Страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Сформулируйте правило деления алгебраических дробей.

Запишите его на математическом языке.

Сформулируйте правило деления алгебраических дробей.

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби).

Ответ: Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Запишите его на математическом языке.

Пусть даны две алгебраические дроби $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$, где $A, B, C$ и $D$ — многочлены. Деление определено при условии, что знаменатели дробей, а также числитель делителя, не равны нулю: $B \neq 0$, $D \neq 0$ и $C \neq 0$.

Тогда правило деления на математическом языке записывается в виде формулы:

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Ответ: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$, при $B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0$.

1. Сформулируйте правило умножения алгебраических дробей. Запишите его на математическом языке.

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо перемножить их числители и результат записать в числитель новой дроби. Затем нужно перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель новой дроби.

На математическом языке это правило записывается в виде формулы. Для двух алгебраических дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$, где $A$, $B$, $C$ и $D$ — многочлены, и знаменатели $B$ и $D$ не равны нулю ($B \neq 0$, $D \neq 0$), их произведение вычисляется следующим образом:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

После выполнения умножения, если числитель и знаменатель полученной дроби имеют общие множители, дробь следует сократить.

Ответ: Правило умножения алгебраических дробей: произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей. Формула: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$, при условии что $B \neq 0$ и $D \neq 0$.

3. Сформулируйте правило возведения алгебраической дроби в степень. Запишите его на математическом языке.

Правило возведения алгебраической дроби в степень

Чтобы возвести алгебраическую дробь в натуральную степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби. Первый результат будет числителем новой дроби, а второй — её знаменателем.

Запись правила на математическом языке

Пусть дана алгебраическая дробь $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — это некоторые алгебраические выражения (например, многочлены), причем знаменатель $B$ не равен нулю ($B \neq 0$). Пусть $n$ — натуральное число. Тогда возведение этой дроби в степень $n$ определяется следующей формулой:

$$(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$$

Это равенство показывает, что степень дроби равна дроби, числитель которой есть степень числителя, а знаменатель — степень знаменателя исходной дроби.

Пример:

Возведем алгебраическую дробь $\frac{2x^2}{y^3}$ в 4-ю степень (при условии, что $y \neq 0$):

$$(\frac{2x^2}{y^3})^4 = \frac{(2x^2)^4}{(y^3)^4} = \frac{2^4 \cdot (x^2)^4}{(y^3)^4} = \frac{16x^{2 \cdot 4}}{y^{3 \cdot 4}} = \frac{16x^8}{y^{12}}$$

Ответ: Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, нужно возвести в эту степень её числитель и её знаменатель. В виде формулы это правило записывается так: $(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$, где $A$ и $B$ — алгебраические выражения, $B \neq 0$, а $n$ — натуральное число.

2.30 a) $ \frac{7x}{x^2 - 4} $ и $ \frac{x + 2}{x - 2} $;

б) $ \frac{8y}{y^2 - 9} $ и $ \frac{5}{3 - y} $;

в) $ \frac{m - n}{m + n} $ и $ \frac{5mn}{m^2 - n^2} $;

г) $ \frac{7m}{-m - n} $ и $ \frac{3n}{m^2 - n^2} $.

а) Даны дроби $\frac{7x}{x^2 - 4}$ и $\frac{x+2}{x-2}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Знаменатель второй дроби $x-2$ уже является простым множителем.

Наименьшим общим знаменателем для этих дробей будет произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени, то есть $(x-2)(x+2)$, что равно $x^2-4$.

Первая дробь $\frac{7x}{x^2 - 4}$ уже имеет этот знаменатель, поэтому ее мы не меняем.

Для второй дроби $\frac{x+2}{x-2}$ дополнительным множителем является $(x+2)$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на $(x+2)$:

$\frac{x+2}{x-2} = \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x+2)^2}{x^2-4} = \frac{x^2+4x+4}{x^2-4}$.

Ответ: $\frac{7x}{x^2-4}$ и $\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}$.

б) Даны дроби $\frac{8y}{y^2 - 9}$ и $\frac{5}{3 - y}$.

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$.

Преобразуем знаменатель второй дроби, вынеся за скобки $-1$: $3 - y = -(y - 3)$.

Тогда вторая дробь примет вид: $\frac{5}{3-y} = \frac{5}{-(y-3)} = -\frac{5}{y-3}$.

Наименьшим общим знаменателем будет $(y-3)(y+3) = y^2-9$.

