Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

42 a) Даны точки $C(2; 4)$ и $D(1; 5)$. Постройте прямую, симметричную прямой $CD$ относительно оси абсцисс.

б) Даны точки $E(-1; 4)$ и $F(2; -2)$. Постройте прямую, симметричную прямой $EF$ относительно оси ординат.

а)

Чтобы построить прямую, симметричную прямой $CD$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо найти координаты точек $C'$ и $D'$, которые симметричны точкам $C$ и $D$ относительно этой оси. Прямая, проходящая через точки $C'$ и $D'$, и будет искомой.

При симметрии относительно оси абсцисс абсцисса ($x$) точки сохраняется, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x; y)$ отображается в точку $(x; -y)$.

Исходные точки: $C(2; 4)$ и $D(1; 5)$.

1. Находим координаты точки $C'$, симметричной точке $C(2; 4)$:
Абсцисса остается прежней: $x_{C'} = 2$.
Ордината меняет знак: $y_{C'} = -4$.
Следовательно, координаты точки $C'$ равны $(2; -4)$.

2. Находим координаты точки $D'$, симметричной точке $D(1; 5)$:
Абсцисса остается прежней: $x_{D'} = 1$.
Ордината меняет знак: $y_{D'} = -5$.
Следовательно, координаты точки $D'$ равны $(1; -5)$.

3. Для построения искомой прямой нужно на координатной плоскости отметить точки $C'(2; -4)$ и $D'(1; -5)$ и провести через них прямую.

Для полноты решения найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Подставим координаты точек $C'$ и $D'$ в уравнение: $$ \begin{cases} -4 = k \cdot 2 + b \\ -5 = k \cdot 1 + b \end{cases} $$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(-4) - (-5) = (2k + b) - (k + b)$, что дает $1 = k$.
Подставив $k=1$ во второе уравнение, находим $b$: $-5 = 1 + b$, откуда $b = -6$.
Уравнение симметричной прямой: $y = x - 6$.

Ответ: Чтобы построить искомую прямую, нужно найти точки $C'(2; -4)$ и $D'(1; -5)$, симметричные данным точкам относительно оси абсцисс, и провести через них прямую.

б)

Чтобы построить прямую, симметричную прямой $EF$ относительно оси ординат (оси $Oy$), необходимо найти координаты точек $E'$ и $F'$, которые симметричны точкам $E$ и $F$ относительно этой оси. Искомая прямая будет проходить через точки $E'$ и $F'$.

При симметрии относительно оси ординат ордината ($y$) точки сохраняется, а абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, точка $(x; y)$ отображается в точку $(-x; y)$.

Исходные точки: $E(-1; 4)$ и $F(2; -2)$.

1. Находим координаты точки $E'$, симметричной точке $E(-1; 4)$:
Абсцисса меняет знак: $x_{E'} = -(-1) = 1$.
Ордината остается прежней: $y_{E'} = 4$.
Следовательно, координаты точки $E'$ равны $(1; 4)$.

2. Находим координаты точки $F'$, симметричной точке $F(2; -2)$:
Абсцисса меняет знак: $x_{F'} = -2$.
Ордината остается прежней: $y_{F'} = -2$.
Следовательно, координаты точки $F'$ равны $(-2; -2)$.

3. Для построения искомой прямой нужно на координатной плоскости отметить точки $E'(1; 4)$ и $F'(-2; -2)$ и провести через них прямую.

Для полноты решения найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Подставим координаты точек $E'$ и $F'$ в уравнение: $$ \begin{cases} 4 = k \cdot 1 + b \\ -2 = k \cdot (-2) + b \end{cases} $$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $4 - (-2) = (k + b) - (-2k + b)$, что дает $6 = 3k$, откуда $k = 2$.
Подставив $k=2$ в первое уравнение, находим $b$: $4 = 2 + b$, откуда $b = 2$.
Уравнение симметричной прямой: $y = 2x + 2$.

