Страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

2.37 a) $ \frac{b}{2a^2} $, $ \frac{7}{6ab} $ и $ \frac{a}{3b^2} $;

б) $ 3t $, $ \frac{2t}{s^2} $ и $ \frac{5}{st} $;

в) $ \frac{3km}{5l^3} $, $ \frac{k^2}{2lm} $ и $ \frac{kl}{4m^3} $;

г) $ \frac{2n}{m^2} $, $ 5mn $ и $ \frac{3m}{n^2} $.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{2a^2}$, $\frac{7}{6ab}$ и $\frac{a}{3b^2}$ к наименьшему общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $2a^2$, $6ab$ и $3b^2$.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 2, 6 и 3. НОК(2, 6, 3) = 6.

2. Находим НОК для переменных. Для этого берем каждую переменную с наибольшим показателем степени из всех знаменателей: $a^2$ и $b^2$.

3. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению НОК коэффициентов и НОК переменных: $6a^2b^2$.

4. Находим дополнительные множители для каждой дроби и умножаем на них числитель и знаменатель:

Для дроби $\frac{b}{2a^2}$ дополнительный множитель: $\frac{6a^2b^2}{2a^2} = 3b^2$.
$\frac{b \cdot 3b^2}{2a^2 \cdot 3b^2} = \frac{3b^3}{6a^2b^2}$.

Для дроби $\frac{7}{6ab}$ дополнительный множитель: $\frac{6a^2b^2}{6ab} = ab$.
$\frac{7 \cdot ab}{6ab \cdot ab} = \frac{7ab}{6a^2b^2}$.

Для дроби $\frac{a}{3b^2}$ дополнительный множитель: $\frac{6a^2b^2}{3b^2} = 2a^2$.
$\frac{a \cdot 2a^2}{3b^2 \cdot 2a^2} = \frac{2a^3}{6a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{3b^3}{6a^2b^2}$, $\frac{7ab}{6a^2b^2}$, $\frac{2a^3}{6a^2b^2}$.

б) Даны выражения $3t$, $\frac{2t}{s^2}$ и $\frac{5}{st}$. Сначала представим $3t$ в виде дроби: $\frac{3t}{1}$.

1. Знаменатели дробей: $1$, $s^2$ и $st$.

2. Наименьший общий знаменатель для этих выражений будет содержать каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается: $s^2$ и $t$.

3. НОЗ равен $s^2t$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для дроби $\frac{3t}{1}$ дополнительный множитель: $s^2t$.
$\frac{3t \cdot s^2t}{1 \cdot s^2t} = \frac{3s^2t^2}{s^2t}$.

Для дроби $\frac{2t}{s^2}$ дополнительный множитель: $t$.
$\frac{2t \cdot t}{s^2 \cdot t} = \frac{2t^2}{s^2t}$.

Для дроби $\frac{5}{st}$ дополнительный множитель: $s$.
$\frac{5 \cdot s}{st \cdot s} = \frac{5s}{s^2t}$.

Ответ: $\frac{3s^2t^2}{s^2t}$, $\frac{2t^2}{s^2t}$, $\frac{5s}{s^2t}$.

в) Даны дроби $\frac{3km}{5l^3}$, $\frac{k^2}{2lm}$ и $\frac{kl}{4m^3}$. Знаменатели: $5l^3$, $2lm$, $4m^3$.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 5, 2 и 4. НОК(5, 2, 4) = 20.

2. Находим НОК для переменных: $l^3$ и $m^3$.

3. Наименьший общий знаменатель равен $20l^3m^3$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для дроби $\frac{3km}{5l^3}$ дополнительный множитель: $\frac{20l^3m^3}{5l^3} = 4m^3$.
$\frac{3km \cdot 4m^3}{5l^3 \cdot 4m^3} = \frac{12km^4}{20l^3m^3}$.

Для дроби $\frac{k^2}{2lm}$ дополнительный множитель: $\frac{20l^3m^3}{2lm} = 10l^2m^2$.
$\frac{k^2 \cdot 10l^2m^2}{2lm \cdot 10l^2m^2} = \frac{10k^2l^2m^2}{20l^3m^3}$.

Для дроби $\frac{kl}{4m^3}$ дополнительный множитель: $\frac{20l^3m^3}{4m^3} = 5l^3$.
$\frac{kl \cdot 5l^3}{4m^3 \cdot 5l^3} = \frac{5kl^4}{20l^3m^3}$.

Ответ: $\frac{12km^4}{20l^3m^3}$, $\frac{10k^2l^2m^2}{20l^3m^3}$, $\frac{5kl^4}{20l^3m^3}$.

г) Даны выражения $\frac{2n}{m^2}$, $5mn$ и $\frac{3m}{n^2}$. Представим $5mn$ как дробь $\frac{5mn}{1}$.

1. Знаменатели дробей: $m^2$, $1$ и $n^2$.