Первая дробь $\frac{8y}{y^2 - 9}$ уже приведена к этому знаменателю.

Для второй дроби $-\frac{5}{y-3}$ дополнительным множителем является $(y+3)$. Умножим числитель и знаменатель на $(y+3)$:

$-\frac{5}{y-3} = -\frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)} = -\frac{5y+15}{y^2-9} = \frac{-5y-15}{y^2-9}$.

Ответ: $\frac{8y}{y^2-9}$ и $\frac{-5y-15}{y^2-9}$.

в) Даны дроби $\frac{m-n}{m+n}$ и $\frac{5mn}{m^2 - n^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.

Наименьший общий знаменатель для дробей — это $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

Вторая дробь $\frac{5mn}{m^2 - n^2}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для первой дроби $\frac{m-n}{m+n}$ дополнительным множителем является $(m-n)$. Умножим ее числитель и знаменатель на этот множитель:

$\frac{m-n}{m+n} = \frac{(m-n)(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{(m-n)^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$ и $\frac{5mn}{m^2-n^2}$.

г) Даны дроби $\frac{7m}{-m-n}$ и $\frac{3n}{m^2 - n^2}$.

Преобразуем знаменатель первой дроби: $-m-n = -(m+n)$. Дробь можно записать как $\frac{7m}{-(m+n)} = -\frac{7m}{m+n}$.

Знаменатель второй дроби разложим на множители: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.

Наименьшим общим знаменателем является $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

Вторая дробь $\frac{3n}{m^2 - n^2}$ уже приведена к общему знаменателю.

Для первой дроби $-\frac{7m}{m+n}$ дополнительным множителем будет $(m-n)$. Умножим числитель и знаменатель на $(m-n)$:

$-\frac{7m}{m+n} = -\frac{7m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = -\frac{7m^2-7mn}{m^2-n^2} = \frac{-7m^2+7mn}{m^2-n^2}$.

Ответ: $\frac{-7m^2+7mn}{m^2-n^2}$ и $\frac{3n}{m^2-n^2}$.

2.31 a) $ \frac{x+y}{x-y} $ и $ \frac{49}{(x-y)^2} $;

б) $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ и $ \frac{42b}{(z-t)^7} $;

в) $ \frac{p}{(p+q)^2} $ и $ \frac{p-q}{p+q} $;

г) $ \frac{7a}{(a+b)^{12}} $ и $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $.

а)

Даны дроби $ \frac{x+y}{x-y} $ и $ \frac{49}{(x-y)^2} $.
Знаменатели этих дробей: $ (x-y) $ и $ (x-y)^2 $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений — это $ (x-y)^2 $.
Для первой дроби $ \frac{x+y}{x-y} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(x-y)^2}{x-y} = x-y $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель, используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)(x-y)} = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2} $.
Для второй дроби $ \frac{49}{(x-y)^2} $ знаменатель уже является общим, поэтому она остается без изменений.
Ответ: $ \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2} $ и $ \frac{49}{(x-y)^2} $.

б)

Даны дроби $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ и $ \frac{42b}{(z-t)^7} $.
Знаменатели этих дробей: $ (z-t)^8 $ и $ (z-t)^7 $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это выражение с наибольшей степенью, то есть $ (z-t)^8 $.
Для первой дроби $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ знаменатель уже является общим, поэтому она не изменяется.
Для второй дроби $ \frac{42b}{(z-t)^7} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(z-t)^8}{(z-t)^7} = z-t $.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:
$ \frac{42b}{(z-t)^7} = \frac{42b(z-t)}{(z-t)^7(z-t)} = \frac{42b(z-t)}{(z-t)^8} $.
Ответ: $ \frac{32a}{(z-t)^8} $ и $ \frac{42b(z-t)}{(z-t)^8} $.

в)

Даны дроби $ \frac{p}{(p+q)^2} $ и $ \frac{p-q}{p+q} $.
Знаменатели этих дробей: $ (p+q)^2 $ и $ (p+q) $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $ (p+q)^2 $.
Для первой дроби $ \frac{p}{(p+q)^2} $ знаменатель уже является общим, поэтому она не изменяется.
Для второй дроби $ \frac{p-q}{p+q} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(p+q)^2}{p+q} = p+q $.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель, используя формулу разности квадратов:
$ \frac{p-q}{p+q} = \frac{(p-q)(p+q)}{(p+q)(p+q)} = \frac{p^2 - q^2}{(p+q)^2} $.
Ответ: $ \frac{p}{(p+q)^2} $ и $ \frac{p^2 - q^2}{(p+q)^2} $.

