Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2.22 а) $\frac{b}{a + b}$ и $\frac{13b}{a}$;

б) $\frac{1 + a}{a^2}$ и $\frac{a - 1}{a - 4}$;

в) $\frac{2c}{b}$ и $\frac{b}{b - c}$;

г) $\frac{x - y}{x + y}$ и $\frac{x + 3}{x^3}$.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{a+b}$ и $\frac{13b}{a}$ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное их знаменателей. Знаменатели $a+b$ и $a$ являются взаимно простыми выражениями, так как у них нет общих множителей. Поэтому их наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен их произведению: $a(a+b)$.

Приведем первую дробь к новому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $a$:

$\frac{b}{a+b} = \frac{b \cdot a}{(a+b) \cdot a} = \frac{ab}{a(a+b)}$

Приведем вторую дробь к новому знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $(a+b)$:

$\frac{13b}{a} = \frac{13b \cdot (a+b)}{a \cdot (a+b)} = \frac{13ab + 13b^2}{a(a+b)}$

Ответ: $\frac{ab}{a(a+b)}$ и $\frac{13ab + 13b^2}{a(a+b)}$.

б) Рассмотрим дроби $\frac{1+a}{a^2}$ и $\frac{a-1}{a-4}$. Знаменатели $a^2$ и $a-4$ не имеют общих множителей. Следовательно, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $a^2(a-4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $a-4$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{1+a}{a^2} = \frac{(1+a)(a-4)}{a^2(a-4)} = \frac{a-4+a^2-4a}{a^2(a-4)} = \frac{a^2-3a-4}{a^2(a-4)}$

Дополнительный множитель для второй дроби равен $a^2$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{a-1}{a-4} = \frac{(a-1)a^2}{(a-4)a^2} = \frac{a^3-a^2}{a^2(a-4)}$

Ответ: $\frac{a^2-3a-4}{a^2(a-4)}$ и $\frac{a^3-a^2}{a^2(a-4)}$.

в) Даны дроби $\frac{2c}{b}$ и $\frac{b}{b-c}$. Знаменатели $b$ и $b-c$ не имеют общих множителей. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $b(b-c)$.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $b-c$:

$\frac{2c}{b} = \frac{2c(b-c)}{b(b-c)} = \frac{2bc - 2c^2}{b(b-c)}$

Для второй дроби дополнительный множитель равен $b$:

$\frac{b}{b-c} = \frac{b \cdot b}{(b-c) \cdot b} = \frac{b^2}{b(b-c)}$

Ответ: $\frac{2bc - 2c^2}{b(b-c)}$ и $\frac{b^2}{b(b-c)}$.

г) Даны дроби $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{x+3}{x^3}$. Знаменатели $x+y$ и $x^3$ не имеют общих множителей. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $x^3(x+y)$.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $x^3$:

$\frac{x-y}{x+y} = \frac{(x-y)x^3}{(x+y)x^3} = \frac{x^4 - x^3y}{x^3(x+y)}$

Для второй дроби дополнительный множитель равен $x+y$:

$\frac{x+3}{x^3} = \frac{(x+3)(x+y)}{x^3(x+y)} = \frac{x^2+xy+3x+3y}{x^3(x+y)}$

Ответ: $\frac{x^4 - x^3y}{x^3(x+y)}$ и $\frac{x^2+xy+3x+3y}{x^3(x+y)}$.

2.23 a) $ \frac{b}{a} $ и $ \frac{b^2}{a(a-1)} $;

б) $ \frac{c+1}{c-1} $ и $ \frac{c-3}{c(c-1)} $;

в) $ \frac{(c+d)}{c(c-d)} $ и $ \frac{d}{c} $;

г) $ \frac{x^2}{y(y+x)} $ и $ \frac{y}{y+x} $.

Даны дроби $ \frac{b}{a} $ и $ \frac{b^2}{a(a-1)} $. Их знаменатели — это $a$ и $a(a-1)$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. НОК для $a$ и $a(a-1)$ будет $a(a-1)$.

Первую дробь $ \frac{b}{a} $ домножим на дополнительный множитель $(a-1)$, чтобы ее знаменатель стал $a(a-1)$:

$ \frac{b}{a} = \frac{b \cdot (a-1)}{a \cdot (a-1)} = \frac{b(a-1)}{a(a-1)} $

Вторая дробь $ \frac{b^2}{a(a-1)} $ уже имеет нужный знаменатель.