Ответ: Чтобы построить искомую прямую, нужно найти точки $E'(1; 4)$ и $F'(-2; -2)$, симметричные данным точкам относительно оси ординат, и провести через них прямую.

43 Постройте график функции $y = x - 5$.

Определите:

а) при каком значении аргумента выполняется равенство $y = -3$;

б) чему равно значение функции в точке $x = -3$;

в) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, меньшие чем 3;

д) возрастает или убывает функция.

Для построения графика функции $y = x - 5$ необходимо определить тип функции и найти несколько точек, принадлежащих графику.
Функция $y = x - 5$ является линейной, её график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
1. С осью OY (при $x=0$):
$y = 0 - 5 = -5$. Точка A(0; -5).
2. С осью OX (при $y=0$):
$0 = x - 5$, откуда $x = 5$. Точка B(5; 0).
Проведя прямую через точки A(0; -5) и B(5; 0), мы получим искомый график.

а) при каком значении аргумента выполняется равенство y = -3;

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором $y = -3$, подставим это значение в уравнение функции:
$-3 = x - 5$
$x = 5 - 3$
$x = 2$
Ответ: при $x = 2$.

б) чему равно значение функции в точке x = -3;

Чтобы найти значение функции $y$ при $x = -3$, подставим это значение в уравнение функции:
$y = -3 - 5$
$y = -8$
Ответ: $y = -8$.

в) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$. Составим и решим неравенство:
$x - 5 > 0$
$x > 5$
Ответ: при $x > 5$.

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, меньшие чем 3;

Функция принимает значения, меньшие 3, когда $y < 3$. Составим и решим неравенство:
$x - 5 < 3$
$x < 3 + 5$
$x < 8$
Ответ: при $x < 8$.

д) возрастает или убывает функция.

Функция $y = x - 5$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$ в данном случае равен 1. Так как $k > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.
Ответ: функция возрастает.

44 Постройте график функции $y = -x + 4$. Определите:

а) при каком значении аргумента выполняется равенство $y = 0$;

б) чему равно значение функции в точке $x = -1$;

в) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, меньшие чем 5;

д) возрастает или убывает функция.

Сначала построим график функции $y = -x + 4$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат (Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = -0 + 4 = 4$.

Получаем первую точку с координатами $(0; 4)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение:

$0 = -x + 4$, откуда следует, что $x = 4$.

Получаем вторую точку с координатами $(4; 0)$.

Отметив точки $(0; 4)$ и $(4; 0)$ на координатной плоскости и соединив их прямой линией, мы получим график данной функции.

Теперь ответим на вопросы, используя уравнение функции и ее график.

а) при каком значении аргумента выполняется равенство $y = 0$;

Чтобы найти значение аргумента ($x$), при котором значение функции ($y$) равно нулю, необходимо решить уравнение $-x + 4 = 0$.

$-x = -4$

$x = 4$

Это значение соответствует точке пересечения графика с осью Ox.

Ответ: при $x = 4$.

б) чему равно значение функции в точке $x = -1$;

Чтобы найти значение функции в точке $x = -1$, подставим это значение в уравнение функции $y = -x + 4$:

$y = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5$.

Ответ: $y = 5$.

в) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$. Для нахождения соответствующих значений аргумента ($x$) решим неравенство:

$-x + 4 < 0$

$-x < -4$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 4$

Ответ: при $x > 4$, или в виде интервала $x \in (4; +\infty)$.

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, меньшие чем 5;

Функция принимает значения, меньшие 5, когда $y < 5$. Решим неравенство:

$-x + 4 < 5$

$-x < 5 - 4$

$-x < 1$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -1$

Ответ: при $x > -1$, или в виде интервала $x \in (-1; +\infty)$.

д) возрастает или убывает функция.

Функция $y = -x + 4$ является линейной и имеет вид $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$ в данном уравнении равен -1. Поскольку угловой коэффициент $k = -1 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: функция убывает.