г)

Даны дроби $ \frac{7a}{(a+b)^{12}} $ и $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $.
Знаменатели этих дробей: $ (a+b)^{12} $ и $ (a+b)^{14} $.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это выражение с наибольшей степенью, то есть $ (a+b)^{14} $.
Для первой дроби $ \frac{7a}{(a+b)^{12}} $ дополнительный множитель равен $ \frac{(a+b)^{14}}{(a+b)^{12}} = (a+b)^2 $.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:
$ \frac{7a}{(a+b)^{12}} = \frac{7a \cdot (a+b)^2}{(a+b)^{12} \cdot (a+b)^2} = \frac{7a(a+b)^2}{(a+b)^{14}} $.
Для второй дроби $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $ знаменатель уже является общим, поэтому она не изменяется.
Ответ: $ \frac{7a(a+b)^2}{(a+b)^{14}} $ и $ \frac{9b}{(a+b)^{14}} $.

2.32 a) $ \frac{11a}{a^3 + b^3} $ И $ \frac{1}{a + b} $

б) $ \frac{3x + 1}{x^3 - 27} $ И $ \frac{x - 3}{x^2 + 3x + 9} $

в) $ \frac{10b}{b^3 - 8} $ И $ \frac{1}{b - 2} $

г) $ \frac{1 - 5y}{t^3 + y^3} $ И $ \frac{t + y}{t^2 - ty + y} $

а) Даны дроби $\frac{11a}{a^3 + b^3}$ и $\frac{1}{a+b}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Знаменатель первой дроби: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Знаменатель второй дроби: $a+b$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени. В данном случае НОЗ равен $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Первая дробь $\frac{11a}{a^3 + b^3}$ уже имеет нужный знаменатель. Её дополнительный множитель равен 1.

Для второй дроби $\frac{1}{a+b}$ найдем дополнительный множитель, разделив НОЗ на её знаменатель: $\frac{a^3 + b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} = a^2 - ab + b^2$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот дополнительный множитель:

$\frac{1 \cdot (a^2 - ab + b^2)}{(a+b) \cdot (a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$.

Ответ: $\frac{11a}{a^3 + b^3}$ и $\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}$.

б) Даны дроби $\frac{3x+1}{x^3 - 27}$ и $\frac{x-3}{x^2 + 3x + 9}$.

Разложим знаменатели на множители. Используем формулу разности кубов: $x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + ax + a^2)$.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 3x + 9$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $(x-3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 27$.

Первая дробь $\frac{3x+1}{x^3 - 27}$ уже имеет нужный знаменатель.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x-3}{x^2 + 3x + 9}$ равен $\frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} = x-3$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(x-3)$:

$\frac{(x-3) \cdot (x-3)}{(x^2 + 3x + 9) \cdot (x-3)} = \frac{(x-3)^2}{x^3 - 27} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x^3 - 27}$.

Ответ: $\frac{3x+1}{x^3 - 27}$ и $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^3 - 27}$.

в) Даны дроби $\frac{10b}{b^3 - 8}$ и $\frac{1}{b-2}$.

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности кубов: $b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + 2b + 4)$.

Знаменатель второй дроби: $b-2$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $(b-2)(b^2 + 2b + 4) = b^3 - 8$.

Первая дробь $\frac{10b}{b^3 - 8}$ уже приведена к общему знаменателю.

Найдем дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{b-2}$: $\frac{b^3 - 8}{b-2} = b^2 + 2b + 4$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:

$\frac{1 \cdot (b^2 + 2b + 4)}{(b-2) \cdot (b^2 + 2b + 4)} = \frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8}$.

Ответ: $\frac{10b}{b^3 - 8}$ и $\frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8}$.

г) Даны дроби $\frac{1-5y}{t^3 + y^3}$ и $\frac{t+y}{t^2 - ty + y}$.

Примечание: В знаменателе второй дроби, скорее всего, опечатка, и он должен быть $t^2 - ty + y^2$, что является неполным квадратом разности, соответствующим формуле суммы кубов. Решение приведено с учетом этого исправления.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $t^3 + y^3 = (t+y)(t^2 - ty + y^2)$.