Ответ: $ \frac{b(a-1)}{a(a-1)} $ и $ \frac{b^2}{a(a-1)} $.

Даны дроби $ \frac{c+1}{c-1} $ и $ \frac{c-3}{c(c-1)} $. Их знаменатели — это $c-1$ и $c(c-1)$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — $c(c-1)$.

Первую дробь $ \frac{c+1}{c-1} $ домножим на дополнительный множитель $c$:

$ \frac{c+1}{c-1} = \frac{(c+1) \cdot c}{(c-1) \cdot c} = \frac{c(c+1)}{c(c-1)} $

Вторая дробь $ \frac{c-3}{c(c-1)} $ уже приведена к общему знаменателю.

Ответ: $ \frac{c(c+1)}{c(c-1)} $ и $ \frac{c-3}{c(c-1)} $.

Даны дроби $ \frac{c+d}{c(c-d)} $ и $ \frac{d}{c} $. Их знаменатели — это $c(c-d)$ и $c$.

Наименьший общий знаменатель — $c(c-d)$.

Первая дробь $ \frac{c+d}{c(c-d)} $ уже имеет этот знаменатель.

Вторую дробь $ \frac{d}{c} $ домножим на дополнительный множитель $(c-d)$:

$ \frac{d}{c} = \frac{d \cdot (c-d)}{c \cdot (c-d)} = \frac{d(c-d)}{c(c-d)} $

Ответ: $ \frac{c+d}{c(c-d)} $ и $ \frac{d(c-d)}{c(c-d)} $.

Даны дроби $ \frac{x^2}{y(y+x)} $ и $ \frac{y}{y+x} $. Их знаменатели — это $y(y+x)$ и $y+x$.

Наименьший общий знаменатель — $y(y+x)$.

Первая дробь $ \frac{x^2}{y(y+x)} $ уже имеет этот знаменатель.

Вторую дробь $ \frac{y}{y+x} $ домножим на дополнительный множитель $y$:

$ \frac{y}{y+x} = \frac{y \cdot y}{(y+x) \cdot y} = \frac{y^2}{y(y+x)} $

Ответ: $ \frac{x^2}{y(y+x)} $ и $ \frac{y^2}{y(y+x)} $.

2.24 а) $ \frac{b}{2a} $ и $ \frac{a+b}{a(a-b)} $;

б) $ \frac{a-1}{a^2} $ и $ \frac{a+1}{a(a-1)} $;

в) $ \frac{m-n}{m(m+n)} $ и $ \frac{n}{3m} $;

г) $ \frac{m-4}{m(m+2)} $ и $ \frac{m-2}{m^2} $.

а) Чтобы привести дроби $\frac{b}{2a}$ и $\frac{a+b}{a(a-b)}$ к общему знаменателю, сначала найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ).
Разложим знаменатели на множители: $2a = 2 \cdot a$ и $a(a-b) = a \cdot (a-b)$.
НОЗ должен содержать все множители из каждого знаменателя в наивысшей встречающейся степени. Таким образом, НОЗ = $2 \cdot a \cdot (a-b) = 2a(a-b)$.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби, разделив НОЗ на ее знаменатель: $\frac{2a(a-b)}{2a} = a-b$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель: $\frac{b}{2a} = \frac{b \cdot (a-b)}{2a \cdot (a-b)} = \frac{ab - b^2}{2a(a-b)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{2a(a-b)}{a(a-b)} = 2$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби: $\frac{a+b}{a(a-b)} = \frac{(a+b) \cdot 2}{a(a-b) \cdot 2} = \frac{2a+2b}{2a(a-b)}$.
Ответ: $\frac{ab-b^2}{2a(a-b)}$ и $\frac{2a+2b}{2a(a-b)}$.