45 Постройте график функции $y = 2x + 3$.

Определите:

а) при каком значении аргумента выполняется равенство $y = 7$;

б) чему равно значение функции в точке $x = -2$;

в) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, большие чем 3;

д) возрастает или убывает функция.

Функция $y = 2x + 3$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения графика найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy), для этого подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
Получили точку с координатами (0; 3).

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox), для этого подставим $y = 0$ в уравнение:
$0 = 2x + 3$
$2x = -3$
$x = -1.5$
Получили точку с координатами (-1.5; 0).

Для построения графика необходимо отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Теперь, используя уравнение функции, ответим на поставленные вопросы.

а) при каком значении аргумента выполняется равенство y = 7;
Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно 7, подставим $y = 7$ в уравнение функции:
$7 = 2x + 3$
$7 - 3 = 2x$
$4 = 2x$
$x = 2$
Ответ: при $x = 2$.

б) чему равно значение функции в точке x = –2;
Чтобы найти значение функции в точке $x = -2$, подставим это значение в уравнение:
$y = 2(-2) + 3$
$y = -4 + 3$
$y = -1$
Ответ: $y = -1$.

в) при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;
Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$. Составим и решим неравенство:
$2x + 3 < 0$
$2x < -3$
$x < -1.5$
Функция принимает отрицательные значения при всех $x$ меньших -1.5.
Ответ: при $x < -1.5$ (или $x \in (-\infty; -1.5)$).

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, большие чем 3;
Функция принимает значения больше 3, когда $y > 3$. Составим и решим неравенство:
$2x + 3 > 3$
$2x > 3 - 3$
$2x > 0$
$x > 0$
Функция принимает значения больше 3 при всех $x$ больших 0.
Ответ: при $x > 0$ (или $x \in (0; +\infty)$).

д) возрастает или убывает функция.
Функция $y = 2x + 3$ является линейной и имеет вид $y = kx + b$. Поведение функции (возрастание или убывание) зависит от знака углового коэффициента $k$. В данном уравнении $k = 2$.
Так как $k > 0$ ($2 > 0$), функция является возрастающей на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает.

46 Постройте график функции $y = -3x + 2$.

Определите:

а) при каком значении аргумента выполняется равенство $y = -4$;

б) чему равно значение функции в точке $x = 3$;

в) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, большие чем $-1$;

д) возрастает или убывает функция.

Для построения графика функции $y = -3x + 2$ найдем координаты двух точек. Функция является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки. Составим таблицу значений:

Отметим на координатной плоскости точки (0; 2) и (1; -1) и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком функции $y = -3x + 2$.

Определим требуемые значения.

а) при каком значении аргумента выполняется равенство $y = -4$;

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором $y = -4$, решим уравнение:
$-4 = -3x + 2$
$3x = 2 + 4$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Ответ: при $x=2$.

б) чему равно значение функции в точке $x = 3$;

Чтобы найти значение функции при $x = 3$, подставим это значение в уравнение функции:
$y = -3(3) + 2$
$y = -9 + 2$
$y = -7$
Ответ: значение функции равно -7.

в) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$. Решим неравенство:
$-3x + 2 > 0$
$-3x > -2$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-2}{-3}$
$x < \frac{2}{3}$
Ответ: при $x < \frac{2}{3}$ (или $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$).

г) при каких значениях аргумента функция принимает значения, большие чем -1;

Функция принимает значения больше -1, когда $y > -1$. Решим неравенство:
$-3x + 2 > -1$
$-3x > -1 - 2$
$-3x > -3$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-3}{-3}$
$x < 1$
Ответ: при $x < 1$ (или $x \in (-\infty; 1)$).

д) возрастает или убывает функция.

Функция $y = -3x + 2$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$ для данной функции равен -3.
Так как $k = -3 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.
Ответ: функция убывает.