Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.33 Зная, что $5a - 10b = 18$, найдите значение выражения:

а) $3a - 6b$;

б) $\frac{7.2}{a - 2b}$;

в) $\frac{8b - 4a}{3}$;

г) $\frac{a^2 - 4ab + 4b^2}{3.6}$.

Для решения всех пунктов задачи сначала преобразуем исходное равенство $5a - 10b = 18$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки в левой части уравнения:

$5(a - 2b) = 18$

Из этого уравнения выразим значение выражения $a - 2b$:

$a - 2b = \frac{18}{5} = 3,6$

Теперь мы можем использовать найденное значение для вычисления каждого из предложенных выражений.

а) $3a - 6b$

Вынесем общий множитель 3 за скобки, чтобы получить известное нам выражение:

$3a - 6b = 3(a - 2b)$

Подставим значение $a - 2b = 3,6$:

$3 \cdot 3,6 = 10,8$

Ответ: $10,8$.

б) $\frac{7,2}{a - 2b}$

В знаменателе этой дроби находится выражение, значение которого мы уже знаем. Подставим его:

$\frac{7,2}{3,6} = 2$

Ответ: $2$.

в) $\frac{8b - 4a}{3}$

Преобразуем числитель дроби. Вынесем за скобки общий множитель $-4$, чтобы получить известное нам выражение:

$8b - 4a = -4(a - 2b)$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{-4(a - 2b)}{3}$

Подставим значение $a - 2b = 3,6$:

$\frac{-4 \cdot 3,6}{3} = \frac{-14,4}{3} = -4,8$

Ответ: $-4,8$.

г) $\frac{a^2 - 4ab + 4b^2}{3,6}$

Заметим, что числитель дроби является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - 2b)^2}{3,6}$

Подставим известное нам значение $a - 2b = 3,6$:

$\frac{(3,6)^2}{3,6} = 3,6$

Ответ: $3,6$.

1.34 Зная, что $3x - 9y = 1$, найдите значение выражения:

а) $x - 3y$;

б) $\frac{6}{x - 3y}$;

в) $\frac{12y - 4x}{5}$;

г) $(9y^2 - 6xy + x^2) \cdot 3$.

Нам дано уравнение $3x - 9y = 1$. Для решения задач нам потребуется найти значение выражения $x - 3y$. Вынесем общий множитель 3 за скобки в левой части уравнения: $3(x - 3y) = 1$ Разделив обе части уравнения на 3, получим: $x - 3y = \frac{1}{3}$ Теперь мы можем использовать это значение для нахождения значений предложенных выражений.

а) $x - 3y$

Значение этого выражения мы уже нашли при преобразовании исходного уравнения. $x - 3y = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) $\frac{6}{x - 3y}$

Подставляем значение $x - 3y = \frac{1}{3}$ в знаменатель дроби: $\frac{6}{x - 3y} = \frac{6}{\frac{1}{3}}$ Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю: $6 \cdot \frac{3}{1} = 18$
Ответ: 18

в) $\frac{12y - 4x}{5}$

Сначала преобразуем числитель дроби $12y - 4x$. Вынесем за скобки общий множитель $-4$: $12y - 4x = -4(x - 3y)$ Теперь всё выражение выглядит так: $\frac{-4(x - 3y)}{5}$ Подставляем известное нам значение $x - 3y = \frac{1}{3}$: $\frac{-4 \cdot (\frac{1}{3})}{5} = \frac{-\frac{4}{3}}{5} = -\frac{4}{3 \cdot 5} = -\frac{4}{15}$
Ответ: $-\frac{4}{15}$

г) $(9y^2 - 6xy + x^2) \cdot 3$

Выражение в скобках, $9y^2 - 6xy + x^2$, представляет собой полный квадрат разности. Для наглядности переставим слагаемые: $x^2 - 6xy + 9y^2$. Это выражение соответствует формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3y$. Таким образом, $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$. Исходное выражение можно переписать в виде: $(x - 3y)^2 \cdot 3$ Подставим значение $x - 3y = \frac{1}{3}$: $(\frac{1}{3})^2 \cdot 3 = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{3}{9}$ Сократив дробь, получаем: $\frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

1.35 Зная, что $\frac{a}{b} = 3$, найдите значение выражения:

а) $-\frac{a}{b}$;

б) $\frac{b}{a}$;

в) $\frac{a+b}{b}$;

г) $\frac{b+2a}{a}$.