б) Приведем дроби $\frac{a-1}{a^2}$ и $\frac{a+1}{a(a-1)}$ к общему знаменателю.
Знаменатели: $a^2$ и $a(a-1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $a^2(a-1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a^2(a-1)}{a^2} = a-1$.
Первая дробь: $\frac{a-1}{a^2} = \frac{(a-1)(a-1)}{a^2(a-1)} = \frac{(a-1)^2}{a^2(a-1)} = \frac{a^2-2a+1}{a^2(a-1)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2(a-1)}{a(a-1)} = a$.
Вторая дробь: $\frac{a+1}{a(a-1)} = \frac{(a+1)a}{a(a-1)a} = \frac{a^2+a}{a^2(a-1)}$.
Ответ: $\frac{a^2-2a+1}{a^2(a-1)}$ и $\frac{a^2+a}{a^2(a-1)}$.

в) Приведем дроби $\frac{m-n}{m(m+n)}$ и $\frac{n}{3m^2}$ к общему знаменателю.
Знаменатели: $m(m+n)$ и $3m^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $3m^2(m+n)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3m^2(m+n)}{m(m+n)} = 3m$.
Первая дробь: $\frac{m-n}{m(m+n)} = \frac{(m-n)3m}{m(m+n)3m} = \frac{3m^2-3mn}{3m^2(m+n)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3m^2(m+n)}{3m^2} = m+n$.
Вторая дробь: $\frac{n}{3m^2} = \frac{n(m+n)}{3m^2(m+n)} = \frac{mn+n^2}{3m^2(m+n)}$.
Ответ: $\frac{3m^2-3mn}{3m^2(m+n)}$ и $\frac{mn+n^2}{3m^2(m+n)}$.

г) Приведем дроби $\frac{m-4}{m(m+2)}$ и $\frac{m-2}{m^2}$ к общему знаменателю.
Знаменатели: $m(m+2)$ и $m^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) = $m^2(m+2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{m^2(m+2)}{m(m+2)} = m$.
Первая дробь: $\frac{m-4}{m(m+2)} = \frac{(m-4)m}{m(m+2)m} = \frac{m^2-4m}{m^2(m+2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{m^2(m+2)}{m^2} = m+2$.
Вторая дробь: $\frac{m-2}{m^2} = \frac{(m-2)(m+2)}{m^2(m+2)} = \frac{m^2-4}{m^2(m+2)}$.
Ответ: $\frac{m^2-4m}{m^2(m+2)}$ и $\frac{m^2-4}{m^2(m+2)}$.

2.25 a) $\frac{17x}{3x-3}$ и $\frac{11}{6x-6}$

б) $ \frac{b-2}{ab+2a} $ и $ \frac{a+2}{2b+b^2} $

в) $ \frac{5x}{8x+8y} $ и $ \frac{9y}{4x+4y} $

г) $ \frac{x-3}{x^2-xy} $ и $ \frac{y-3}{xy-y^2} $

а) Даны дроби $ \frac{17x}{3x-3} $ и $ \frac{11}{6x-6} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители:
$ 3x - 3 = 3(x - 1) $
$ 6x - 6 = 6(x - 1) = 2 \cdot 3(x - 1) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — это наименьшее общее кратное их знаменателей. НОЗ равен $ 6(x - 1) $.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби, разделив НОЗ на ее знаменатель: $ \frac{6(x - 1)}{3(x - 1)} = 2 $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{6(x - 1)}{6(x - 1)} = 1 $.
Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
Для первой дроби: $ \frac{17x}{3(x-1)} = \frac{17x \cdot 2}{3(x-1) \cdot 2} = \frac{34x}{6(x-1)} = \frac{34x}{6x-6} $.
Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель: $ \frac{11}{6x-6} $.
Ответ: $ \frac{34x}{6x-6} $ и $ \frac{11}{6x-6} $.

б) Даны дроби $ \frac{b-2}{ab+2a} $ и $ \frac{a+2}{2b+b^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ ab + 2a = a(b + 2) $
$ 2b + b^2 = b(2 + b) = b(b + 2) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени: $ ab(b + 2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab(b+2)}{a(b+2)} = b $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab(b+2)}{b(b+2)} = a $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{b-2}{a(b+2)} = \frac{(b-2) \cdot b}{a(b+2) \cdot b} = \frac{b^2 - 2b}{ab(b+2)} = \frac{b^2 - 2b}{ab^2 + 2ab} $
$ \frac{a+2}{b(b+2)} = \frac{(a+2) \cdot a}{b(b+2) \cdot a} = \frac{a^2 + 2a}{ab(b+2)} = \frac{a^2 + 2a}{ab^2 + 2ab} $
Ответ: $ \frac{b^2 - 2b}{ab^2 + 2ab} $ и $ \frac{a^2 + 2a}{ab^2 + 2ab} $.