2. Наименьший общий знаменатель для этих выражений будет содержать каждую переменную в наибольшей степени: $m^2$ и $n^2$.

3. НОЗ равен $m^2n^2$.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для дроби $\frac{2n}{m^2}$ дополнительный множитель: $n^2$.
$\frac{2n \cdot n^2}{m^2 \cdot n^2} = \frac{2n^3}{m^2n^2}$.

Для дроби $\frac{5mn}{1}$ дополнительный множитель: $m^2n^2$.
$\frac{5mn \cdot m^2n^2}{1 \cdot m^2n^2} = \frac{5m^3n^3}{m^2n^2}$.

Для дроби $\frac{3m}{n^2}$ дополнительный множитель: $m^2$.
$\frac{3m \cdot m^2}{n^2 \cdot m^2} = \frac{3m^3}{m^2n^2}$.

Ответ: $\frac{2n^3}{m^2n^2}$, $\frac{5m^3n^3}{m^2n^2}$, $\frac{3m^3}{m^2n^2}$.

2.38 a) $\frac{2}{s+t}$, $\frac{s+t}{t}$ И $\frac{s-t}{s}$;

б) $\frac{m}{(m+n)}$, $\frac{n}{m}$ И $(m+n)$;

в) $\frac{a+b}{a^2}$, $\frac{a-b}{3a}$ И $\frac{b^2}{a+b}$;

г) $\frac{a}{a-b}$, $\frac{b}{2a}$ И $(b+a)$.

а)

Даны дроби: $\frac{2}{s+t}$, $\frac{s+t}{t}$ и $\frac{s-t}{s}$.

Знаменатели этих дробей: $(s+t)$, $t$ и $s$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). В данном случае знаменатели являются различными множителями, не имеющими общих делителей (кроме 1). Поэтому НОЗ равен их произведению: $s \cdot t \cdot (s+t)$.

Далее найдем для каждой дроби дополнительный множитель и приведем ее к новому знаменателю.

1. Для дроби $\frac{2}{s+t}$ дополнительный множитель равен $\frac{st(s+t)}{s+t} = st$. Умножаем числитель и знаменатель на $st$:
$\frac{2}{s+t} = \frac{2 \cdot st}{(s+t) \cdot st} = \frac{2st}{st(s+t)}$

2. Для дроби $\frac{s+t}{t}$ дополнительный множитель равен $\frac{st(s+t)}{t} = s(s+t)$. Умножаем числитель и знаменатель на $s(s+t)$:
$\frac{s+t}{t} = \frac{(s+t) \cdot s(s+t)}{t \cdot s(s+t)} = \frac{s(s+t)^2}{st(s+t)}$

3. Для дроби $\frac{s-t}{s}$ дополнительный множитель равен $\frac{st(s+t)}{s} = t(s+t)$. Умножаем числитель и знаменатель на $t(s+t)$:
$\frac{s-t}{s} = \frac{(s-t) \cdot t(s+t)}{s \cdot t(s+t)} = \frac{t(s^2-t^2)}{st(s+t)}$

Ответ: $\frac{2st}{st(s+t)}$, $\frac{s(s+t)^2}{st(s+t)}$, $\frac{t(s^2-t^2)}{st(s+t)}$.

б)

Даны выражения: $\frac{m}{m+n}$, $\frac{n}{m}$ и $(m+n)$.

Сначала представим выражение $(m+n)$ в виде дроби со знаменателем 1: $\frac{m+n}{1}$.

Знаменатели дробей: $(m+n)$, $m$ и $1$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению уникальных знаменателей: $m(m+n)$.

Приведем каждую дробь к НОЗ.

1. Для дроби $\frac{m}{m+n}$ дополнительный множитель: $m$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{m \cdot m}{(m+n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m+n)}$

2. Для дроби $\frac{n}{m}$ дополнительный множитель: $(m+n)$.
$\frac{n}{m} = \frac{n \cdot (m+n)}{m \cdot (m+n)} = \frac{n(m+n)}{m(m+n)}$

3. Для дроби $\frac{m+n}{1}$ дополнительный множитель: $m(m+n)$.
$\frac{m+n}{1} = \frac{(m+n) \cdot m(m+n)}{1 \cdot m(m+n)} = \frac{m(m+n)^2}{m(m+n)}$

Ответ: $\frac{m^2}{m(m+n)}$, $\frac{n(m+n)}{m(m+n)}$, $\frac{m(m+n)^2}{m(m+n)}$.

в)

Даны дроби: $\frac{a+b}{a^2}$, $\frac{a-b}{3a}$ и $\frac{b^2}{a+b}$.

Знаменатели дробей: $a^2$, $3a$ и $(a+b)$.

Разложим знаменатели на множители: $a^2 = a \cdot a$; $3a = 3 \cdot a$; $(a+b) = (a+b)$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) находится как произведение всех уникальных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются. НОЗ = $3 \cdot a^2 \cdot (a+b) = 3a^2(a+b)$.