а) Дано, что $\frac{a}{b} = 3$. Чтобы найти значение выражения $-\frac{a}{b}$, нужно просто поставить знак минуса перед данным значением.
$-\frac{a}{b} = -(3) = -3$.
Ответ: -3

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{b}{a}$, нужно найти величину, обратную данной. Если $\frac{a}{b} = 3$, то, перевернув дробь, мы получим:
$\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$.
В качестве альтернативного решения, можно выразить $a$ из исходного уравнения: $a = 3b$. Теперь подставим это в искомое выражение:
$\frac{b}{a} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{a+b}{b}$, можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b}$.
Так как $\frac{a}{b} = 3$ и $\frac{b}{b} = 1$, то получаем:
$3 + 1 = 4$.
Другой способ — подставить $a = 3b$ в выражение:
$\frac{a+b}{b} = \frac{3b+b}{b} = \frac{4b}{b} = 4$.
Ответ: 4

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{b+2a}{a}$, также выполним почленное деление числителя на знаменатель:
$\frac{b+2a}{a} = \frac{b}{a} + \frac{2a}{a}$.
Из пункта б) мы знаем, что $\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$. Выражение $\frac{2a}{a}$ равно 2. Складываем полученные значения:
$\frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$.
Также можно решить, подставив $a = 3b$:
$\frac{b+2a}{a} = \frac{b+2(3b)}{3b} = \frac{b+6b}{3b} = \frac{7b}{3b} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$

1.36 Зная, что $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$, найдите значение выражения:

а) $\frac{x}{2y}$;

б) $\frac{x+y}{x}$;

в) $\frac{y}{2x}$;

г) $\frac{x-y}{y}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{x}{2y}$, можно представить его как произведение $\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$. Поскольку по условию задачи $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$, мы можем подставить это значение в выражение:

$\frac{x}{2y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$.

Альтернативный способ решения — выразить $y$ через $x$ из исходного соотношения. Из $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$ следует, что $y = 5x$. Подставим это в искомое выражение:

$\frac{x}{2y} = \frac{x}{2(5x)} = \frac{x}{10x} = \frac{1}{10}$ (при условии, что $x \neq 0$).

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x+y}{x}$, разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$.

Мы знаем, что если $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$, то обратная дробь $\frac{y}{x} = 5$. Подставим это значение:

$1 + \frac{y}{x} = 1 + 5 = 6$.

Или, используя подстановку $y = 5x$:

$\frac{x+y}{x} = \frac{x+5x}{x} = \frac{6x}{x} = 6$.

Ответ: $6$.

в) Выражение $\frac{y}{2x}$ можно представить как $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$.

Из условия $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$ следует, что $\frac{y}{x} = 5$.

Тогда $\frac{y}{2x} = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$ или $2,5$.

Используя подстановку $y = 5x$, получим тот же результат:

$\frac{y}{2x} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: $\frac{5}{2}$.

г) Для нахождения значения выражения $\frac{x-y}{y}$ также разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y} = \frac{x}{y} - 1$.

Подставим известное значение $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$:

$\frac{x}{y} - 1 = \frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}$.

Также можно выразить $x$ через $y$: из $\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$ следует $x = \frac{y}{5}$. Подставим в выражение:

$\frac{x-y}{y} = \frac{\frac{y}{5} - y}{y} = \frac{y(\frac{1}{5} - 1)}{y} = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}$ (при условии, что $y \neq 0$).

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

1.37 Найдите значение дроби:

а) $ \frac{x+y}{x} $, если $ \frac{x}{y} = 0,2 $;

б) $ \frac{3x-8y}{y} $, если $ \frac{x}{y} = 0,4 $.

а) Для нахождения значения дроби $\frac{x+y}{x}$ преобразуем её, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$

По условию задачи дано, что $\frac{x}{y} = 0,2$.

Чтобы найти значение $\frac{y}{x}$, нужно найти число, обратное $0,2$.

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{0,2}$

Поскольку $0,2 = \frac{1}{5}$, то $\frac{1}{0,2} = 5$.

Следовательно, $\frac{y}{x} = 5$.

Теперь подставим это значение в преобразованное выражение:

$1 + \frac{y}{x} = 1 + 5 = 6$

Ответ: 6

б) Для нахождения значения дроби $\frac{3x-8y}{y}$ также преобразуем её, разделив почленно числитель на знаменатель:

$\frac{3x-8y}{y} = \frac{3x}{y} - \frac{8y}{y}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{3x}{y} - \frac{8y}{y} = 3 \cdot \frac{x}{y} - 8$

По условию задачи известно, что $\frac{x}{y} = 0,4$.