в) Даны дроби $ \frac{5x}{8x+8y} $ и $ \frac{9y}{4x+4y} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ 8x + 8y = 8(x + y) $
$ 4x + 4y = 4(x + y) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $ 8(x+y) $ и $ 4(x+y) $ равен $ 8(x+y) $, так как 8 является наименьшим общим кратным для чисел 8 и 4.
Дополнительный множитель для первой дроби равен 1, поэтому дробь не изменяется: $ \frac{5x}{8(x+y)} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{8(x+y)}{4(x+y)} = 2 $.
Приводим вторую дробь к общему знаменателю:
$ \frac{9y}{4(x+y)} = \frac{9y \cdot 2}{4(x+y) \cdot 2} = \frac{18y}{8(x+y)} = \frac{18y}{8x+8y} $
Ответ: $ \frac{5x}{8x+8y} $ и $ \frac{18y}{8x+8y} $.

г) Даны дроби $ \frac{x-3}{x^2-xy} $ и $ \frac{y-3}{xy-y^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ x^2 - xy = x(x - y) $
$ xy - y^2 = y(x - y) $
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ xy(x - y) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{xy(x-y)}{x(x-y)} = y $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{xy(x-y)}{y(x-y)} = x $.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{x-3}{x(x-y)} = \frac{(x-3)y}{x(x-y)y} = \frac{xy - 3y}{xy(x-y)} = \frac{xy - 3y}{x^2y - xy^2} $
$ \frac{y-3}{y(x-y)} = \frac{(y-3)x}{y(x-y)x} = \frac{xy - 3x}{xy(x-y)} = \frac{xy - 3x}{x^2y - xy^2} $
Ответ: $ \frac{xy - 3y}{x^2y - xy^2} $ и $ \frac{xy - 3x}{x^2y - xy^2} $.

2.26 a) $ \frac{5m}{m-8} $ и $ \frac{6n}{m+8} $;

б) $ \frac{a-b}{b(a+b)} $ и $ \frac{4a}{b(a-b)} $;

в) $ \frac{q+10}{q-10} $ и $ \frac{3q}{q+10} $;

г) $ \frac{x+1}{y(x-1)} $ и $ \frac{x-1}{y(x+1)} $.

а) Даны дроби $\frac{5m}{m-8}$ и $\frac{6n}{m+8}$. Знаменатели этих дробей, $(m-8)$ и $(m+8)$, являются взаимно простыми выражениями, так как не имеют общих множителей, кроме 1. Следовательно, наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей будет равен их произведению. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, получаем НОЗ: $(m-8)(m+8) = m^2 - 64$.
Для первой дроби дополнительным множителем является $(m+8)$:$\frac{5m}{m-8} = \frac{5m \cdot (m+8)}{(m-8) \cdot (m+8)} = \frac{5m^2 + 40m}{m^2 - 64}$.
Для второй дроби дополнительным множителем является $(m-8)$:$\frac{6n}{m+8} = \frac{6n \cdot (m-8)}{(m+8) \cdot (m-8)} = \frac{6mn - 48n}{m^2 - 64}$.
Ответ: $\frac{5m^2 + 40m}{m^2 - 64}$ и $\frac{6mn - 48n}{m^2 - 64}$.

б) Даны дроби $\frac{a-b}{b(a+b)}$ и $\frac{4a}{b(a-b)}$. Знаменатели дробей $b(a+b)$ и $b(a-b)$ имеют общий множитель $b$. Наименьший общий знаменатель должен содержать каждый множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в знаменателях. Таким образом, НОЗ равен $b(a+b)(a-b) = b(a^2-b^2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(a-b)$:$\frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{(a-b) \cdot (a-b)}{b(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{(a-b)^2}{b(a^2-b^2)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{b(a^2-b^2)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(a+b)$:$\frac{4a}{b(a-b)} = \frac{4a \cdot (a+b)}{b(a-b) \cdot (a+b)} = \frac{4a^2 + 4ab}{b(a^2-b^2)}$.
Ответ: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{b(a^2-b^2)}$ и $\frac{4a^2 + 4ab}{b(a^2-b^2)}$.