Исправленный знаменатель второй дроби: $t^2 - ty + y^2$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $(t+y)(t^2 - ty + y^2) = t^3 + y^3$.

Первая дробь $\frac{1-5y}{t^3 + y^3}$ уже имеет общий знаменатель.

Найдем дополнительный множитель для второй дроби $\frac{t+y}{t^2 - ty + y^2}$: $\frac{t^3 + y^3}{t^2 - ty + y^2} = t+y$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(t+y)$:

$\frac{(t+y) \cdot (t+y)}{(t^2 - ty + y^2) \cdot (t+y)} = \frac{(t+y)^2}{t^3 + y^3} = \frac{t^2 + 2ty + y^2}{t^3 + y^3}$.

Ответ: $\frac{1-5y}{t^3 + y^3}$ и $\frac{t^2 + 2ty + y^2}{t^3 + y^3}$.

2.33 a) $\frac{a - b}{5a + 5b}$ И $\frac{a^2}{a^2 - b^2}$;

б) $\frac{y^3}{x^2 - y^2}$ И $\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - xy}$;

B) $\frac{xy}{x^2 - y^2}$ И $\frac{x + y}{2x - 2y}$;

г) $\frac{z^2 + tz + t^2}{zt + z^2}$ И $\frac{3t}{z^2 - t^2}$.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{a-b}{5a+5b}$ и $\frac{a^2}{a^2-b^2}$ к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $5a+5b = 5(a+b)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ (по формуле разности квадратов).

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет произведением всех уникальных множителей в максимальной степени: $5(a-b)(a+b) = 5(a^2-b^2)$.

Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.

Для первой дроби $\frac{a-b}{5(a+b)}$ дополнительный множитель равен $(a-b)$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{(a-b)(a-b)}{5(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)} = \frac{a^2-2ab+b^2}{5(a^2-b^2)}$.

Для второй дроби $\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}$ дополнительный множитель равен $5$. Умножим числитель и знаменатель на него:

$\frac{a^2 \cdot 5}{(a-b)(a+b) \cdot 5} = \frac{5a^2}{5(a^2-b^2)}$.

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{5(a^2-b^2)}$ и $\frac{5a^2}{5(a^2-b^2)}$.

б)

Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{y^3}{x^2-y^2}$ и $\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-xy}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2-xy = x(x-y)$.

НОЗ равен $x(x-y)(x+y) = x(x^2-y^2)$.

Приведем первую дробь к НОЗ. Дополнительный множитель — $x$.

$\frac{y^3 \cdot x}{(x-y)(x+y) \cdot x} = \frac{xy^3}{x(x^2-y^2)}$.

Приведем вторую дробь к НОЗ. Дополнительный множитель — $(x+y)$.

$\frac{(x^2-xy+y^2)(x+y)}{x(x-y)(x+y)} = \frac{x^3+y^3}{x(x^2-y^2)}$ (в числителе формула суммы кубов).

Ответ: $\frac{xy^3}{x(x^2-y^2)}$ и $\frac{x^3+y^3}{x(x^2-y^2)}$.

в)

Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{xy}{x^2-y^2}$ и $\frac{x+y}{2x-2y}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Знаменатель второй дроби: $2x-2y = 2(x-y)$.

НОЗ равен $2(x-y)(x+y) = 2(x^2-y^2)$.

Для первой дроби дополнительный множитель равен $2$.

$\frac{xy \cdot 2}{(x-y)(x+y) \cdot 2} = \frac{2xy}{2(x^2-y^2)}$.

Для второй дроби дополнительный множитель равен $(x+y)$.

$\frac{(x+y)(x+y)}{2(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)^2}{2(x^2-y^2)} = \frac{x^2+2xy+y^2}{2(x^2-y^2)}$.

Ответ: $\frac{2xy}{2(x^2-y^2)}$ и $\frac{(x+y)^2}{2(x^2-y^2)}$.

г)

Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{z^2+tz+t^2}{zt+z^2}$ и $\frac{3t}{z^2-t^2}$.

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $zt+z^2 = z(t+z)$.

Знаменатель второй дроби: $z^2-t^2 = (z-t)(z+t)$.

НОЗ равен $z(z-t)(z+t) = z(z^2-t^2)$.

Для первой дроби $\frac{z^2+tz+t^2}{z(t+z)}$ дополнительный множитель равен $(z-t)$.

$\frac{(z^2+tz+t^2)(z-t)}{z(z+t)(z-t)} = \frac{z^3-t^3}{z(z^2-t^2)}$ (в числителе формула разности кубов).