Подставим данное значение в преобразованное выражение:

$3 \cdot \frac{x}{y} - 8 = 3 \cdot 0,4 - 8$

Выполним вычисления:

$3 \cdot 0,4 - 8 = 1,2 - 8 = -6,8$

Ответ: -6,8

1.38 Зная, что $\frac{a + 2b}{b} = 7$, найдите значение выражения:

а) $\frac{a}{b}$;

б) $\frac{2a - b}{2b}$;

в) $\frac{2a + 3b}{b}$;

г) $\frac{4b - a}{2a}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{a}{b}$, преобразуем исходное равенство $\frac{a+2b}{b}=7$. Разделим числитель дроби на знаменатель почленно: $\frac{a}{b} + \frac{2b}{b} = 7$.

Упростив, получаем: $\frac{a}{b} + 2 = 7$.

Отсюда находим искомое значение: $\frac{a}{b} = 7 - 2 = 5$.

Ответ: 5

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2a-b}{2b}$, преобразуем его, также разделив числитель на знаменатель: $\frac{2a-b}{2b} = \frac{2a}{2b} - \frac{b}{2b} = \frac{a}{b} - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденное в пункте а) значение $\frac{a}{b} = 5$: $5 - \frac{1}{2} = 4.5$.

Ответ: 4.5

в) Преобразуем выражение $\frac{2a+3b}{b}$ аналогичным образом: $\frac{2a+3b}{b} = \frac{2a}{b} + \frac{3b}{b} = 2 \cdot \frac{a}{b} + 3$.

Подставим значение $\frac{a}{b} = 5$: $2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$.

Ответ: 13

г) Для нахождения значения выражения $\frac{4b-a}{2a}$ удобнее использовать соотношение $a = 5b$, которое следует из результата пункта а) ($\frac{a}{b} = 5$). Подставим $a=5b$ в выражение:

$\frac{4b-a}{2a} = \frac{4b - (5b)}{2(5b)} = \frac{-b}{10b}$

Поскольку из условия $b \ne 0$, можно сократить дробь на $b$ и получить результат: $\frac{-1}{10} = -0.1$.

Ответ: -0.1

1.39 Зная, что $\frac{x - 3y}{y} = 12$, найдите значение выражения:

а) $\frac{x}{y}$;

б) $\frac{2x + y}{3y}$;

в) $\frac{y}{x}$;

г) $\frac{3x - y}{2x}$.

Для решения всех пунктов задачи сначала найдем значение отношения $\frac{x}{y}$ из исходного уравнения.

Дано уравнение: $\frac{x - 3y}{y} = 12$.

Разделим почленно левую часть уравнения:

$\frac{x}{y} - \frac{3y}{y} = 12$

$\frac{x}{y} - 3 = 12$

Отсюда находим значение $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = 12 + 3 = 15$.

Теперь мы можем использовать это значение для решения всех пунктов.

а) Найти значение выражения $\frac{x}{y}$.
Как было найдено выше из преобразования исходного уравнения, значение этого выражения равно 15.
Ответ: $15$.

б) Найти значение выражения $\frac{2x + y}{3y}$.
Преобразуем выражение, разделив каждое слагаемое в числителе на знаменатель:
$\frac{2x + y}{3y} = \frac{2x}{3y} + \frac{y}{3y} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{y} + \frac{1}{3}$.
Подставим найденное значение $\frac{x}{y} = 15$:
$\frac{2}{3} \cdot 15 + \frac{1}{3} = \frac{30}{3} + \frac{1}{3} = \frac{31}{3}$.
Ответ: $\frac{31}{3}$.

в) Найти значение выражения $\frac{y}{x}$.
Это выражение является обратной величиной к $\frac{x}{y}$.
Поскольку $\frac{x}{y} = 15$, то:
$\frac{y}{x} = \frac{1}{15}$.
Ответ: $\frac{1}{15}$.

г) Найти значение выражения $\frac{3x - y}{2x}$.
Преобразуем выражение, разделив каждое слагаемое в числителе на знаменатель:
$\frac{3x - y}{2x} = \frac{3x}{2x} - \frac{y}{2x} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$.
Подставим найденное в пункте в) значение $\frac{y}{x} = \frac{1}{15}$:
$\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{15} = \frac{3}{2} - \frac{1}{30}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$\frac{3 \cdot 15}{30} - \frac{1}{30} = \frac{45 - 1}{30} = \frac{44}{30}$.
Сократим дробь на 2:
$\frac{44}{30} = \frac{22}{15}$.
Ответ: $\frac{22}{15}$.