Приведем дроби к этому знаменателю.

1. Для $\frac{a+b}{a^2}$ дополнительный множитель: $\frac{3a^2(a+b)}{a^2} = 3(a+b)$.
$\frac{a+b}{a^2} = \frac{(a+b) \cdot 3(a+b)}{a^2 \cdot 3(a+b)} = \frac{3(a+b)^2}{3a^2(a+b)}$

2. Для $\frac{a-b}{3a}$ дополнительный множитель: $\frac{3a^2(a+b)}{3a} = a(a+b)$.
$\frac{a-b}{3a} = \frac{(a-b) \cdot a(a+b)}{3a \cdot a(a+b)} = \frac{a(a-b)(a+b)}{3a^2(a+b)} = \frac{a(a^2-b^2)}{3a^2(a+b)}$

3. Для $\frac{b^2}{a+b}$ дополнительный множитель: $\frac{3a^2(a+b)}{a+b} = 3a^2$.
$\frac{b^2}{a+b} = \frac{b^2 \cdot 3a^2}{(a+b) \cdot 3a^2} = \frac{3a^2b^2}{3a^2(a+b)}$

Ответ: $\frac{3(a+b)^2}{3a^2(a+b)}$, $\frac{a(a^2-b^2)}{3a^2(a+b)}$, $\frac{3a^2b^2}{3a^2(a+b)}$.

г)

Даны выражения: $\frac{a}{a-b}$, $\frac{b}{2a}$ и $(b+a)$.

Представим выражение $(b+a)$ как дробь $\frac{a+b}{1}$.

Знаменатели дробей: $(a-b)$, $2a$ и $1$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению этих знаменателей: $2a(a-b)$.

Приведем дроби к НОЗ.

1. Для $\frac{a}{a-b}$ дополнительный множитель: $2a$.
$\frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot 2a}{(a-b) \cdot 2a} = \frac{2a^2}{2a(a-b)}$

2. Для $\frac{b}{2a}$ дополнительный множитель: $(a-b)$.
$\frac{b}{2a} = \frac{b \cdot (a-b)}{2a \cdot (a-b)} = \frac{b(a-b)}{2a(a-b)}$

3. Для $\frac{a+b}{1}$ дополнительный множитель: $2a(a-b)$.
$\frac{a+b}{1} = \frac{(a+b) \cdot 2a(a-b)}{1 \cdot 2a(a-b)} = \frac{2a(a+b)(a-b)}{2a(a-b)} = \frac{2a(a^2-b^2)}{2a(a-b)}$

Ответ: $\frac{2a^2}{2a(a-b)}$, $\frac{b(a-b)}{2a(a-b)}$, $\frac{2a(a^2-b^2)}{2a(a-b)}$.

2.39 a) $ \frac{x}{x+y} $, $ \frac{y}{x-y} $ и $ \frac{5}{xy} $;

б) $ \frac{1+x+x^2}{x-2} $, $ \frac{x+2}{x-1} $ и $ 2x $;

в) $ \frac{p}{p-q} $, $ \frac{q}{p+q} $ и $ \frac{3}{pq} $;

г) $ \frac{y-5}{y+1} $, $ 5y $ и $ \frac{y^2-y+1}{y+5} $.

а) Чтобы привести дроби $ \frac{x}{x+y} $, $ \frac{y}{x-y} $ и $ \frac{5}{xy} $ к общему знаменателю, сначала найдем их наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Знаменатели дробей: $ (x+y) $, $ (x-y) $ и $ xy $. Эти множители не имеют общих делителей, кроме 1.
Следовательно, НОЗ равен их произведению: $ НОЗ = xy(x+y)(x-y) = xy(x^2 - y^2) $.
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.
Для дроби $ \frac{x}{x+y} $ дополнительный множитель равен $ \frac{xy(x+y)(x-y)}{x+y} = xy(x-y) $.
$ \frac{x}{x+y} = \frac{x \cdot xy(x-y)}{(x+y) \cdot xy(x-y)} = \frac{x^2y(x-y)}{xy(x^2-y^2)} = \frac{x^3y - x^2y^2}{xy(x^2-y^2)} $.
Для дроби $ \frac{y}{x-y} $ дополнительный множитель равен $ \frac{xy(x+y)(x-y)}{x-y} = xy(x+y) $.
$ \frac{y}{x-y} = \frac{y \cdot xy(x+y)}{(x-y) \cdot xy(x+y)} = \frac{xy^2(x+y)}{xy(x^2-y^2)} = \frac{x^2y^2 + xy^3}{xy(x^2-y^2)} $.
Для дроби $ \frac{5}{xy} $ дополнительный множитель равен $ \frac{xy(x+y)(x-y)}{xy} = (x+y)(x-y) = x^2-y^2 $.
$ \frac{5}{xy} = \frac{5 \cdot (x^2-y^2)}{xy \cdot (x^2-y^2)} = \frac{5x^2 - 5y^2}{xy(x^2-y^2)} $.
Ответ: $ \frac{x^3y - x^2y^2}{xy(x^2-y^2)} $, $ \frac{x^2y^2 + xy^3}{xy(x^2-y^2)} $, $ \frac{5x^2 - 5y^2}{xy(x^2-y^2)} $.

