробь, разделив исходный знаменатель на требуемый:

$\frac{48x^2y^3}{24x^2y} = 2y^2$

Теперь разделим (сократим) числитель и знаменатель исходной дроби на $2y^2$:

$\frac{22a^2y^2 \div 2y^2}{48x^2y^3 \div 2y^2} = \frac{11a^2}{24x^2y}$

Ответ: $\frac{11a^2}{24x^2y}$.

Запишите данные выражения в виде алгебраических дробей с одинаковым знаменателем:

2.12 а) $ \frac{19x^2}{5} $ и $ 7y^2 $;

б) $ 10y^2 $ и $ \frac{8x^3}{5y} $;

в) $ 3m^2 $ и $ \frac{6n^2}{7} $;

г) $ \frac{a^2}{10b} $ и $ 10b $.

а) Чтобы привести выражения $\frac{19x^2}{5}$ и $7y^2$ к общему знаменателю, представим второе выражение в виде дроби со знаменателем 1: $7y^2 = \frac{7y^2}{1}$. Наименьшим общим знаменателем для дробей $\frac{19x^2}{5}$ и $\frac{7y^2}{1}$ будет 5. Первая дробь уже имеет этот знаменатель. Для второй дроби найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $5 \div 1 = 5$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 5:
$\frac{7y^2}{1} = \frac{7y^2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{35y^2}{5}$.
Получили дроби с одинаковым знаменателем.
Ответ: $\frac{19x^2}{5}$ и $\frac{35y^2}{5}$.

б) Чтобы привести выражения $10y^2$ и $\frac{8x^3}{5y}$ к общему знаменателю, представим первое выражение в виде дроби со знаменателем 1: $10y^2 = \frac{10y^2}{1}$. Наименьшим общим знаменателем для дробей $\frac{10y^2}{1}$ и $\frac{8x^3}{5y}$ будет $5y$. Вторая дробь уже имеет этот знаменатель. Для первой дроби найдем дополнительный множитель: $5y \div 1 = 5y$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $5y$:
$\frac{10y^2}{1} = \frac{10y^2 \cdot 5y}{1 \cdot 5y} = \frac{50y^3}{5y}$.
Получили дроби с одинаковым знаменателем.
Ответ: $\frac{50y^3}{5y}$ и $\frac{8x^3}{5y}$.

в) Чтобы привести выражения $3m^2$ и $\frac{6n^2}{7}$ к общему знаменателю, представим первое выражение в виде дроби со знаменателем 1: $3m^2 = \frac{3m^2}{1}$. Наименьшим общим знаменателем для дробей $\frac{3m^2}{1}$ и $\frac{6n^2}{7}$ будет 7. Вторая дробь уже имеет этот знаменатель. Для первой дроби дополнительным множителем будет 7. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7:
$\frac{3m^2}{1} = \frac{3m^2 \cdot 7}{1 \cdot 7} = \frac{21m^2}{7}$.
Получили дроби с одинаковым знаменателем.
Ответ: $\frac{21m^2}{7}$ и $\frac{6n^2}{7}$.

г) Чтобы привести выражения $\frac{a^2}{10b}$ и $10b$ к общему знаменателю, представим второе выражение в виде дроби со знаменателем 1: $10b = \frac{10b}{1}$. Наименьшим общим знаменателем для дробей $\frac{a^2}{10b}$ и $\frac{10b}{1}$ будет $10b$. Первая дробь уже имеет этот знаменатель. Для второй дроби дополнительным множителем будет $10b$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $10b$:
$\frac{10b}{1} = \frac{10b \cdot 10b}{1 \cdot 10b} = \frac{100b^2}{10b}$.
Получили дроби с одинаковым знаменателем.
Ответ: $\frac{a^2}{10b}$ и $\frac{100b^2}{10b}$.

2.13 a) $\frac{x}{x - y}$ и $5x$;

б) $\frac{7y}{x + y}$ и $(x - y)$;

в) $9a^2$ и $\frac{a^2}{a + 9}$;

г) $(5 - b)$ и $\frac{8b}{5 + b}$.

а) Чтобы привести дроби $\frac{x}{x-y}$ и $5x$ к общему знаменателю, представим второе выражение в виде дроби со знаменателем 1: $5x = \frac{5x}{1}$.

Знаменатели данных дробей: $(x-y)$ и $1$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $(x-y)$.

Первая дробь $\frac{x}{x-y}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{5x}{1}$ дополнительным множителем будет $(x-y)$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $(x-y)$:

$\frac{5x}{1} = \frac{5x \cdot (x-y)}{1 \cdot (x-y)} = \frac{5x^2 - 5xy}{x-y}$.

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю $(x-y)$.

Ответ: $\frac{x}{x-y}$ и $\frac{5x^2 - 5xy}{x-y}$.

б) Чтобы привести дроби $\frac{7y}{x+y}$ и $(x-y)$ к общему знаменателю, представим второе выражение в виде дроби со знаменателем 1: $(x-y) = \frac{x-y}{1}$.

Знаменатели данных дробей: $(x+y)$ и $1$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $(x+y)$.

Первая дробь $\frac{7y}{x+y}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{x-y}{1}$ дополнительным множителем будет $(x+y)$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $(x+y)$, используя формулу разности квадратов:

$\frac{x-y}{1} = \frac{(x-y) \cdot (x+y)}{1 \cdot (x+y)} = \frac{x^2 - y^2}{x+y}$.

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю $(x+y)$.

Ответ: $\frac{7y}{x+y}$ и $\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.

в) Чтобы привести дроби $9a^2$ и $\frac{a^2}{a+9}$ к общему знаменателю, представим первое выражение в виде дроби со знаменателем 1: $9a^2 = \frac{9a^2}{1}$.

Знаменатели данных дробей: $1$ и $(a+9)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $(a+9)$.

Для первой дроби $\frac{9a^2}{1}$ дополнительным множителем будет $(a+9)$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $(a+9)$:

$\frac{9a^2}{1} = \frac{9a^2 \cdot (a+9)}{1 \cdot (a+9)} = \frac{9a^3 + 81a^2}{a+9}$.

Вторая дробь $\frac{a^2}{a+9}$ уже имеет нужный знаменатель.

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю $(a+9)$.

Ответ: $\frac{9a^3 + 81a^2}{a+9}$ и $\frac{a^2}{a+9}$.

г) Чтобы привести дроби $(5-b)$ и $\frac{8b}{5+b}$ к общему знаменателю, представим первое выражение в виде дроби со знаменателем 1: $(5-b) = \frac{5-b}{1}$.

Знаменатели данных дробей: $1$ и $(5+b)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $(5+b)$.

Для первой дроби $\frac{5-b}{1}$ дополнительным множителем будет $(5+b)$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $(5+b)$, используя формулу разности квадратов:

$\frac{5-b}{1} = \frac{(5-b) \cdot (5+b)}{1 \cdot (5+b)} = \frac{5^2 - b^2}{5+b} = \frac{25 - b^2}{5+b}$.

Вторая дробь $\frac{8b}{5+b}$ уже имеет нужный знаменатель.

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю $(5+b)$.

Ответ: $\frac{25 - b^2}{5+b}$ и $\frac{8b}{5+b}$.