1.40 Найдите все натуральные значения n, при которых заданная дробь является натуральным числом:

а) $ \frac{n+3}{n} $;

б) $ \frac{2n+5}{n} $;

в) $ \frac{6-n}{n} $;

г) $ \frac{45-7n}{n} $.

а) Чтобы дробь $\frac{n+3}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы её значение было целым и положительным. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n > 0$, и, следовательно, числитель $n+3$ и вся дробь всегда положительны. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{n+3}{n} = \frac{n}{n} + \frac{3}{n} = 1 + \frac{3}{n}$ Для того чтобы сумма $1 + \frac{3}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым неотрицательным числом. Так как $n$ натуральное, $\frac{3}{n}$ положительно, значит, $\frac{3}{n}$ должно быть натуральным числом. Это возможно только если $n$ является натуральным делителем числа 3. Натуральные делители числа 3: 1, 3. Проверим эти значения:
При $n=1$, дробь равна $\frac{1+3}{1} = 4$, что является натуральным числом.
При $n=3$, дробь равна $\frac{3+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$, что является натуральным числом. Следовательно, подходят значения $n=1$ и $n=3$.
Ответ: 1, 3.

б) Рассмотрим дробь $\frac{2n+5}{n}$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n>0$), то $2n+5>0$, и вся дробь положительна. Чтобы дробь была натуральным числом, ее значение должно быть целым. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{2n+5}{n} = \frac{2n}{n} + \frac{5}{n} = 2 + \frac{5}{n}$ Для того чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $\frac{5}{n}$ было целым числом. Так как $n$ — натуральное, то $\frac{5}{n}$ должно быть натуральным числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 5. Натуральные делители числа 5: 1, 5. Проверим эти значения:
При $n=1$, дробь равна $\frac{2(1)+5}{1} = 7$, что является натуральным числом.
При $n=5$, дробь равна $\frac{2(5)+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$, что является натуральным числом. Следовательно, подходят значения $n=1$ и $n=5$.
Ответ: 1, 5.

в) Рассмотрим дробь $\frac{6-n}{n}$. Чтобы она была натуральным числом, необходимо выполнение двух условий:
1. Дробь должна быть положительной. Так как знаменатель $n$ — натуральное число ($n>0$), то числитель должен быть положителен: $6-n>0$, откуда $n<6$.
2. Значение дроби должно быть целым. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{6-n}{n} = \frac{6}{n} - \frac{n}{n} = \frac{6}{n} - 1$ Чтобы это выражение было натуральным числом, оно должно быть целым и больше нуля. Условие целочисленности означает, что $\frac{6}{n}$ должно быть целым, то есть $n$ должно быть натуральным делителем числа 6. Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Совместим это с условием $n<6$. Получаем возможные значения $n$: 1, 2, 3. Проверим их:
При $n=1$, дробь равна $\frac{6-1}{1} = 5$ (натуральное).
При $n=2$, дробь равна $\frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (натуральное).
При $n=3$, дробь равна $\frac{6-3}{3} = \frac{3}{3} = 1$ (натуральное). Значение $n=6$ не подходит, так как дробь равна $\frac{6-6}{6}=0$, а 0 не является натуральным числом.
Ответ: 1, 2, 3.

г) Рассмотрим дробь $\frac{45-7n}{n}$. Чтобы она была натуральным числом, она должна быть положительной и целой.
1. Условие положительности: $\frac{45-7n}{n} > 0$. Так как $n$ — натуральное ($n>0$), то числитель должен быть положителен: $45-7n>0$, откуда $7n<45$, то есть $n < \frac{45}{7}$. Поскольку $6 < \frac{45}{7} < 7$, то $n$ может принимать натуральные значения от 1 до 6.
2. Условие целочисленности. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $\frac{45-7n}{n} = \frac{45}{n} - \frac{7n}{n} = \frac{45}{n} - 7$ Чтобы это выражение было целым, $\frac{45}{n}$ должно быть целым. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 45. Натуральные делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Совместим оба условия: $n$ должно быть делителем 45 и $n \le 6$. Выберем из списка делителей те, которые удовлетворяют этому условию. Подходящие значения: 1, 3, 5. Проверим их:
При $n=1$, дробь равна $\frac{45-7(1)}{1} = 38$ (натуральное).
При $n=3$, дробь равна $\frac{45-7(3)}{3} = \frac{45-21}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (натуральное).
При $n=5$, дробь равна $\frac{45-7(5)}{5} = \frac{45-35}{5} = \frac{10}{5} = 2$ (натуральное).
Ответ: 1, 3, 5.