в) Даны дроби $\frac{q+10}{q-10}$ и $\frac{3q}{q+10}$. Знаменатели $(q-10)$ и $(q+10)$ не имеют общих множителей. Наименьший общий знаменатель равен их произведению: $(q-10)(q+10) = q^2 - 100$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(q+10)$:$\frac{q+10}{q-10} = \frac{(q+10) \cdot (q+10)}{(q-10) \cdot (q+10)} = \frac{(q+10)^2}{q^2-100} = \frac{q^2 + 20q + 100}{q^2-100}$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(q-10)$:$\frac{3q}{q+10} = \frac{3q \cdot (q-10)}{(q+10) \cdot (q-10)} = \frac{3q^2 - 30q}{q^2-100}$.
Ответ: $\frac{q^2 + 20q + 100}{q^2-100}$ и $\frac{3q^2 - 30q}{q^2-100}$.

г) Даны дроби $\frac{x+1}{y(x-1)}$ и $\frac{x-1}{y(x+1)}$. Знаменатели $y(x-1)$ и $y(x+1)$ имеют общий множитель $y$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей: $y(x-1)(x+1) = y(x^2-1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(x+1)$:$\frac{x+1}{y(x-1)} = \frac{(x+1) \cdot (x+1)}{y(x-1) \cdot (x+1)} = \frac{(x+1)^2}{y(x^2-1)} = \frac{x^2+2x+1}{y(x^2-1)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(x-1)$:$\frac{x-1}{y(x+1)} = \frac{(x-1) \cdot (x-1)}{y(x+1) \cdot (x-1)} = \frac{(x-1)^2}{y(x^2-1)} = \frac{x^2-2x+1}{y(x^2-1)}$.
Ответ: $\frac{x^2+2x+1}{y(x^2-1)}$ и $\frac{x^2-2x+1}{y(x^2-1)}$.

2.27 a) $ \frac{3c}{cd + d^2} $ И $ \frac{c + 3}{cd - d^2} $;

б) $ \frac{4 - 2x + x^2}{2x - x^2} $ И $ \frac{2 - x}{2x + x^2} $;

в) $ \frac{x - 2}{xy - y} $ И $ \frac{2y}{xy + y} $;

г) $ \frac{x + 1}{x^2 - x} $ И $ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x} $.

а) Чтобы привести дроби $\frac{3c}{cd + d^2}$ и $\frac{c+3}{cd - d^2}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$cd + d^2 = d(c + d)$
$cd - d^2 = d(c - d)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он равен произведению всех уникальных множителей в их наивысшей степени:
НОЗ = $d(c + d)(c - d) = d(c^2 - d^2)$

3. Найдём дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $\frac{d(c+d)(c-d)}{d(c+d)} = c - d$
Для второй дроби: $\frac{d(c+d)(c-d)}{d(c-d)} = c + d$

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:
$\frac{3c}{cd + d^2} = \frac{3c(c-d)}{d(c+d)(c-d)} = \frac{3c^2 - 3cd}{d(c^2 - d^2)}$
$\frac{c+3}{cd - d^2} = \frac{(c+3)(c+d)}{d(c-d)(c+d)} = \frac{c^2 + cd + 3c + 3d}{d(c^2 - d^2)}$
Ответ: $\frac{3c^2 - 3cd}{d(c^2 - d^2)}$ и $\frac{c^2 + cd + 3c + 3d}{d(c^2 - d^2)}$.

б) Чтобы привести дроби $\frac{4 - 2x + x^2}{2x - x^2}$ и $\frac{2-x}{2x + x^2}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$2x - x^2 = x(2 - x)$
$2x + x^2 = x(2 + x)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ):
НОЗ = $x(2 - x)(2 + x) = x(4 - x^2)$

3. Найдём дополнительные множители:
Для первой дроби: $2 + x$
Для второй дроби: $2 - x$

4. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{4 - 2x + x^2}{2x - x^2} = \frac{(x^2 - 2x + 4)(x+2)}{x(2-x)(x+2)} = \frac{x^3 + 8}{x(4 - x^2)}$ (в числителе использована формула суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$).
$\frac{2-x}{2x + x^2} = \frac{(2-x)(2-x)}{x(2+x)(2-x)} = \frac{(2-x)^2}{x(4 - x^2)} = \frac{4 - 4x + x^2}{x(4 - x^2)}$
Ответ: $\frac{x^3 + 8}{x(4 - x^2)}$ и $\frac{4 - 4x + x^2}{x(4 - x^2)}$.