б) Даны выражения $ \frac{1+x+x^2}{x-2} $, $ \frac{x+2}{x-1} $ и $ 2x $. Представим $ 2x $ в виде дроби со знаменателем 1: $ \frac{2x}{1} $.
Знаменатели дробей: $ (x-2) $, $ (x-1) $ и $ 1 $.
Наименьший общий знаменатель равен произведению этих знаменателей: $ НОЗ = (x-2)(x-1) $.
Приведем каждое выражение к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{1+x+x^2}{x-2} $ дополнительный множитель: $ x-1 $.
$ \frac{1+x+x^2}{x-2} = \frac{(x^2+x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)} = \frac{x^3-1}{(x-2)(x-1)} $.
Для дроби $ \frac{x+2}{x-1} $ дополнительный множитель: $ x-2 $.
$ \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x^2-4}{(x-2)(x-1)} $.
Для выражения $ \frac{2x}{1} $ дополнительный множитель: $ (x-2)(x-1) = x^2-3x+2 $.
$ \frac{2x}{1} = \frac{2x(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)} = \frac{2x(x^2-3x+2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 4x}{(x-2)(x-1)} $.
Ответ: $ \frac{x^3-1}{(x-2)(x-1)} $, $ \frac{x^2-4}{(x-2)(x-1)} $, $ \frac{2x^3 - 6x^2 + 4x}{(x-2)(x-1)} $.

в) Даны дроби $ \frac{p}{p-q} $, $ \frac{q}{p+q} $ и $ \frac{3}{pq} $.
Знаменатели дробей: $ (p-q) $, $ (p+q) $ и $ pq $. Они являются взаимно простыми.
Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ НОЗ = pq(p-q)(p+q) = pq(p^2 - q^2) $.
Приведем каждую дробь к этому знаменателю.
Для дроби $ \frac{p}{p-q} $ дополнительный множитель: $ pq(p+q) $.
$ \frac{p}{p-q} = \frac{p \cdot pq(p+q)}{(p-q) \cdot pq(p+q)} = \frac{p^2q(p+q)}{pq(p^2-q^2)} = \frac{p^3q + p^2q^2}{pq(p^2-q^2)} $.
Для дроби $ \frac{q}{p+q} $ дополнительный множитель: $ pq(p-q) $.
$ \frac{q}{p+q} = \frac{q \cdot pq(p-q)}{(p+q) \cdot pq(p-q)} = \frac{pq^2(p-q)}{pq(p^2-q^2)} = \frac{p^2q^2 - pq^3}{pq(p^2-q^2)} $.
Для дроби $ \frac{3}{pq} $ дополнительный множитель: $ (p-q)(p+q) = p^2-q^2 $.
$ \frac{3}{pq} = \frac{3(p^2-q^2)}{pq(p^2-q^2)} = \frac{3p^2 - 3q^2}{pq(p^2-q^2)} $.
Ответ: $ \frac{p^3q + p^2q^2}{pq(p^2-q^2)} $, $ \frac{p^2q^2 - pq^3}{pq(p^2-q^2)} $, $ \frac{3p^2 - 3q^2}{pq(p^2-q^2)} $.

г) Даны выражения $ \frac{y-5}{y+1} $, $ 5y $ и $ \frac{y^2-y+1}{y+5} $. Представим $ 5y $ как дробь $ \frac{5y}{1} $.
Знаменатели: $ (y+1) $, $ 1 $ и $ (y+5) $.
Наименьший общий знаменатель: $ НОЗ = (y+1)(y+5) $.
Приведем каждое выражение к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{y-5}{y+1} $ дополнительный множитель: $ y+5 $.
$ \frac{y-5}{y+1} = \frac{(y-5)(y+5)}{(y+1)(y+5)} = \frac{y^2-25}{(y+1)(y+5)} $.
Для выражения $ \frac{5y}{1} $ дополнительный множитель: $ (y+1)(y+5) = y^2+6y+5 $.
$ \frac{5y}{1} = \frac{5y(y+1)(y+5)}{(y+1)(y+5)} = \frac{5y(y^2+6y+5)}{(y+1)(y+5)} = \frac{5y^3 + 30y^2 + 25y}{(y+1)(y+5)} $.
Для дроби $ \frac{y^2-y+1}{y+5} $ дополнительный множитель: $ y+1 $.
$ \frac{y^2-y+1}{y+5} = \frac{(y^2-y+1)(y+1)}{(y+5)(y+1)} = \frac{y^3+1}{(y+1)(y+5)} $.
Ответ: $ \frac{y^2-25}{(y+1)(y+5)} $, $ \frac{5y^3 + 30y^2 + 25y}{(y+1)(y+5)} $, $ \frac{y^3+1}{(y+1)(y+5)} $.