Для второй дроби $\frac{3t}{(z-t)(z+t)}$ дополнительный множитель равен $z$.

$\frac{3t \cdot z}{(z-t)(z+t) \cdot z} = \frac{3tz}{z(z^2-t^2)}$.

Ответ: $\frac{z^3-t^3}{z(z^2-t^2)}$ и $\frac{3tz}{z(z^2-t^2)}$.

2.34 Докажите тождество:

а) $\frac{4.5a^2 + 0.5ab}{40.5a^2 - 0.5b^2} = \frac{a}{9a - b}$;

б) $\frac{24.5x^2 - 0.5y^2}{3.5x^2 - 0.5xy} = \frac{7x + y}{x}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{4,5a^2 + 0,5ab}{40,5a^2 - 0,5b^2} = \frac{0,5a(9a + b)}{0,5(81a^2 - b^2)} $

Теперь разложим выражение в знаменателе на множители, используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ \frac{0,5a(9a + b)}{0,5(9a - b)(9a + b)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 0,5(9a + b) $ (при условии, что $ 9a+b \neq 0 $):

$ \frac{a}{9a - b} $

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{24,5x^2 - 0,5y^2}{3,5x^2 - 0,5xy} = \frac{0,5(49x^2 - y^2)}{0,5x(7x - y)} $

Теперь разложим выражение в числителе на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{0,5(7x - y)(7x + y)}{0,5x(7x - y)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 0,5(7x - y) $ (при условии, что $ x \neq 0 $ и $ 7x - y \neq 0 $):

$ \frac{7x + y}{x} $

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Найдите значение дроби:

2.35 а) $ \frac{9x^2 - 3xy}{12xy - 4y^2} $ при $x = 0,5$, $y = 0,25$;

б) $ \frac{a^3 - 4ab^2}{12b^2 - 6ab} $ при $a = -2,4$, $b = 0,2$;

в) $ \frac{16m^2 - 4n^2}{6m - 3n} $ при $m = 1,5$, $n = -4,5$;

г) $ \frac{30kl - 15k^2}{4kl - 8l^2} $ при $k = \frac{1}{5}$, $l = \frac{1}{6}$.

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{9x^2 - 3xy}{12xy - 4y^2}$ при $x = 0,5$ и $y = 0,25$, сначала упростим ее. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$:
$9x^2 - 3xy = 3x(3x - y)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4y$:
$12xy - 4y^2 = 4y(3x - y)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{3x(3x - y)}{4y(3x - y)}$.
Можно сократить дробь на общий множитель $(3x - y)$, так как при заданных значениях он не равен нулю ($3 \cdot 0,5 - 0,25 = 1,5 - 0,25 = 1,25 \neq 0$).
После сокращения получаем простое выражение: $\frac{3x}{4y}$.
Подставим в него значения $x = 0,5$ и $y = 0,25$:
$\frac{3 \cdot 0,5}{4 \cdot 0,25} = \frac{1,5}{1} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{a^3 - 4ab^2}{12b^2 - 6ab}$ при $a = -2,4$ и $b = 0,2$, сначала упростим ее.
Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель $a$:
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - (2b)^2$, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$a(a - 2b)(a + 2b)$.
Теперь разложим на множители знаменатель, вынеся за скобки $6b$:
$12b^2 - 6ab = 6b(2b - a)$.
Заметим, что $(2b - a) = -(a - 2b)$, поэтому знаменатель можно переписать как $-6b(a - 2b)$.
Дробь принимает вид: $\frac{a(a - 2b)(a + 2b)}{-6b(a - 2b)}$.
Сократим дробь на $(a - 2b)$ (проверка показывает, что $-2,4 - 2 \cdot 0,2 = -2,8 \neq 0$).
Получаем выражение: $\frac{a(a + 2b)}{-6b}$.
Подставим значения $a = -2,4$ и $b = 0,2$:
$\frac{-2,4(-2,4 + 2 \cdot 0,2)}{-6 \cdot 0,2} = \frac{-2,4(-2,4 + 0,4)}{-1,2} = \frac{-2,4(-2)}{-1,2} = \frac{4,8}{-1,2} = -4$.
Ответ: -4.