в) Чтобы привести дроби $\frac{x-2}{xy-y}$ и $\frac{2y}{xy+y}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$xy - y = y(x - 1)$
$xy + y = y(x + 1)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ):
НОЗ = $y(x - 1)(x + 1) = y(x^2 - 1)$

3. Найдём дополнительные множители:
Для первой дроби: $x + 1$
Для второй дроби: $x - 1$

4. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{x-2}{xy-y} = \frac{(x-2)(x+1)}{y(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x-2x-2}{y(x^2-1)} = \frac{x^2 - x - 2}{y(x^2 - 1)}$
$\frac{2y}{xy+y} = \frac{2y(x-1)}{y(x+1)(x-1)} = \frac{2xy - 2y}{y(x^2 - 1)}$
Ответ: $\frac{x^2 - x - 2}{y(x^2 - 1)}$ и $\frac{2xy - 2y}{y(x^2 - 1)}$.

г) Чтобы привести дроби $\frac{x+1}{x^2 - x}$ и $\frac{x^2+x+1}{x^2+x}$ к общему знаменателю, выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - x = x(x - 1)$
$x^2 + x = x(x + 1)$

2. Найдём наименьший общий знаменатель (НОЗ):
НОЗ = $x(x - 1)(x + 1) = x(x^2 - 1)$

3. Найдём дополнительные множители:
Для первой дроби: $x + 1$
Для второй дроби: $x - 1$

4. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{x+1}{x^2-x} = \frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{x(x^2-1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2 - 1)}$
$\frac{x^2+x+1}{x^2+x} = \frac{(x^2+x+1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{x^3 - 1}{x(x^2 - 1)}$ (в числителе использована формула разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$).
Ответ: $\frac{x^2 + 2x + 1}{x(x^2 - 1)}$ и $\frac{x^3 - 1}{x(x^2 - 1)}$.

2.28 a) $\frac{15}{m - n}$ и $\frac{16}{n - m}$;

б) $\frac{15a}{2a + b}$ и $\frac{6b}{-2a - b}$;

в) $\frac{48}{3p - q}$ и $\frac{11}{q - 3p}$;

г) $\frac{4s}{-2t - 3s}$ и $\frac{8t}{2t + 3s}$.

Основная задача во всех пунктах - привести дроби к общему знаменателю. Это делается путем преобразования одного из знаменателей так, чтобы он стал идентичен другому.

а)

Даны дроби $\frac{15}{m-n}$ и $\frac{16}{n-m}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заметим, что знаменатели являются противоположными выражениями: $n - m = -(m - n)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минус из знаменателя и поставив его перед дробью:

$\frac{16}{n-m} = \frac{16}{-(m-n)} = -\frac{16}{m-n}$.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $m-n$. Первая дробь $\frac{15}{m-n}$ остается без изменений, а вторая принимает вид $-\frac{16}{m-n}$.

Ответ: дроби можно привести к общему знаменателю $m-n$, получив $\frac{15}{m-n}$ и $-\frac{16}{m-n}$.

б)

Даны дроби $\frac{15a}{2a+b}$ и $\frac{6b}{-2a-b}$.

Знаменатель второй дроби можно преобразовать, вынеся за скобки $-1$: $-2a - b = -(2a + b)$.

Таким образом, вторая дробь преобразуется следующим образом:

$\frac{6b}{-2a-b} = \frac{6b}{-(2a+b)} = -\frac{6b}{2a+b}$.

Первая дробь $\frac{15a}{2a+b}$ уже имеет нужный знаменатель. Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю $2a+b$.

Ответ: дроби можно привести к общему знаменателю $2a+b$, получив $\frac{15a}{2a+b}$ и $-\frac{6b}{2a+b}$.

в)

Даны дроби $\frac{48}{3p-q}$ и $\frac{11}{q-3p}$.

Знаменатели $3p-q$ и $q-3p$ являются противоположными выражениями, так как $q - 3p = -(3p - q)$.