2.40 a) $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{a^2}{a+b}$ И $\frac{b^2}{a-b}$;

б) $\frac{4c}{c^2 - 25}$, $\frac{c-5}{c+5}$ И $\frac{c+5}{c-5}$;

в) $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{c^2}{c-2}$ И $\frac{4}{c+2}$;

г) $\frac{a+x}{a-x}$, $\frac{2ax}{a^2-x^2}$ И $\frac{a-x}{a+x}$.

a) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{a^2}{a+b}$ и $\frac{b^2}{a-b}$ к общему знаменателю.
1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого рассмотрим знаменатели каждой дроби:
Первый знаменатель: $(a-b)(a+b)$.
Второй знаменатель: $a+b$.
Третий знаменатель: $a-b$.
НОЗ должен содержать все множители каждого знаменателя. Таким образом, НОЗ равен $(a-b)(a+b)$.
2. Приводим каждую дробь к НОЗ.
- Первая дробь $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$ уже имеет общий знаменатель. Дополнительный множитель для нее равен 1.
- Для второй дроби $\frac{a^2}{a+b}$ дополнительным множителем является $(a-b)$. Умножим ее числитель и знаменатель на $(a-b)$:
$\frac{a^2}{a+b} = \frac{a^2(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.
- Для третьей дроби $\frac{b^2}{a-b}$ дополнительным множителем является $(a+b)$. Умножим ее числитель и знаменатель на $(a+b)$:
$\frac{b^2}{a-b} = \frac{b^2(a+b)}{(a-b)(a+b)}$.
Ответ: $\frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{a^2(a-b)}{(a-b)(a+b)}$, $\frac{b^2(a+b)}{(a-b)(a+b)}$.

б) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{4c}{c^2-25}$, $\frac{c-5}{c+5}$ и $\frac{c+5}{c-5}$ к общему знаменателю.
1. Находим НОЗ. Сначала разложим знаменатели на множители:
Первый знаменатель: $c^2-25 = (c-5)(c+5)$ (разность квадратов).
Второй знаменатель: $c+5$.
Третий знаменатель: $c-5$.
НОЗ, содержащий все множители, равен $(c-5)(c+5)$.
2. Приводим каждую дробь к НОЗ.
- Первая дробь $\frac{4c}{c^2-25} = \frac{4c}{(c-5)(c+5)}$ уже имеет общий знаменатель.
- Для второй дроби $\frac{c-5}{c+5}$ дополнительный множитель - $(c-5)$.
$\frac{c-5}{c+5} = \frac{(c-5)(c-5)}{(c+5)(c-5)} = \frac{(c-5)^2}{(c-5)(c+5)}$.
- Для третьей дроби $\frac{c+5}{c-5}$ дополнительный множитель - $(c+5)$.
$\frac{c+5}{c-5} = \frac{(c+5)(c+5)}{(c-5)(c+5)} = \frac{(c+5)^2}{(c-5)(c+5)}$.
Ответ: $\frac{4c}{(c-5)(c+5)}$, $\frac{(c-5)^2}{(c-5)(c+5)}$, $\frac{(c+5)^2}{(c-5)(c+5)}$.

в) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{c^2}{c-2}$ и $\frac{4}{c+2}$ к общему знаменателю.
1. Находим НОЗ. Знаменатели дробей: $(c-2)(c+2)$, $c-2$ и $c+2$.
НОЗ равен произведению уникальных множителей: $(c-2)(c+2)$.
2. Приводим дроби к НОЗ.
- Первая дробь $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$ уже приведена к общему знаменателю.
- Для второй дроби $\frac{c^2}{c-2}$ дополнительный множитель - $(c+2)$.
$\frac{c^2}{c-2} = \frac{c^2(c+2)}{(c-2)(c+2)}$.
- Для третьей дроби $\frac{4}{c+2}$ дополнительный множитель - $(c-2)$.
$\frac{4}{c+2} = \frac{4(c-2)}{(c+2)(c-2)} = \frac{4(c-2)}{(c-2)(c+2)}$.
Ответ: $\frac{c-1}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{c^2(c+2)}{(c-2)(c+2)}$, $\frac{4(c-2)}{(c-2)(c+2)}$.