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{16m^2 - 4n^2}{6m - 3n}$ при $m = 1,5$ и $n = -4,5$, сначала упростим выражение.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 4:
$16m^2 - 4n^2 = 4(4m^2 - n^2)$.
Выражение в скобках — это разность квадратов $(2m)^2 - n^2$, которую разложим на множители:
$4(2m - n)(2m + n)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3:
$6m - 3n = 3(2m - n)$.
Дробь принимает вид: $\frac{4(2m - n)(2m + n)}{3(2m - n)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2m - n)$ (проверка: $2 \cdot 1,5 - (-4,5) = 3 + 4,5 = 7,5 \neq 0$).
Получаем упрощенное выражение: $\frac{4(2m + n)}{3}$.
Подставим значения $m = 1,5$ и $n = -4,5$:
$\frac{4(2 \cdot 1,5 + (-4,5))}{3} = \frac{4(3 - 4,5)}{3} = \frac{4(-1,5)}{3} = \frac{-6}{3} = -2$.
Ответ: -2.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{30kl - 15k^2}{4kl - 8l^2}$ при $k = \frac{1}{5}$ и $l = \frac{1}{6}$, сначала упростим ее.
Разложим числитель на множители, вынеся за скобки $15k$:
$30kl - 15k^2 = 15k(2l - k)$.
Разложим знаменатель на множители, вынеся за скобки $4l$:
$4kl - 8l^2 = 4l(k - 2l)$.
Перепишем знаменатель, вынеся минус за скобку: $4l(k - 2l) = -4l(2l - k)$.
Дробь принимает вид: $\frac{15k(2l - k)}{-4l(2l - k)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2l - k)$ (проверка: $2 \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5-3}{15} = \frac{2}{15} \neq 0$).
Получаем: $-\frac{15k}{4l}$.
Подставим значения $k = \frac{1}{5}$ и $l = \frac{1}{6}$:
$-\frac{15 \cdot \frac{1}{5}}{4 \cdot \frac{1}{6}} = -\frac{3}{\frac{4}{6}} = -\frac{3}{\frac{2}{3}} = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5$.
Ответ: -4,5.

2.36 a) $\frac{2x - 6y}{0,25x^2 - 2,25y^2}$, если $x + 3y = 8, x - 3y \ne 0;$

б) $\frac{2a + 4b}{0,2a^2 - 0,8b^2}$, если $a - 2b = 5, a + 2b \ne 0.$

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{2x - 6y}{0,25x^2 - 2,25y^2}$ при $x + 3y = 8$ и $x - 3y \neq 0$, мы сначала упростим данное выражение.
1. Вынесем общий множитель в числителе:
$2x - 6y = 2(x - 3y)$
2. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$0,25x^2 - 2,25y^2 = (0,5x)^2 - (1,5y)^2 = (0,5x - 1,5y)(0,5x + 1,5y)$
В каждом из множителей в знаменателе также можно вынести общий множитель:
$0,5x - 1,5y = 0,5(x - 3y)$
$0,5x + 1,5y = 0,5(x + 3y)$
Тогда знаменатель равен:
$0,5(x - 3y) \cdot 0,5(x + 3y) = 0,25(x - 3y)(x + 3y)$
3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{2(x - 3y)}{0,25(x - 3y)(x + 3y)}$
4. Сократим дробь на общий множитель $(x - 3y)$, так как по условию $x - 3y \neq 0$:
$\frac{2}{0,25(x + 3y)}$
5. Теперь подставим известное значение $x + 3y = 8$ в упрощенное выражение:
$\frac{2}{0,25 \cdot 8} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: 1

б) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{2a + 4b}{0,2a^2 - 0,8b^2}$ при $a - 2b = 5$ и $a + 2b \neq 0$, мы также сначала упростим выражение.
1. Вынесем общий множитель в числителе:
$2a + 4b = 2(a + 2b)$
2. Вынесем общий множитель в знаменателе и затем применим формулу разности квадратов:
$0,2a^2 - 0,8b^2 = 0,2(a^2 - 4b^2) = 0,2(a^2 - (2b)^2) = 0,2(a - 2b)(a + 2b)$
3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{2(a + 2b)}{0,2(a - 2b)(a + 2b)}$
4. Сократим дробь на общий множитель $(a + 2b)$, так как по условию $a + 2b \neq 0$:
$\frac{2}{0,2(a - 2b)}$
5. Теперь подставим известное значение $a - 2b = 5$ в упрощенное выражение:
$\frac{2}{0,2 \cdot 5} = \frac{2}{1} = 2$
Ответ: 2