Преобразуем вторую дробь, изменив знак у знаменателя и поставив его перед дробью:

$\frac{11}{q-3p} = \frac{11}{-(3p-q)} = -\frac{11}{3p-q}$.

Теперь обе дроби приведены к общему знаменателю $3p-q$: $\frac{48}{3p-q}$ и $-\frac{11}{3p-q}$.

Ответ: дроби можно привести к общему знаменателю $3p-q$, получив $\frac{48}{3p-q}$ и $-\frac{11}{3p-q}$.

г)

Даны дроби $\frac{4s}{-2t-3s}$ и $\frac{8t}{2t+3s}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся за скобки $-1$: $-2t - 3s = -(2t + 3s)$.

Тогда первая дробь примет вид:

$\frac{4s}{-2t-3s} = \frac{4s}{-(2t+3s)} = -\frac{4s}{2t+3s}$.

Вторая дробь $\frac{8t}{2t+3s}$ уже имеет этот знаменатель. Таким образом, мы привели обе дроби к общему знаменателю $2t+3s$.

Ответ: дроби можно привести к общему знаменателю $2t+3s$, получив $-\frac{4s}{2t+3s}$ и $\frac{8t}{2t+3s}$.

2.29 а) $\frac{1}{(x - y)^2}$ и $\frac{1}{(y - x)^2}$;

б) $\frac{15m}{(a - b)^2}$ и $\frac{17n}{-(b - a)^2}$;

в) $\frac{25p}{(p - q)^2}$ и $\frac{5q}{(q - p)^2}$;

г) $\frac{3k}{-(l - k)^2}$ и $\frac{8l}{(k - l)^2}$.

Для решения данных задач мы будем использовать свойство квадрата противоположных чисел: $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$. Это свойство позволяет приводить знаменатели дробей к одинаковому виду.

а) Сравним дроби $\frac{1}{(x-y)^2}$ и $\frac{1}{(y-x)^2}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $(y-x)^2$. Так как $y-x = -(x-y)$, то $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$.

Поскольку знаменатели дробей равны, $(x-y)^2 = (y-x)^2$, и их числители также равны (1), то сами дроби равны.

Ответ: дроби равны, так как $\frac{1}{(x-y)^2} = \frac{1}{(y-x)^2}$.

б) Рассмотрим дроби $\frac{15m}{(a-b)^2}$ и $\frac{17n}{-(b-a)^2}$.

Приведем их к общему знаменателю. Преобразуем знаменатель второй дроби, используя тождество $(b-a)^2 = (a-b)^2$. Получаем: $-(b-a)^2 = -(a-b)^2$.

Тогда вторая дробь может быть записана как $\frac{17n}{-(a-b)^2}$ или, что то же самое, $\frac{-17n}{(a-b)^2}$.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $(a-b)^2$. В общем случае дроби не равны.

Ответ: дроби, приведенные к общему знаменателю: $\frac{15m}{(a-b)^2}$ и $\frac{-17n}{(a-b)^2}$.

в) Сравним дроби $\frac{25p}{(p-q)^2}$ и $\frac{5q}{(q-p)^2}$.

Приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $(q-p)^2$ можно преобразовать, используя свойство $(q-p)^2 = (p-q)^2$.

Таким образом, знаменатели обеих дробей равны. Дроби можно записать с общим знаменателем $(p-q)^2$. В общем случае, при произвольных $p$ и $q$, дроби не равны.

Ответ: дроби, приведенные к общему знаменателю: $\frac{25p}{(p-q)^2}$ и $\frac{5q}{(p-q)^2}$.

г) Рассмотрим дроби $\frac{3k}{-(l-k)^2}$ и $\frac{8l}{(k-l)^2}$.

Приведем их к общему знаменателю. Преобразуем знаменатель первой дроби: $-(l-k)^2$. Так как $(l-k)^2 = (k-l)^2$, то $-(l-k)^2 = -(k-l)^2$.

Тогда первая дробь примет вид: $\frac{3k}{-(k-l)^2} = \frac{-3k}{(k-l)^2}$.

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $(k-l)^2$. В общем случае дроби не равны.

Ответ: дроби, приведенные к общему знаменателю: $\frac{-3k}{(k-l)^2}$ и $\frac{8l}{(k-l)^2}$.