г) Задача состоит в том, чтобы привести дроби $\frac{a+x}{a-x}$, $\frac{2ax}{a^2-x^2}$ и $\frac{a-x}{a+x}$ к общему знаменателю.
1. Находим НОЗ. Разложим знаменатели на множители:
Первый знаменатель: $a-x$.
Второй знаменатель: $a^2-x^2 = (a-x)(a+x)$.
Третий знаменатель: $a+x$.
НОЗ равен $(a-x)(a+x)$.
2. Приводим дроби к НОЗ.
- Для первой дроби $\frac{a+x}{a-x}$ дополнительный множитель - $(a+x)$.
$\frac{a+x}{a-x} = \frac{(a+x)(a+x)}{(a-x)(a+x)} = \frac{(a+x)^2}{(a-x)(a+x)}$.
- Вторая дробь $\frac{2ax}{a^2-x^2} = \frac{2ax}{(a-x)(a+x)}$ уже имеет общий знаменатель.
- Для третьей дроби $\frac{a-x}{a+x}$ дополнительный множитель - $(a-x)$.
$\frac{a-x}{a+x} = \frac{(a-x)(a-x)}{(a+x)(a-x)} = \frac{(a-x)^2}{(a-x)(a+x)}$.
Ответ: $\frac{(a+x)^2}{(a-x)(a+x)}$, $\frac{2ax}{(a-x)(a+x)}$, $\frac{(a-x)^2}{(a-x)(a+x)}$.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

2.41 a) $\frac{x^2+5}{4-x^2}$, $\frac{x+1}{x+2}$ и $\frac{x-1}{x-2}$;

б) $\frac{10xy}{4x^2-y^2}$, $\frac{2x}{-2x-y}$ и $\frac{5y}{y-2x}$;

в) $\frac{p^2+1}{p^2-9}$, $\frac{p-1}{p+3}$ и $\frac{p+1}{3-p}$;

г) $\frac{3q}{q-3p}$, $\frac{6pq}{9p^2-q^2}$ и $\frac{2p}{-q-3p}$.

а)

Чтобы привести дроби $ \frac{x^2 + 5}{4 - x^2} $, $ \frac{x + 1}{x + 2} $ и $ \frac{x - 1}{x - 2} $ к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) $. Для удобства представим $ (2 - x) $ как $ -(x - 2) $. Таким образом, $ 4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2) $.
Знаменатель второй дроби: $ x + 2 $.
Знаменатель третьей дроби: $ x - 2 $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет произведением всех уникальных множителей: $ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 $.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю:

1. $ \frac{x^2 + 5}{4 - x^2} = \frac{x^2 + 5}{-(x^2 - 4)} = \frac{-(x^2 + 5)}{x^2 - 4} = \frac{-x^2 - 5}{x^2 - 4} $.

2. Для второй дроби $ \frac{x + 1}{x + 2} $ дополнительный множитель равен $ (x - 2) $:
$ \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^2 - 2x + x - 2}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} $.

3. Для третьей дроби $ \frac{x - 1}{x - 2} $ дополнительный множитель равен $ (x + 2) $:
$ \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x - x - 2}{x^2 - 4} = \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} $.

Ответ: $ \frac{-x^2 - 5}{x^2 - 4} $, $ \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4} $, $ \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} $.

б)

Приведем дроби $ \frac{10xy}{4x^2 - y^2} $, $ \frac{2x}{-2x - y} $ и $ \frac{5y}{y - 2x} $ к НОЗ.

Разложим знаменатели на множители:
$ 4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y) $.
$ -2x - y = -(2x + y) $.
$ y - 2x = -(2x - y) $.

НОЗ равен $ (2x - y)(2x + y) = 4x^2 - y^2 $.

Приводим дроби к НОЗ:

1. Первая дробь $ \frac{10xy}{4x^2 - y^2} $ уже имеет требуемый знаменатель.

2. $ \frac{2x}{-2x - y} = \frac{2x}{-(2x + y)} = -\frac{2x}{2x + y} $. Домножаем на $ (2x - y) $:
$ -\frac{2x(2x - y)}{(2x + y)(2x - y)} = -\frac{4x^2 - 2xy}{4x^2 - y^2} = \frac{2xy - 4x^2}{4x^2 - y^2} $.

3. $ \frac{5y}{y - 2x} = \frac{5y}{-(2x - y)} = -\frac{5y}{2x - y} $. Домножаем на $ (2x + y) $:
$ -\frac{5y(2x + y)}{(2x - y)(2x + y)} = -\frac{10xy + 5y^2}{4x^2 - y^2} = \frac{-10xy - 5y^2}{4x^2 - y^2} $.

Ответ: $ \frac{10xy}{4x^2 - y^2} $, $ \frac{2xy - 4x^2}{4x^2 - y^2} $, $ \frac{-10xy - 5y^2}{4x^2 - y^2} $.

в)

Приведем дроби $ \frac{p^2 + 1}{p^2 - 9} $, $ \frac{p - 1}{p + 3} $ и $ \frac{p + 1}{3 - p} $ к НОЗ.

Разложим знаменатели на множители:
$ p^2 - 9 = (p - 3)(p + 3) $.
$ p + 3 $.
$ 3 - p = -(p - 3) $.

НОЗ равен $ (p - 3)(p + 3) = p^2 - 9 $.

Приводим дроби к НОЗ:

1. Первая дробь $ \frac{p^2 + 1}{p^2 - 9} $ уже имеет требуемый знаменатель.

2. Для дроби $ \frac{p - 1}{p + 3} $ дополнительный множитель $ (p - 3) $:
$ \frac{(p - 1)(p - 3)}{(p + 3)(p - 3)} = \frac{p^2 - 3p - p + 3}{p^2 - 9} = \frac{p^2 - 4p + 3}{p^2 - 9} $.

3. $ \frac{p + 1}{3 - p} = \frac{p + 1}{-(p - 3)} = -\frac{p + 1}{p - 3} $. Домножаем на $ (p + 3) $:
$ -\frac{(p + 1)(p + 3)}{(p - 3)(p + 3)} = -\frac{p^2 + 3p + p + 3}{p^2 - 9} = \frac{-(p^2 + 4p + 3)}{p^2 - 9} = \frac{-p^2 - 4p - 3}{p^2 - 9} $.

Ответ: $ \frac{p^2 + 1}{p^2 - 9} $, $ \frac{p^2 - 4p + 3}{p^2 - 9} $, $ \frac{-p^2 - 4p - 3}{p^2 - 9} $.

г)

Приведем дроби $ \frac{3q}{q - 3p} $, $ \frac{6pq}{9p^2 - q^2} $ и $ \frac{2p}{-q - 3p} $ к НОЗ.

Разложим знаменатели на множители:
$ q - 3p = -(3p - q) $.
$ 9p^2 - q^2 = (3p - q)(3p + q) $.
$ -q - 3p = -(q + 3p) = -(3p + q) $.

НОЗ равен $ (3p - q)(3p + q) = 9p^2 - q^2 $.

Приводим дроби к НОЗ:

1. $ \frac{3q}{q - 3p} = \frac{3q}{-(3p - q)} = -\frac{3q}{3p - q} $. Домножаем на $ (3p + q) $:
$ -\frac{3q(3p + q)}{(3p - q)(3p + q)} = -\frac{9pq + 3q^2}{9p^2 - q^2} = \frac{-9pq - 3q^2}{9p^2 - q^2} $.

2. Вторая дробь $ \frac{6pq}{9p^2 - q^2} $ уже имеет требуемый знаменатель.

3. $ \frac{2p}{-q - 3p} = \frac{2p}{-(q + 3p)} = -\frac{2p}{3p + q} $. Домножаем на $ (3p - q) $:
$ -\frac{2p(3p - q)}{(3p + q)(3p - q)} = -\frac{6p^2 - 2pq}{9p^2 - q^2} = \frac{2pq - 6p^2}{9p^2 - q^2} $.

Ответ: $ \frac{-9pq - 3q^2}{9p^2 - q^2} $, $ \frac{6pq}{9p^2 - q^2} $, $ \frac{2pq - 6p^2}{9p^2 - q^2} $.

2.42 а) $\frac{a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$, $\frac{a - 1}{a^2 + a + 1}$ и $\frac{1}{a - 1}$;

б) $\frac{4}{3(x - y)}$, $\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}$ и $\frac{3xy}{x^3 - y^3}$;

в) $\frac{b - 2}{b^2 - 2b + 4}$, $\frac{2b}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}$ и $\frac{2}{b + 2}$;

г) $\frac{a + b}{a^2 - ab + b^2}$, $\frac{5ab}{a^3 + b^3}$ и $\frac{3}{4(a + b)}$.

Задача состоит в приведении алгебраических дробей к общему знаменателю. Для этого необходимо разложить знаменатели на множители, найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) и домножить каждую дробь на соответствующий дополнительный множитель.

а) Даны дроби: $ \frac{a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $, $ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} $ и $ \frac{1}{a - 1} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ (a - 1)(a^2 + a + 1) $. Используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $, видим, что это $ a^3 - 1^3 = a^3 - 1 $.
Знаменатель второй дроби: $ a^2 + a + 1 $.
Знаменатель третьей дроби: $ a - 1 $.

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители из всех знаменателей.
НОЗ = $ (a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1 $.

3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби.
Для первой дроби дополнительный множитель равен 1, так как ее знаменатель уже является НОЗ.
Для второй дроби: $ \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a^2 + a + 1} = a - 1 $.
Для третьей дроби: $ \frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a - 1} = a^2 + a + 1 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{a}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a}{a^3 - 1} $.
Вторая дробь: $ \frac{a - 1}{a^2 + a + 1} = \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} = \frac{(a - 1)^2}{a^3 - 1} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 - 1} $.
Третья дробь: $ \frac{1}{a - 1} = \frac{1 \cdot (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} $.

Ответ: $ \frac{a}{a^3 - 1} $, $ \frac{a^2 - 2a + 1}{a^3 - 1} $, $ \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} $.

б) Даны дроби: $ \frac{4}{3(x - y)} $, $ \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} $ и $ \frac{3xy}{x^3 - y^3} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ 3(x - y) $.
Знаменатель второй дроби: $ x^2 + xy + y^2 $.
Знаменатель третьей дроби: $ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $ (формула разности кубов).

2. Найдем НОЗ. Он должен включать множители $ 3 $, $ (x - y) $ и $ (x^2 + xy + y^2) $.
НОЗ = $ 3(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 3(x^3 - y^3) $.

3. Найдем дополнительные множители.
Для первой дроби: $ \frac{3(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{3(x - y)} = x^2 + xy + y^2 $.
Для второй дроби: $ \frac{3(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = 3(x - y) $.
Для третьей дроби: $ \frac{3(x^3 - y^3)}{x^3 - y^3} = 3 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{4}{3(x - y)} = \frac{4(x^2 + xy + y^2)}{3(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{4x^2 + 4xy + 4y^2}{3(x^3 - y^3)} $.
Вторая дробь: $ \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x + y) \cdot 3(x - y)}{(x^2 + xy + y^2) \cdot 3(x - y)} = \frac{3(x^2 - y^2)}{3(x^3 - y^3)} = \frac{3x^2 - 3y^2}{3(x^3 - y^3)} $.
Третья дробь: $ \frac{3xy}{x^3 - y^3} = \frac{3xy \cdot 3}{3(x^3 - y^3)} = \frac{9xy}{3(x^3 - y^3)} $.

Ответ: $ \frac{4x^2 + 4xy + 4y^2}{3(x^3 - y^3)} $, $ \frac{3x^2 - 3y^2}{3(x^3 - y^3)} $, $ \frac{9xy}{3(x^3 - y^3)} $.

в) Даны дроби: $ \frac{b - 2}{b^2 - 2b + 4} $, $ \frac{2b}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} $ и $ \frac{2}{b + 2} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ b^2 - 2b + 4 $.
Знаменатель второй дроби: $ (b + 2)(b^2 - 2b + 4) $. Используя формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $, видим, что это $ b^3 + 2^3 = b^3 + 8 $.
Знаменатель третьей дроби: $ b + 2 $.

2. Найдем НОЗ.
НОЗ = $ (b + 2)(b^2 - 2b + 4) = b^3 + 8 $.

3. Найдем дополнительные множители.
Для первой дроби: $ \frac{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}{b^2 - 2b + 4} = b + 2 $.
Для второй дроби дополнительный множитель равен 1.
Для третьей дроби: $ \frac{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)}{b + 2} = b^2 - 2b + 4 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{b - 2}{b^2 - 2b + 4} = \frac{(b - 2)(b + 2)}{(b^2 - 2b + 4)(b + 2)} = \frac{b^2 - 4}{b^3 + 8} $.
Вторая дробь: $ \frac{2b}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{2b}{b^3 + 8} $.
Третья дробь: $ \frac{2}{b + 2} = \frac{2(b^2 - 2b + 4)}{(b + 2)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{2b^2 - 4b + 8}{b^3 + 8} $.

Ответ: $ \frac{b^2 - 4}{b^3 + 8} $, $ \frac{2b}{b^3 + 8} $, $ \frac{2b^2 - 4b + 8}{b^3 + 8} $.

г) Даны дроби: $ \frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} $, $ \frac{5ab}{a^3 + b^3} $ и $ \frac{3}{4(a + b)} $.

1. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ a^2 - ab + b^2 $.
Знаменатель второй дроби: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ (формула суммы кубов).
Знаменатель третьей дроби: $ 4(a + b) $.

2. Найдем НОЗ. Он должен включать множители $ 4 $, $ (a + b) $ и $ (a^2 - ab + b^2) $.
НОЗ = $ 4(a + b)(a^2 - ab + b^2) = 4(a^3 + b^3) $.

3. Найдем дополнительные множители.
Для первой дроби: $ \frac{4(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} = 4(a + b) $.
Для второй дроби: $ \frac{4(a^3 + b^3)}{a^3 + b^3} = 4 $.
Для третьей дроби: $ \frac{4(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{4(a + b)} = a^2 - ab + b^2 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю.
Первая дробь: $ \frac{a + b}{a^2 - ab + b^2} = \frac{(a + b) \cdot 4(a + b)}{4(a^3 + b^3)} = \frac{4(a + b)^2}{4(a^3 + b^3)} = \frac{4(a^2 + 2ab + b^2)}{4(a^3 + b^3)} = \frac{4a^2 + 8ab + 4b^2}{4(a^3 + b^3)} $.
Вторая дробь: $ \frac{5ab}{a^3 + b^3} = \frac{5ab \cdot 4}{4(a^3 + b^3)} = \frac{20ab}{4(a^3 + b^3)} $.
Третья дробь: $ \frac{3}{4(a + b)} = \frac{3(a^2 - ab + b^2)}{4(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{3a^2 - 3ab + 3b^2}{4(a^3 + b^3)} $.

Ответ: $ \frac{4a^2 + 8ab + 4b^2}{4(a^3 + b^3)} $, $ \frac{20ab}{4(a^3 + b^3)} $, $ \frac{3a^2 - 3ab + 3b^2}{4(a^3 + b^3)} $.